相位噪聲對數字陣列波束合成的影響研究

王 璇, 郄錦輝, 李沖霄

(中國電子科技集團公司第五十四研究所, 河北 石家莊 050081)

0 引言

與傳統的模擬相控陣相比,數字相控陣在多功能一體化、瞬時多波束、高精度波束賦形、動態范圍和接收靈敏度等功能、性能上有明顯優勢[1],因此近些年被越來越廣泛地應用于各種通信、雷達與電子對抗系統中[2]。 相位噪聲作為最主要的射頻損傷之一制約著不同系統應用的核心性能,對于通信系統,積分相位噪聲(Integrated Phase Noise,IPN)影響寬帶通信信號的信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR);對于雷達系統,強雜波單邊相位噪聲可能會淹沒微弱的目標回波;對于電子對抗系統,相位噪聲則直接決定系統的瞬時動態范圍。 因此,研究相位噪聲在數字陣列合成中的影響,對于采用數字相控陣體制的系統應用有重要意義。

通過主動利用數字陣列的可調節自由度,結合分布化器件之間的獨立性,數字陣列能夠通過去相關獲得多種系統性能增益[3]。 文獻[4-6]分別驗證了諧波抑制、雜散抑制以及虛假鏡像抑制等系統增益,同時相關研究驗證了這種陣列合成增益同樣對相位噪聲有效。 文獻[7]分析了多通道采樣器時鐘抖動的合成特性。 文獻[8-9]仿真了相位噪聲合成對誤差矢量幅度(Error Vector Magnitude,EVM)的影響。 文獻[10]驗證了同步本振合成的相位噪聲增益。 大部分研究主要關注了陣列合成對于性能提升的作用,少部分研究進一步分析了提升所付出的代價。 文獻[11]分析了相位噪聲對陣列方向圖波束指向和副瓣電平的影響。 文獻[12]理論分析了交疊陣列相位噪聲對于干擾抵消器性能的影響。

為了對不同架構的數字陣列進行理論分析和性能評估,需要構建一個更完整、高效的分析方法。 基于相位噪聲的統計特性以及實際陣列架構的實現,通過借鑒陣列激勵誤差所采用的概率方法,引入子陣本振復用結構差異,以一維均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA)為例,理論推導了以相位抖動、子陣劃分以及方位掃描角度為變量的期望功率方向圖和期望SNR 表達式,進一步通過數值分析更完整地展示了相位噪聲對數字陣列合成的影響。

1 相位噪聲在數字陣列中的建模

數字陣列接收信號的模型可由式(1)表述[13],假定陣列共N個通道,考慮采樣步長為L,共Q個空間源信號[14]。 X 為N×L維接收信號矩陣,A 為N×Q維空間矢量矩陣,S 為Q×L維源矩陣,N0為N×L維噪聲矩陣[15],即:

假定考慮了激勵誤差和相位噪聲的陣列空域濾波N×1 維復權值向量由u表示。u的第n個通道權值表述如下:

式中,an,?n,ξn,δn,?n分別為第n個通道理想的實數激勵幅度、理想的激勵相位、激勵相對幅度隨機誤差、激勵相位隨機誤差[16]以及相位噪聲誤差[17]。

陣列輸出L個時間點的合成信號如下:

式中,H 為Hermiton 算子;Y 為數字波束合成(Digital Beam Forming,DBF)后信號,為1×L維向量。

進一步討論式(1)~式(3)所引入的3 種影響性能的因素:熱噪聲N0、幅相激勵誤差(1+ξn)exp(jδn)以及相位噪聲項exp(j?n)。

N0通常被建模為N行獨立同分布具有零均值的復高斯隨機向量,即加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise,AWGN)。 自由振蕩的壓控振蕩器的相位噪聲可描述為維納過程,相關研究通常采用高斯模型建模[11],進而可假定不同通道間相同時刻相位噪聲滿足?n~Ν(0,σ2)[9],反映到陣列合成中的exp(j?n)項為乘性有色的。 加性噪聲以絕對功率能量的形式起作用,在低SNR 場景中為主要矛盾,會限制陣列的接收靈敏度;而乘性噪聲以相對信號能量的形式起作用,在高SNR 的場景中影響較大。 同時由于是有色噪聲,因此一般被定義為相對載波頻率固定頻偏Δf處歸一化到每赫茲帶寬內的相對噪聲功率(Spot Phase Noise,SPN)。

在數學表達式上,相位噪聲項exp(j?n)與幅相激勵誤差(1+ξn)exp(jδn)中的相位誤差項exp(jδn)有相同的形式,因此可以引入類似的分析方法。 用于分析激勵誤差對陣列性能影響的方法有3 類:蒙特卡羅仿真分析[18]、概率方法[19]和區間算法[20]。蒙特卡羅仿真對于復雜陣列結構計算量大,分析效率低,因此主要對比后2 種方法。 基于隨機變量δn和?n的實際物理意義,相位激勵誤差δn是在大量通道單元間服從統計獨立分布的,對于單一通道而言其誤差值是確定且時不變的,同時在理想校準的前提下,校準殘留相位的邊界是由移相步進所限定,而?n則是時變且無法明確限定取值邊界的,更適合引入概率方法[19]進行分析。 在進入理論推導和數值仿真前,還需要明確相位噪聲模型的變量σ,以及陣列結構變量k。

為了得到隨機變量?n的方差并方便后續的推導,需要在相位噪聲功率譜密度SPN(f)(dBc/Hz)、IPN(dBc)、均方根相位誤差以及抖動τjitter(10-15s)等幾個等效的量之間完成轉化。 通過限定的積分頻偏區域[Δfmin,Δfmax],通過下式可求解單邊帶的IPN:

圖1 給出了TI 公司寬帶頻率綜合器芯片LMX2595、ADI 公司集成收發器芯片ADRV9009 以及Xilinx 公司RFSoC 本振源在相應載波頻率的SPN(f)曲線。

圖1 集成本振源的相位噪聲相對功率譜密度Fig.1 Phase noise relative power spectral density of integrated local oscillator

根據芯片所給出的SPN(f)并限定頻偏積分區間為100 Hz~100 MHz,可計算得到IPN,以及τjitter,計算結果如表1 所示。 集成芯片的τjitter在幾十到幾百飛秒量級,轉化為均方根相位誤差在0.1°~0.7°。

表1 集成本振源IPN 性能Tab.1 IPN performance of integrated local oscillator source

進一步討論積分區間的貢獻,對于LMX2595 積分區間從100 Hz~1 kHz 增加到100 Hz~100 MHz,依次計算得到的結果如表2 所示。 遠端SPN(f)低于-150 dBc/Hz,其對最終τjitter的貢獻可以忽略不計,這意味著在考慮相位噪聲對陣列波束合成的影響時,可以認為陣列滿足窄帶假設,波束合成方向圖在積分區間保持不變。

表2 LMX2595 不同積分區間相噪性能對比(9 GHz)Tab.2 Comparison of phase noise performance of LMX2595 in different integration intervals(9 GHz)

完整的陣列相位噪聲模型還需要考慮通道間本振源的相關性。 引入文獻[2]中以均勻子陣劃分為變量的分析方法,ULA 陣列實際架構如圖2 所示,假定通道數為2K個,每個子陣包含2k個通道,整個陣列的子陣數為2K-k,子陣內部通過射頻與時鐘分配網絡共用變頻本振和采樣時鐘,子陣間變頻本振和采樣時鐘嚴格同步。

圖2 子陣內通道復用本振源的數字陣列架構Fig.2 Digital array architecture of channel multiplexing local oscillator in subarrays

相應考慮陣列第n個通道變頻本振與時鐘所引入的相位噪聲,在不同子陣間?n相互獨立,相同子陣內?n完全相關,因此有:

式中,corr(?i,?j)為?i與?j的相關系數。

此外,單獨通道相位噪聲方差可能由多個相互獨立的相噪源貢獻,比如圖1 中通道內的本振源與時鐘源,可通過得到總的相位噪聲方差,在后面的推導和仿真中只考慮σ2total,不再進行詳細的區分。

2 引入相噪的陣列SNR 與功率方向圖

基于上面所構建的陣列相位噪聲模型,可以進一步推導SNR 和功率方向圖。 完整討論噪聲N0,幅相激勵誤差(1+ξn)exp(jδn)以及相位噪聲項exp(j?n)超出了所關注的范圍,因此在后續推導分析中,僅針對相位噪聲項exp(j?n)求解。 簡化后,ULA 幅度方向圖的頻域F(θ)及時域形式F(t,θ)如下:

式中,Cn為相位梯度;ω為角頻率。

陣列的時域輸入x(t,θ)與輸出信號y(t,θ)如下:

式中,?表示時域卷積;x(t,θ)假定為寬平穩復數基帶隨機過程。

定義SNR(θ)為理想波束合成輸出功率Pideal(θ)與相位噪聲合成功率Perror(θ)的比值:

式中,E[·]表示數學期望。 分子理論項yideal(t,θ)與分母誤差項yerror(t,θ)可以通過式(11)的變換得到:

首先推導Pideal(θ),

式中,()?代表復共軛;期望項為x(t-Cn/ω)的自相關Rx(γ,θ),γ=(Cn-Cm)/ω。

在頻域進一步簡化式(14)可得:

接下來求解Perror(θ),按式(14)方式展開得到3項求和。 3項分別由來表示。

式中,第1 項即為式(15);第2 項推導得到:

第3 項推導得到式(18),該項即為要求解的功率方向圖與Rx(0,θ)的乘積:

在求解SNR(θ)時,式(12)中分子分母中的Rx(0,θ)會相互抵消,因此在后面的推導中不再考慮該項,利用以?n為變量正余弦函數的統計量:

以及式(8) 所描述的本振復用相關性,可以將Perror(θ)的3 項寫成矩陣形式,以最復雜的第3 項為例,即矩陣形式的功率方向圖為:

式中,向量G 和D 分別為由式(22)和式(23)給出的1×N維的行向量,且均為θ的函數。

而M 為N×N維矩陣,利用式(18)~式(20),可得M 中的元素Mi,j為:

通過類似的推導過程,可以得到矩陣形式的Pideal(θ)與Perror(θ)|2,利用式(12)可得到SNR(θ)。其中最重要的情況為波束指向方向的SNR(θB),采用均勻幅度加權,得到:

在接下來的仿真分析中,主要利用本節得到的SNR(式(25))以及功率方向圖(式(21) ~式(24))針對不同的τjitter以及k值進行分析。

3 不同相噪性能與子陣結構的仿真分析

基于所得到的解析式,以一個K=3,即由23=8 個天線單元及數字接收通道所構成的ULA 陣列進行分析,以討論相位噪聲對陣列波束合成性能的影響。 假定ULA 陣列的工作頻率為10 GHz,并滿足相控陣窄帶假設(即在相位噪聲積分帶寬內方向圖不變),最大掃描角度為90°,對應單元間距為15 mm。 假定子陣內單元數,即共用本振的單元數為2k,其中k∈[0,1,2,3],ULA 使用2K-k個獨立本振。 使用抖動τjitter(10-12s)描述IPN 并作為仿真變量在[0.57,3.43,6.3,9.16,12.03]取值。 2 種典型的架構為k=3 與k=0:當k=3 時,ULA 共用同一個本振,對應的相位噪聲完全相關,可描述為集中化本振;當k=0 時,8 個通道分別使用不同的本振,對應的相位噪聲完全獨立,可描述為分布化本振。

首先,使用式(25)分別以2k和τjitter為X軸變量得到的SNR(θB)曲線如圖3 和圖4 所示。 從整體趨勢上來看,k減少對應本振去相關程度的增加,同時獲得SNR 增益,τjitter的增加對應SNR 惡化。

圖3 本振分布化對應的陣列SNR 曲線Fig.3 Array SNR curve corresponding to local oscillator distribution

在圖3 以SNR=13.5 dB 繪制一條直線,該直線同τjitter=6.3×10-12s以及τjitter=3.43×10-12s 分別相交于k=1(對應子陣包含2 個共用本振通道)與k=3(對應子陣包含8 個共用本振通道)點,這意味著采用低性能分布化本振,能夠實現與集中化高性能本振相同的整陣SNR 性能,這也是文獻[1]所分析的數字陣列分布化所帶來的主要優勢之一。

圖4 中標出了τjitter=0. 57×10-12s 以及τjitter=12.03×10-12s 不同k值下的SNR 數值。 對于τjitter=0.57×10-12s,本振逐漸分布化所帶來的SNR 增益為3 dB,而隨著τjitter增加,分布化所帶來的SNR 增益會降低,因此對于相位噪聲較差的鏈路,分布化所帶來的SNR 增益會低于預期。

圖4 抖動增加對應的陣列SNR 曲線Fig.4 Array SNR curve corresponding to increased jitter

使用式(21)可以得到圖5 和圖6 所示的波束指向法線方向時的陣列合成歸一化功率Pnorm(θ)方向圖的期望曲線。 整體上,隨著本振分布化以及τjitter(θ)量增加,Pnorm(θ)畸變程度增加,主要體現在主波束增益下降、幅瓣電平抬高及零深回填。

圖5 抖動增加對分布化陣列Pnorm(θ)的影響Fig.5 Effect of increased jitter on distributed arrays Pnorm(θ)

圖6 分布化對陣列Pnorm(θ)的影響(τjitter=6.3×10-12s)Fig.6 Effect of distribution on array Pnorm(θ)(τjitter=6.3×10-12s)

集中化本振與理想Pnorm(θ)重合是由于相位噪聲帶來的瞬時抖動會同時作用于所有通道,不會造成通道間相對與理想激勵相位梯度的相位偏差,因此不會造成的Pnorm(θ)的變化。 相互獨立的相位噪聲合成在數學建模形式上等同于激勵相位誤差,如果相位誤差同相位噪聲有相同的均值和方差,那么得到的Pnorm(θ)與分布化本振情況完全相同,但二者的實際物理含義和對系統的影響并不相同。 激勵相位誤差可認為是靜態的,反復測試得到的Pnorm(θ)是相同的,而相位噪聲所導致的相位抖動是動態的,得到的Pnorm(θ)是數學期望,在某些狀態下副瓣電平有可能超出Pnorm(θ)所得到的期望曲線[19],同時所對應的掃描角度在理想方向圖中可能對應副瓣也可能對應零點。

直覺上,由于分布化所導致的法線增益惡化與SNR 提升相互矛盾,實際上對比所定義的Pnorm(θ)表達式(21)與SNR 表達式(12)可知,法線功率增益惡化是相對于空域濾波所接收到的外界噪聲以及系統所引入的加性熱噪聲而言,而式(12)所定義的是針對相位噪聲所導致的SNR 惡化,二者并不矛盾。

注意圖6 中,k= 1(2 通道共用),τjitter= 6. 3×10-12s 所造成的零深回填并沒有發生在所有零點,這同圖2 所示的本振共用結構有關[9]。 使用a,b,c,d 分別來表示ULA 所使用的4 個獨立本振,圖4所采用的8 通道本振復用排列結構為‘aabbccdd’,即臨近單元共用本振。 圖5 顯示了另外4 種本振復用排列結構所得到的Pnorm(θ)對比,4 種結構分別為:‘ababcdcd’ ‘abcdabcd’ ‘abcddcba’ ‘abbacddc’,不同結構對應了式(21)與式(24)中M 矩陣內等于1 元素位置的不同。 對于無幅度加權的掃描指向,式(22)向量單元全為1,式(23)向量單元全為0,因此由式(21)掃描方向E[F(θB)2]的值為M矩陣所有元素求和,因此復用結構的變化并不會影響掃描指向的功率增益;而空間調零的實現基于該方向來波信號到達不同陣列單元的相位反向,當存在相位噪聲導致的相位誤差時,這種反相抵消條件被破壞,導致調零回填,相關單元間抵消所產生的調零點受到的影響較小。 為了更好地顯示不同結構對零深回填的影響,圖7 仿真分析采用波束指向θB=-40°方向。

圖7 不同本振復用結構對零深回填位置的影響Fig.7 Influence of different local oscillator multiplexing structures on nulling filling position

為了進一步分析相位噪聲對陣列抗干擾的影響,依然保持θB=-40°波束指向角度,對陣列引入副瓣抑制30 dBc 的切比雪夫幅度加權,同時使用文獻[22]所采用的空間調零方法在θ=29°引入調零點。

分布化本振結構不同抖動性能下的零深回填如圖8 所示。 如果采用分布式的本振,即便是τjitter=3.43×10-12s 的相位噪聲性能指標,也會導致副瓣性能的嚴重惡化,理論上-30 dBc 的副瓣抑制度惡化為只有-20 dBc。

圖8 分布化本振結構不同抖動性能下的零深回填Fig.8 Nulling filling under different jitter performance of distributed local oscillator structure

不同本振復用結構對零深的影響如圖9 所示,τjitter=6.3×10-12s 從集中化到部分相關再到分布化的過程中,零深從理論上的大于-50 dBc 最終惡化到-20 dBc。

圖9 不同本振復用結構對零深的影響Fig.9 Effect of different local oscillator multiplexing structures on nulling

表3 以二維矩陣的形式給出了不同分布化程度(即不同k值)和抖動性能下θ= 29°的調零深度變化。

表3 相位噪聲合成后陣列的調零零深Tab.3 Nulling depth of array after phase noise synthesis

數字陣列的優勢之一是能夠實現高精度的幅相控制,從而實現高精度的波束指向和干擾抑制。 綜合上述仿真分析可知,相位噪聲均值為0 的特性不會影響波束指向,但對于干擾抑制的性能影響較大。 要充分發揮數字陣列高精度幅度加權、干擾調零乃至波束賦形等性能,需要合理地設計本振乃至時鐘分配網絡,在空域特性和時頻域特性之間進行折衷考量。

4 結束語

構建了基于概率建模的相位噪聲對DBF 陣列性能影響的分析方法,與蒙特卡羅仿真方法相比,采用理論推導得到的SNR 與功率方向圖閉式表達式進行性能評估要更高效,特別是對于復雜的陣列結構和系統建模。 為了簡化討論過程,主要針對ULA和相位噪聲這一單一射頻損傷進行了論述,但所構建的方法并不限于此,能夠進一步擴展到二維掃描陣列,并能夠適用于同時考慮幅相激勵、空間誤差、熱噪聲及量化噪聲的情況,因此對于采用數字相控陣體制的系統設計與評估具有一定實用價值。