平拋運動中的“擋板”問題探究

■河南省鄭州市第十一中學 饒中金

縱觀歷年來的高考試題可以發現,不少的平拋運動問題中都涉及“擋板”,這類問題以平拋運動為模型,利用各種“擋板”加以限制,意在考查考生應用數學工具處理物理問題的能力。下面分類討論平拋運動中的“擋板”問題的求解策略,供同學們參考。

一、平拋運動中的平直類“擋板”問題

做平拋運動的質點與豎直墻壁、水平地面、斜面等平直類“擋板”碰撞時,求解質點在落點處的動能或速度的極值等問題的基本方法是:先利用質點做平拋運動的規律和功能關系結合“擋板”方程的限制條件,寫出質點在落點處動能的函數表達式,再利用數學知識分析極值問題。

例1如圖1所示,足夠長的豎直擋板MN到O點的距離為l,可視為質點的小球從O點以水平初速度v0(大小可以改變)沿水平方向射出,小球擊打在擋板上的P點(未畫出)。求小球打到P點時的最小動能。

圖1

解析：以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,建立如圖2所示的直角坐標系,設P點坐標為(x,y),則x=,因此小球做平拋運動的軌跡方程為小球做平拋運動的初動能為,小球運動到P點時的動能又有x=l,則Ek=,當,即y=(對應)時,小球打到P點時的動能最小,且Ekmin=mgl。

圖2

點評:本題屬于平拋運動中的豎直“擋板”問題,在坐標系中擋板的方程比較簡單,直接利用平拋運動規律及動能定理,結合數學知識即可求出動能的極值。需要注意的是并不是質點在所有的擋板上落點處的動能都存在極值,比如做平拋運動的小球落到水平面上時,小球的動能就不存在最大值。

二、平拋運動中的曲面類“擋板”問題

做平拋運動的質點與各種弧形“擋板”碰撞時,求解質點在落點處的動能或速度的極值等問題的基本方法仍是:先利用質點做平拋運動的規律和功能關系結合“擋板”方程的限制條件,寫出質點在落點處動能的函數表達式,再利用數學知識分析極值問題。

例2如圖3所示,在粗糙水平臺階上靜置一質量m=0.5 kg的小物塊,它與水平臺階表面之間的動摩擦因數μ=0.5,且與臺階邊緣O點的距離s=5 m。在臺階右側固定了一個以O點為圓心的圓弧形擋板,并以O點為原點建立平面直角坐標系xOy。現用F=5 N 的水平恒力拉動小物塊,一段時間后撤去拉力F,小物塊最終水平拋出并擊中擋板。取重力加速度g=10 m/s2。

圖3

(1)若小物塊恰能擊中擋板的上邊緣P點,P點的坐標為(1.6 m,0.8 m),求其離開O點時的速度大小。

(2)為使小物塊擊中擋板,求拉力F作用的距離范圍。

(3)改變拉力F的作用時間,使小物塊擊中擋板的不同位置,求擊中擋板時小物塊動能的最小值。(結果可保留根式)

解析：(1)設小物塊離開O點時的速度大小為v0,根據平拋運動規律得解得小物塊從O點運動到P點所用的時間t=0.4 s,又有x=v0t,解得v0=4 m/s。

(2)為了能夠擊中擋板,小物塊必須能夠運動到O點,根據動能定理得Fx1-μmgs=0,解得x1=2.5 m。為了能夠擊中擋板,小物塊到達O點時的速度不能超過4 m/s,同理得,解得x2=3.3 m。因此拉力F作用的距離范圍為2.5 m＜x≤3.3 m。

(3)設小物塊擊中擋板的位置坐標為(x,y),小物塊離開O點時的速度大小為v,則x=vt,y=,x2+y2=R2。由P點的坐標為(1.6 m,0.8 m)得R2=3.2 m2。擊中擋板時小物塊的動能,將R2=3.2 m2,mg=5 N 代入得,當,即時,Ek取最小值,且

點評:本題(1)問直接考查平拋運動的基本規律,比較基礎;(2)問讓求使得小物塊擊中擋板,拉力F作用的距離范圍,主要考查動能定理的應用;(3)問讓求做平拋運動的小物塊在受圓弧形擋板限制的條件下,擊中擋板時動能的最小值,需要根據題給P點的坐標寫出擋板的曲線方程,進而利用動能的函數表達式求出小物塊在落點處動能的最小值。

例3(2021年高考湖南卷)如圖4所示,豎直平面內一足夠長光滑傾斜軌道與一長為L的水平軌道通過一小段光滑圓弧連接,水平軌道右下方有一段弧形軌道PQ。質量為m的小物塊A與水平軌道之間的動摩擦因數為μ。以水平軌道末端O點為坐標原點建立平面直角坐標系xOy,x軸的正方向水平向右,y軸的正方向豎直向下,弧形軌道P端的坐標為(2μL,μL),Q端在y軸上。重力加速度為g。

圖4

(1)若小物塊A從傾斜軌道上距x軸高度為2μL的位置由靜止開始下滑,求小物塊A經過O點時的速度大小。

(2)若小物塊A從傾斜軌道上不同位置由靜止開始下滑,經過O點落在弧形軌道PQ上的動能均相同,求軌道PQ的曲線方程。

(3)將質量為λm(λ為常數且λ≥5)的小物塊B置于O點,小物塊A沿傾斜軌道由靜止開始下滑,與小物塊A發生彈性碰撞(碰撞時間極短),要使A和B兩物塊均能落在弧形軌道PQ上,且小物塊A落在B落點的右側,求小物塊A下滑的初始位置距x軸高度的取值范圍。

解析：(1)若小物塊A從傾斜軌道上距x軸高度為2μL的位置由靜止開始下滑,設小物塊A經過O點時的速度大小為v0,根據動能定理得mg·2μL-μmgL=mv20,解得

(2)若小物塊A從傾斜軌道上某點由靜止開始下滑,設它經過O點時的速度大小為vx,小物塊A經過O點后做平拋運動,在弧形軌道PQ上的落點坐標為(x,y),合速度大小為v,則,整理得根據P點坐標為(2μL,μL),小物塊A經過O點落在弧形軌道PQ上的動能均相同可知,小物塊A落到P點時的動能即為落到弧形軌道PQ上任一點的動能,即,則,解得軌道PQ的曲線方程為

(3)設小物塊A下滑的初始位置高度為h,小物塊A在與B碰撞前的速度大小為vA,根據動能定理得解得設碰撞后小物塊A的速度大小為vA1,小物塊B的速度大小為vB,根據動量守恒定律得mvA=-mvA1+λmvB,根據機械能守恒定律得,解得碰撞后小物塊A向左運動,沿傾斜軌道上升后,設它再返回O點時的速度大小為vA2,則,變形得,要使小物塊A落在B落點的右側,需要滿足vA2＞vB,即解得將vA=代入解得根據(2)中所得可知,當小物塊落在P點時有v2x=2μgL,要使A和B兩物塊均能落在弧形軌道PQ上,由vA2＞vB可知,只要小物塊A能落在弧形軌道PQ上,小物塊B就一定能落在弧形軌道PQ上,需要滿足即,解得因此所求高度h的取值范圍為

點評:本題(1)問考查動能定理的應用;(2)問涉及平拋運動受到橢圓形擋板限制,并給出了“落在弧形軌道PQ上的動能均相同”的條件,反過來要求考生根據已知條件去求解擋板的曲線方程,設問角度很新穎;(3)問考查碰撞模型,對考生應用數學知識解決物理問題的能力要求比較高。

例4如圖5所示,以O為坐標原點在豎直平面內建立直角坐標系xOy,位于第Ⅳ象限內的擋板形狀滿足方程(單位:m),小球從第Ⅱ象限內半徑R=0.5 m 的四分之一光滑圓弧軌道上某處由靜止開始下滑,通過O點后開始做平拋運動,擊中擋板上的P點時速度最小,取重力加速度g=10 m/s2,下列說法中正確的是( )。

圖5

A.P點的坐標為

B.小球經過O點時的速度大小為3 m/s

C.小球擊中P點時的速度大小為5 m/s

D.小球經過O點時對軌道的壓力等于自身重力的3倍

解析：設小球經過O點時的速度為v0,P點的坐標為(x,-h),則解得小球經過O點時的動能為小球擊中P點時的動能為因為P點在拋物線上,所以滿足關系式即因此,當即時,小球擊中P點時的速度取最小值,且vmin=5 m/s,此時,選項A、B 錯誤,C 正確。根據得H=0.5 m=R,說明小球正好是從圓弧軌道的最高點開始下滑的。設小球經過O點時受到的軌道壓力為N,則,解得N=3mg。根據牛頓第三定律可知,小球經過O點時對軌道的壓力N＇=N=3mg,選項D正確。

答案：CD

點評:本題給出了擋板的拋物線方程,以及小球擊中擋板上P點時的動能存在極小值,按照基本方法求解即可。同學們在求解本題的過程中容易忽略兩個細節問題:(1)忽略對小球在落點取動能最小值時對應的小球從圓弧軌道上下滑的初始高度的判斷,本題中小球在落點取動能最小值對應著小球恰好從圓弧軌道的最高點下滑,若題目中給定的半徑R=0.4 m 或R=0.6 m,結果又會怎樣呢? 請同學們認真思考。(2)選項D 中求小球經過O點時對軌道的壓力,需要先以小球為研究對象求出小球受到的支持力,再應用牛頓第三定律得出小球對軌道的壓力。

1.某同學設計了一個滑梯游戲裝置,其簡化示意圖如圖6所示,一個光滑圓弧軌道AO固定在水平桌面上,O點在桌面右側邊緣上,以O點為圓心的光滑圓弧軌道BD豎直固定在桌子的右側,C點為軌道BD的中點。若航天員利用該游戲裝置分別在地球表面和火星表面進行模擬實驗,將小球放在軌道AO上某點,讓它由靜止下滑,小球越過O點后飛出,落在軌道BD上。忽略空氣阻力,已知地球表面的重力加速度大小為g,火星的質量約為地球質量的,火星的半徑約為地球半徑的。在地球表面或火星表面上,下列說法中正確的是( )。

圖6

A.若小球恰能打到C點,則擊中C點時的速度方向與圓弧面垂直

B.小球釋放點越低,小球落到軌道BD上時的動能就越小

D.在地球表面和火星表面進行模擬實驗時,若都從軌道AO上同一位置釋放小球,則小球將落在軌道BD上的同一點

2.如圖7所示,以O點為坐標原點建立平面直角坐標系xOy,x軸正方向水平向右,y軸正方向豎直向下,實線為橢圓弧擋板,擋板的方程滿足,P點為擋板的上端點。現從O點沿x軸正方向水平拋出一小球,取重力加速度g=10 m/s2,則下列說法中正確的是( )。

圖7

A.若拋出小球的速度為5 m/s,則小球能落到擋板上

B.小球落到擋板上時,速度改變量的大小可能為5 m/s

C.小球落到擋板上的不同位置,擊中擋板時的速度大小一定不同

D.小球落到擋板上時,速度方向與水平方向之間的夾角不可能小于

3.如圖8所示,足夠長傾斜擋板的傾角為θ,O點位于斜面底端正上方高為d處,可視為質點的小球從O點以水平初速度v0(大小可以改變)沿水平方向射出,小球落在擋板上的P點(未畫出)。求小球落到P點時的最小動能。

圖8

參考答案：1.CD 2.BD