基于稀疏表示的濾波反投影超聲層析成像重建算法

羅開，陳 亮，梁 巍，陳勇強

（電子科技大學 機械與電氣工程學院，成都 611731）

0 引言

隨著現代科學技術的快速發展，以碳纖維復合材料為代表的一系列復合材料由于高比強度、高比剛度、耐高溫、化學穩定性好、比重量小等特點在航天航空、機械制造等各個領域應用廣泛［1-4］。然而，由于制造工藝復雜、工作環境嚴苛以及工況多變等因素，碳纖維復合材料易出現孔隙、夾雜、裂紋、疏松、分層等諸多不易識別的損傷類型，其中分層是最主要的缺陷損傷類型，給航天航空裝備的性能和結構的完整性以及可靠性帶來巨大的安全隱患［5］，因此復合材料試件質量的可靠性與安全性分析十分重要。航天航空裝備日益大型化、復雜化，對結構的健康監測、損傷的敏感性與準確性、可視化損傷等方面的要求越來越高。傳統的線性Lamb 波無損檢測雖然在復合材料損傷的診斷、定位、成像、評估等方面取得了一定的進展［6-10］，但對缺陷位置和形狀的檢測與識別往往難以滿足要求；并且傳統的線性Lamb 波無損檢測技術往往難以直觀地以圖像的形式描繪缺陷的實際大小與形狀。

電子計算機斷層掃描（Computed Tomography，CT）是一種非接觸無損檢測技術，具有精確度高、重建圖像分辨率高、可直接進行數字化處理等諸多優點。CT 技術與Lamb 波無損檢測技術的結合可對缺陷進行可視化研究。Wright等［11］結合平行投影方式的斷層掃描與Lamb 波檢測以實現對微小缺陷的檢測與重建成像。Leonard等［12］將超聲CT 技術運用于檢測板狀材料的缺陷與成像。Sugino等［13］使用數值模擬和實驗的方法研究了Lamb 波在人體骨骼中傳播的規律，并使用掃描激光多普勒振動法測量脫氣顱骨中傳播的Lamb波，從而得到顱骨相關的診斷和CT 成像數據。對Lamb 波在板狀材料中的傳播使用有限元進行數值模擬的方法由于出色的性能和能獲得與實驗相同的結論而被廣泛應用。Huo等［14］基于貝葉斯融合算法對復合材料進行損傷識別與定位，并使用有限元數值模擬和實驗的方法進行研究，相較于傳統的概率重建算法，對缺陷的定位誤差由3～240 mm 減小到0～23 mm。Bingham等［10］結合Lamb 波斷層掃描技術與有限元仿真，以實現在結構更復雜的飛機縱梁中的腐蝕變薄檢測，并對有限元方法結合Lamb 波斷層掃描技術進行了實驗驗證。Zhao等［15］通過對板狀缺陷進行數值分析和有限元仿真建模，使用非線性超聲Lamb 波斷層掃描來檢測中早期材料降解情況，拓展了有限元方法的應用范圍。Zielińska等［16］提出結合斷層掃描的光線追蹤方法對鋼板進行無損檢測，并使用有限元方法進行數值模擬，相較于傳統的斷層掃描技術，將5 cm 的缺陷誤差系數值由11.17%減小到了3.85%。然而，上述方法對復合材料分層缺陷的可視化和精準缺陷定位仍有不足，難以獲得高質量的缺陷圖像。

圖像的超分辨率是當前非常熱門的研究領域，它能夠克服一些低分辨率傳感器因為數據不全、采樣率不夠等原因導致生成圖像分辨率較低的困難。Freeman等［17］提出一種基于實例的學習策略，可用于一般圖像，并引入置信度傳播（Belief Propagation，BP）算法以求解馬爾可夫隨機場中節點的概率分布。Sun等［18］使用原始圖像作為先驗知識擴展了BP 算法，并對圖像的邊、角進行增強，從而使圖像邊緣的還原更加精確。Chang等［19］采用局部線性嵌入原理，將低分辨率的部分幾何圖像映射到高分辨率空間，以生成高分辨率圖像。

但是上述研究需要數百萬個高分辨率和低分辨率的數據庫，因此計算速度很慢。Yang等［20］通過聯合訓練低分辨率和高分辨率圖像塊的字典，以增強低分辨率和高分辨率圖像塊之間稀疏表示的相似性。當圖像還原時可以同時采用低分辨率圖像的稀疏表示和高分辨率圖像的字典，以生成高分辨率圖像，相比之前僅對高分辨率圖像進行采樣，計算成本大幅降低。并且相較于傳統算法需要對同類高分辨率圖像進行訓練，該方法可以使用一般的高分辨率圖像進行訓練，大幅緩解了高分辨率超聲圖像獲取困難的問題。但在復合材料的超聲無損檢測領域，由于傳統算法僅通過分析波形來判斷缺陷的位置，難以獲得精確且質量較高的重建圖像，并且傳統超聲探頭因結構限制，往往所成圖像的像素較低，因此上述圖像的超分辨率算法往往難以用于傳統復合材料的超聲無損檢測領域。

針對上述問題，本文提出一種基于稀疏表示的濾波反投影（Filtered Back-Projection，FBP）超聲層析成像重建算法，相較于傳統的超聲Lamb 波檢測方法，能夠直觀且準確地對復合材料的分層缺陷進行圖像重建，并且成像質量相較于傳統的計算機層析成像更高。同時，本文對高、低分辨率塊進行聯合訓練，以提高與真實字典稀疏表示的相似性。不需要對信號或重建圖像進行先驗處理，只需要對大量類似的高分辨率圖像塊進行采樣，相較于傳統稀疏方式需要先驗處理具有顯著優勢，且成像質量更高。

本文首先使用Abaqus 有限元仿真軟件對復合材料缺陷板進行數值模擬仿真；然后將仿真得到的復合材料板的走時數據代入Matlab 軟件中進行復合材料分層缺陷的FBP 重建成像和圖像的稀疏超分辨率處理；最后將得到的稀疏重建的圖像與雙三次樣條插值和線性插值［20］放大后的圖像進行對比分析。研究發現本文方法能獲得準確且完整的缺陷位置和形狀特征，并且能夠提高所成圖像的分辨率。

1 模型架構

本文針對碳纖維復合材料板的分層缺陷進行研究與分析，使用Lamb 波的A0 模態對復合材料缺陷板進行探傷，并提取缺陷板的走時數據作為后續重建圖像的投影數據。基于稀疏表示的超聲FBP 層析成像算法，先對投影數據進行濾波處理，再對原始圖像進行恢復，能夠有效地修正傳統直接反投影濾波進行成像的方法產生較多的偽影以及無法準確定位邊緣的問題。為了提高傳統FBP 的成像質量，給定單一低分辨率缺陷重建圖像X，通過稀疏算法恢復成高分辨率圖像Y，建立兩個稀疏約束模型：1）重建約束模型，以保證使用稀疏恢復后的圖像Y與輸入的觀測圖像X像素點保持一致；2）稀疏先驗模型，假設高分辨率的圖像塊在建立的完備字典中可以稀疏表示，并且進行稀疏表示后的高分辨率圖像塊能夠從低分辨率的觀測中恢復。

1.1 超聲FBP重建算法模型

Randon 變換是一種積分變換函數，將定義在二維平面的函數f(x，y)沿平面上給定的直線作線積分：

其中：xcosθ+ysinθ=s表示一條距離原點距離為s的直線；θ為投影角；(θ，sk)是投影平面上投影點的極坐標。

FBP 算法已被證明計算時間較短、圖像重建的質量較高。FBP 對Randon 變換進行不同角度的反投影再通過求和以重建圖像。由傅里葉中心切片定理，密度函數f(x，y)在某方向上的投影函數R(s，α)的一維傅里葉變換，是f(x，y)的二維傅里葉變換F(kx，ky)在(s，α)平面上沿同一方向過原點直線上的值。如果其他投影假設為0，并且傅里葉變換的值被適當地插入到二維傅里葉域中，則可以執行簡單的重建。

傳統的FBP 算法難以與超聲Lamb 波無損檢測技術相結合，是因為FBP 往往選用能量作為投影數據，而對Lamb 波傳播時能量的提取往往很困難。本文采用的超聲FBP 重建算法［21-24］是一種將超聲探頭等距離等角度分布在試件表面進行測量的投影算法。在投影重建過程中，首先將超聲傳感器獲得的走時數據作為投影數據進行一維傅里葉變換；通過卷積處理濾波，從而得到各個方向的投影數據；最后將濾波后的投影數據進行反投影，即按原路徑均勻分布在各矩陣元素上，將所有反投影進行重復疊加得到重建后的投影圖像。

如圖1 所示，超聲探頭到原點的距離為D，γ是相鄰探頭與點源連線的夾角，βi是第i號傳感器的投影角度，L(x，y，βi)是點源到探測器的距離，探頭收到的投影數據是si(nγ)，N是探測器的個數，對每個投影數據進行加權和卷積濾波的結果記為Si(nγ)，對Si(nγ)進行插值后得到Si(γ′)，重建后的投影圖像記為f(x，y)，結果如下：

為了提高重建圖像的質量并減少成像的偽影，可以進行插值或者重采樣以增加所需的像素點數，因此本文選擇使用三次樣條插值。使用三次樣條插值可以盡可能地保證圖像的平滑和連續性［14］，三次樣條插值的公式可以寫成：

1.2 超聲稀疏約束模型

1）重建約束模型。

高分辨率圖像X通過模糊降采樣得到低分辨率圖像Y，計算公式如下：

其中：H表示模糊濾波器；S表示降采樣結構算子。超分辨率的求解非常不適定，對于給定的低分辨率輸入Y，有無限多的高分辨率圖像X滿足上述重建約束。考慮到一般高分辨率圖像直接進行計算的數據量較大，因此需要把圖像X切割成若干小塊，對圖像塊xh進行先驗和稀疏處理來恢復丟失的高分辨率信息，以獲得局部細節。最后將所獲取的圖像的局部細節應用于重建約束中的全局模型，去除出現的偽影，使重建后的圖像更加自然。

2）稀疏先驗模型。

高分辨率圖像塊xh可以在適當選擇的完備字典Dh中稀疏表示，并且它們的稀疏表示形式可以從低分辨率的觀測中恢復：

其中，K是矩陣R的維數。

將低分辨率字典Dl與高分辨率完備字典Dh進行聯合訓練，稀疏表示α將輸入圖像Y的圖像塊yl進行重建恢復。

對于一般圖像的超分辨率問題，Yang等［20］提出了一種基于稀疏性的通用圖像超分辨率算法。為了減少Dl和Dh字典的計算量，訓練它們對每一個低分辨率和高分辨率圖像塊都具有相同的稀疏表示。在對圖像進行超分辨率的恢復過程中，每個高分辨率圖像塊的像素強度由它的低分辨率塊的像素強度預測。對于每個低分辨率塊yl，尋找它唯一的關于Dl的稀疏表示形式并加入Dh中生成最終的完備字典，輸出高分辨率塊xh。尋找yl的最稀疏形式計算公式如下：

其中：F是稀疏算法的線性特征提取算子，主要作用是為系數α接近yl的程度提供約束性限制。雖然重建約束的優化問題是非確定性多項式的難題（Nondeterministic Polynomial hard，NP-hard），但只要α足夠稀疏仍可以通過?1代替?0作稀疏約束，易于優化求解，故求解形式可改寫成：

拉格朗日乘數法提供等效公式：

式（9）中，為了控制解的稀疏性和yl的保真度引入了參數λ。為了進一步減少計算量，并保證相鄰像素塊之間的稀疏兼容性，使用Onepass 算法［20］強化像素塊之間的兼容性。考慮到重建后的Dhα與相鄰高分辨率兼容性一致，增加了新的約束條件：

其中：P矩陣為當前目標塊與最初的高分辨率圖像的重疊區域；ω包含了之前重建的高分辨率圖像的值。由拉格朗日乘數法可得：

稀疏重建算法的偽代碼如下所示：

輸入 訓練字典Dl和Dh，低分辨率的原始圖像Y；

輸出 高分辨率重建圖像X*。

1）取Y的每個3× 3 小像素塊yl，并從左上角開始保證每個方向上有一個像素點重疊；

2）計算每個yl的平均像素強度m；

3）求解式（10）～（12），得到解α*；

4）生成高分辨率圖像塊xh=Dhα*，將重建后的高分辨率塊xh=xh+m放入高分辨率圖像X0中；

5）使用梯度下降法，找到最接近X0且滿足重建約束的圖像

2 有限元方法的設置

本文采用有限元方法對復合材料層合板中A0 模態的Lamb 波進行了數值分析。所有實驗均在Intel Core i7-8750H CPU @2.2 GHz 處理器、16 GB 內存的個人計算機上通過Abaqus/Explicit 6.12 有限元軟件和Matlab R2018 軟件實現。對14 層碳纖維復合材料不同位置分層缺陷與A0 模態Lamb波的傳播之間的相互作用進行了三維有限元模擬仿真。選取一種準各向同性的碳纖維復合材料板T300/5208 進行實驗，碳纖維復合板材采用平紋編織，并采用交替分層的方法鋪層，如圖2 所示。T300/5208 的材料屬性如表1 所示。

圖2 碳纖維板的鋪層示意圖Fig.2 Layering diagram of carbon fiber board

表1 復合材料T300/5208的材料屬性Tab.1 Material properties of composite material T300/5208

為了獲得準確的超聲數據，建立了4 個直徑為R=160 mm 的碳纖維復合材料圓板。考慮到邊界會對超聲信號產生反射、折射、模態雜糅等影響，本文設置實際檢測區域為以圓板中心為圓心、半徑R=400 mm 的區域，其余區域為保護區。使用基于扇掃的成像方法，在R=40 mm 的實際檢測區等角度布置了32 個壓電陶瓷傳感器。當其中一個發射超聲波信號時，另外31 個接收。分層損傷模型采用體積分割的方法［18］建立，損傷表面的有限元節點間隔為0.1 mm，在復合材料板的第7 層和第8 層之間設置分層模型。缺陷的直徑為5.6 mm，分別位于4 塊板的不同位置，實際檢測區與缺陷位置的布置圖如圖3 所示。實驗模型具體的參數如表2 所示。

圖3 分層缺陷布置圖（R=40 mm，圓心坐標（45.0，45.0））Fig.3 Diagram of delamination defect layout（R=40 mm，coordinate of center（45.0，45.0））

表2 模型參數Tab.2 Model parameters

數值研究中使用的Lamb 波的激勵信號由200 kHz 的正弦波經過5 周期漢寧窗加窗調制而成，激勵信號通過作用于傳感器所在位置對應的有限元節點的面外力而引入有限元模型，激勵信號可以表示為：

3 實驗與結果分析

利用本文提出的基于扇掃技術的FBP 算法提取有限元模擬得到的走時數據并濾波。走時數據為激勵信號與損傷信號的第1 個峰值的時間差，作為FBP 算法中的投影值代入Matlab 中進行圖像的重建，得到了如圖4 所示的復合材料的四種分層缺陷重建圖，四幅圖像的分辨率均為80× 80。可以看出，FBP 所成的分層缺陷圖像較為清晰和直觀，分層缺陷的位置與圖3 有限元仿真中所設置的位置基本一致。

圖4 基于FBP的分層缺陷重建圖Fig.4 Reconstruction images of delamination defects based on FBP

為了驗證稀疏超分辨率算法的一般性，對互聯網上隨機抽取的100 000 個圖像塊進行訓練得到高、低分辨率圖像塊的兩個字典，并且將稀疏字典的大小固定為2 048 以保證計算速度和圖像質量之間的平衡。將圖4 所示的四張復合材料分層缺陷圖代入訓練好的稀疏圖像超分辨率算法中進行采樣重建，得到了如圖5 所示的基于稀疏超分辨率的復合材料的四種分層缺陷圖。

圖5 基于本文算法的分層缺陷重建圖Fig.5 Reconstruction images of delamination defects based on proposed algorithm

為了驗證本文算法的有效性與可靠性并進一步評估稀疏算法對圖像質量的提升效果，使用線性插值算法對圖像進行抽樣，將重建得到4 張圖像由80× 80 的分辨率降低到40× 40。將本文算法與在圖像處理里經常用于銳化、放大圖像和對稀疏重建成像效果進行對比分析的線性插值、雙三次樣條插值［20］對降像素后的重建圖像還原到80× 80 進行比較。

選取峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）、結構相似度（Structural SIMilarity，SSIM）、邊緣結構相似度（Edge Structural SIMilarity，ESSIM）作為評價指標。

PSNR 是超分辨率重建的重要指標，表示信號的最大可能功率與影響它的表示精度的破壞性噪聲功率的比值，用于衡量經過處理后的圖像品質，PSNR 越大代表圖像質量越好。PSNR 可以由以下公式計算：

其中：圖像的尺寸是m×n；I1(i，j)和I2(i，j)分別代表兩幅圖像的(i，j)點上的像素強度。

SSIM 是基于結構信息退化［25］的質量評估的替代補充框架，用于評價兩幅圖像結構上的相似和失真程度。相較于PSNR，SSIM 考慮的要素更多，也更符合人眼對圖像的直觀感受。SSIM 越高圖像質量越好。SSIM 表示如下：

SSIM 主要考慮三個關鍵因素：亮度對比算子l(i，j)、差異對比算子c(i，j)、結構比較算子s(i，j)，如式（17）～（19）所示。

其中：μf和μg分別是原始圖像和濾波后圖像的平均像素等級；C1是為了避免分母為0 引起系統誤差而引入的小常數。

其中：σf和σg分別是原始圖像和濾波后圖像的對比標準差；C2是為了避免分母為0 引起系統誤差而引入的小常數；f和g為原始圖像和濾波后圖像的平均像素。

其中：σfg表示f與g的協方差；C3=C2/2 是為了避免分母為0引起系統誤差而引入的小常數。

通過對圖像邊緣特征的研究，在考慮各向異性規則性和不規則性的邊緣強度的同時，基于SSIM 的結構性參數特征定義ESSIM［26］，如下所示：

其中：E(f，i)和E(g，i)分別是原始圖像和濾波后圖像的邊緣強度；C4是為避免分母為0 而引起系統誤差的一個小常數。

相較于傳統對圖像結構的相似程度進行比較的評價指標SSIM，ESSIM 則更加關注圖像的邊緣信息以及還原情況的差異。復合材料的缺陷檢測主要觀測缺陷的大小、形狀和在板上的位置信息，而ESSIM 關注兩幅圖像的邊緣強度及邊緣準確度的差異，因此很適用于考察缺陷邊緣性差異的影響以及準確度。相較于SSIM，ESSIM 能精確地評價復合材料分層缺陷的邊緣信息與它的還原情況。ESSIM 越大，說明兩幅圖像的邊緣信息越相似，還原的效果越好。

表3 是對圖5 的復合材料板缺陷重建的原始圖降低分辨率到40× 40 再使用線性插值、雙三次樣條插值以及本文算法對降像素后的重建圖像還原到80× 80 后進行三種評價指標的比較，性能最優的結果加粗表示。可以看出，本文的稀疏超分辨率算法對4 幅缺陷圖像重建還原的質量最優，3 項指標均取得最優。對于復合材料板分層缺陷的超聲重建圖像，最關心的就是邊緣和位置信息。在本文算法與線性插值和雙三次樣條插值對超聲圖像邊緣特征的ESSIM 比較中，使用本文算法對超聲圖像邊緣信息的還原質量明顯優于傳統的線性插值和雙三次樣條插值算法。

表3 三種不同算法對缺陷圖像進行還原的質量的評價指標對比Tab.3 Comparison of evaluation indexes of defect image restoration quality among three algorithms

采用四幅圖的評價指標的均值以衡量總體的圖像質量。相較于使用線性插值的算法重建的圖像，本文算法重建圖像的PSNR、SSIM 和ESSIM 分別提高9.22%、2.90%與80.77%；相較于雙三次樣條插值算法重建的圖像，本文算法重建圖像的PSNR、SSIM、ESSIM 分別提高4.75%、1.52%與16.5%。

因此本文算法能對復合材料板分層缺陷之后的圖像進行優化，相較于傳統的線性插值和雙三次樣條插值法取得了明顯的優勢，尤其是對圖像邊緣的還原上，表明本文算法能夠有效地應用于超聲無損檢測的成像上；并且本文算法對四幅復合材料分層缺陷的重建的圖像中的缺陷大小和位置與有限元仿真設定的值基本一致，且缺陷輪廓也與設定一致。復合材料分層缺陷的成像圖的偽影較少，成像質量較高，表明使用基于稀疏表示的超聲FBP 層析成像算法能夠很好地處理復合材料板分層缺陷重建困難的問題。

4 結語

針對目前復合材料分層缺陷檢測可視化困難以及難以得到質量較高的分層缺陷圖像的問題，本文提出一種基于稀疏表示的超聲FBP 層析成像算法，使用高、低分辨圖像塊字典聯合訓練，以強化高、低分辨率塊與真實圖像塊之間的稀疏相似性，并使用低分辨率塊預測重建后的高分辨率塊的像素強度以保證整體圖像的像素強度不改變。使用有限元仿真獲取超聲Lamb 波復合材料板分層缺陷的走時信息，并使用超聲FBP 對復合材料分層缺陷進行圖像重建。將本文算法與其他兩種插值算法進行對比。實驗結果表明，本文算法的PSNR、SSIM、ESSIM 均取得最優結果，表明本文算法能夠得到較為精準的復合材料分層缺陷圖，并且成像質量相較于傳統的成像算法有一定提高。然而，本文并未對復合材料分層缺陷大小和面積進行定量研究，因此，今后將進一步研究以上問題，對復合材料分層缺陷進行更細致的量化。