不同流速下磁懸浮支撐單圓柱振子流致振動(dòng)響應(yīng)分析

邵祿宇，白 旭，牛建杰，孫 萌

(江蘇科技大學(xué) 船舶海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100)

0 引 言

海流能作為海洋能源之一，儲量約為50×109kW[1]。參考風(fēng)力發(fā)電裝置設(shè)計(jì)原理，利用流體流經(jīng)結(jié)構(gòu)引發(fā)結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行發(fā)電，使得海流能的發(fā)電領(lǐng)域的運(yùn)用獲得更多關(guān)注。

密歇根大學(xué)可再生能源實(shí)驗(yàn)室[2]設(shè)計(jì)并制造流致振動(dòng)低流速海流發(fā)電裝置，在振子上固定皮帶條，隨著振子運(yùn)動(dòng)，皮帶條帶動(dòng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生感應(yīng)電壓，這套裝置具有高能量密度與低啟動(dòng)流速的特點(diǎn)。Lobo[3]在渦激振動(dòng)基礎(chǔ)上加入了直線電機(jī)，組成VIV（vortex induced vibrations）系統(tǒng)，該系統(tǒng)通過改變質(zhì)量比與雷諾數(shù)分析對振子振幅、發(fā)電效率的影響。Hai Sun[4]通過對發(fā)電機(jī)的功率以及效率建模，提出一種能夠準(zhǔn)確計(jì)算多振子流致振動(dòng)耦合功率以及效率的方法，并運(yùn)用實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。譚俊哲[5]制作了直線發(fā)電機(jī)發(fā)電裝置，將直線發(fā)電機(jī)與流致振動(dòng)捕能裝置相結(jié)合，通過實(shí)驗(yàn)方法得到發(fā)電機(jī)在0.5 m/s 流速下的發(fā)電功率為0.075 W。李莉[6]利用柔性輕質(zhì)圓管在水流中產(chǎn)生渦激振動(dòng)，在柔性管中添入雙壓電片懸臂梁進(jìn)行發(fā)電，根據(jù)數(shù)學(xué)建模得到的響應(yīng)曲線計(jì)算出發(fā)電的最大電壓為2.431 V。已有成果多是基于金屬彈簧提供彈性回復(fù)力進(jìn)行流致振動(dòng)研究。考慮到金屬彈簧使用壽命短，需定期跟換等缺點(diǎn)，白旭等[7-8]提出了具有磁邊界的渦激振動(dòng)裝置，將磁力引入到流致振動(dòng)發(fā)電裝置中進(jìn)行研究。Masoumi[9]研究了磁懸浮排斥式的波浪能收集裝置，并且建立Duffing 方程以計(jì)算不同外激力作用下的振幅響應(yīng)，根據(jù)法拉第定律估算出系統(tǒng)的輸出電壓與頻率。

目前對于磁懸浮支撐的流致振動(dòng)研究仍然較少，本文針對磁懸浮流致振動(dòng)捕能裝置利用等效磁荷法計(jì)算出永磁體間磁力大小與磁體間間距關(guān)系，設(shè)定永磁彈簧中磁體排列方式以及最大壓縮量，得到永磁彈簧的磁力在不同位移下的磁力值，通過最小二乘法計(jì)算出磁力與位移的函數(shù)，將函數(shù)代入到流固耦合計(jì)算模型中，計(jì)算出磁懸浮支撐的單圓柱振子流致振動(dòng)的振動(dòng)響應(yīng)并加以分析。

1 磁懸浮支撐振子流致振動(dòng)物理模型

圓柱振子在來流作用下發(fā)生流致振動(dòng)，利用磁彈簧代替金屬彈簧給振子提供回復(fù)力，其物理模型如圖1 所示。單圓柱振子在來流作用下產(chǎn)生流致振動(dòng)發(fā)生位移，振子兩端的永磁體隨著振子運(yùn)動(dòng)偏離平衡位置，導(dǎo)軌兩端永磁體對振子端部永磁體產(chǎn)生反向作用力促使振子回到平衡位置，振子在水流力、彈性回復(fù)力以及系統(tǒng)自身阻尼力作用下產(chǎn)生往復(fù)運(yùn)動(dòng)。其受力模型如圖2 所示。

圖1 磁懸浮的單圓柱剛性振子流致振動(dòng)裝置原理圖Fig. 1 Schematic diagram of flow induced vibration device of magnetic suspension single cylinder rigid vibrator

圖2 磁懸浮的單圓柱剛性振子流致振動(dòng)裝置受力模型Fig. 2 Force model diagram of flow induced vibration device of magnetic suspension single cylinder rigid vibrator

2 磁懸浮支撐力分析

磁懸浮支撐流致振動(dòng)裝置得彈性回復(fù)力主要由永磁彈簧提供，由圖1 可以看出，永磁彈簧主要由3 塊永磁體構(gòu)成，可分為中間永磁體與端部永磁體，端部永磁體固定在導(dǎo)軌的兩端，中間永磁體連接著導(dǎo)軌并固定在振子上，跟隨振子沿著導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。中間永磁體在運(yùn)動(dòng)過程中受到2 塊端部永磁體對它的作用力，分別求出端部永磁體對中間永磁體的磁力并進(jìn)行矢量求和即可得到振子在振動(dòng)過程中受到磁彈簧的回復(fù)力，本文主要使用等效磁荷法對磁力進(jìn)行求解。

2.1 等效磁荷法計(jì)算

2 塊永磁體的幾何尺寸分別為2A，2B，2C 以及2a，2b，2c，2 塊永磁體間的距離即面2 和面3 間距為h，以永磁體1 的中心O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖3 所示。

圖3 永磁體磁力求解模型Fig. 3 Permanent magnet magnetic force solution model

永磁體的充磁方式為沿z軸方向充磁，2 塊永磁體的極性相反。根據(jù)等效磁荷法[10]，設(shè)面1 上的一點(diǎn)p(x1,y1,2C+h+c)，面3 上一點(diǎn)q(x2,y2,c)，p與q點(diǎn)的磁荷分別為：

式中，σ1、σ2分別為面1 與面3 的磁荷面密度。

根據(jù)文獻(xiàn)[11] 中給出的永磁材料的磁化關(guān)系可知，磁荷面密度與剩磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系為：

根據(jù)式（1）與式（2）可推出點(diǎn)p對點(diǎn)q的作用力矢量為：

通過矢量力dF13可以求出點(diǎn)q點(diǎn)對點(diǎn)p在z方向上的分量為：

式中，k為z方向上單位矢量。

由點(diǎn)q與點(diǎn)p的坐標(biāo)可以求出：

通過對dF13的積分可得出面3 對面1 的作用力為：

同理可以求出F23，F(xiàn)14，F(xiàn)24，根據(jù)4 個(gè)面之間的力F13，F(xiàn)23，F(xiàn)14，F(xiàn)24以及磁面極性即可得出2 塊磁體間的斥力為：

2.2 磁彈簧磁力擬合

永磁彈簧的磁力主要受永磁體的材料、規(guī)格、永磁彈簧的最大壓縮量影響，本文主要研究永磁體的規(guī)格對磁力的影響，數(shù)值計(jì)算的材料屬性與最大壓縮量如表1 所示。根據(jù)設(shè)定參數(shù)構(gòu)建不同規(guī)格永磁體的永磁彈簧模型，并根據(jù)等效磁荷法算出永磁彈簧在隨振子位移過程中受到磁力如圖4 所示。永磁彈簧的磁力曲線呈非線性增長，中間永磁體在平衡位置時(shí)的磁力變化趨勢較平緩，當(dāng)中間永磁體靠近兩端時(shí)，磁力迅速增加。根據(jù)力與位移的關(guān)系使用最小二乘法進(jìn)行多項(xiàng)式擬合即可得到力與位移的函數(shù)關(guān)系。

圖4 不同規(guī)格永磁彈簧磁力與位移的關(guān)系Fig. 4 Relationship between magnetic force and displacement of permanent magnet springs of different specifications

表1 永磁體參數(shù)Tab. 1 Parameters of permanent magnet

3 不同流速下振子流致振動(dòng)分析

3.1 流固耦合計(jì)算模型

圓柱振子的流固耦合計(jì)算模型如圖5 所示。整體采用柱形計(jì)算域，從圖上看，計(jì)算域上下邊界為自由滑移表面（Free slip wall），計(jì)算域的前后邊界為對稱邊界（Symmetry），計(jì)算域入口采用速度進(jìn)口（Velocity inlet），計(jì)算域出口為壓力出口邊界（Pressure outlet），圓柱表面是無滑移壁面（No slip wall）。

圖5 計(jì)算域及邊界條件示意圖Fig. 5 Schematic diagram of calculation domain and boundary conditions

為了保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，根據(jù)H.Lee[14]在高阻尼比實(shí)驗(yàn)中的模型為基礎(chǔ)，具體參數(shù)如表2 所示。為了保證振子在計(jì)算時(shí)的三維特性[15]，振子的長度等比例縮小了3.27 倍，相對應(yīng)的振子的質(zhì)量、剛度、阻尼力也同比例縮小，剛度為2.3 的擬合結(jié)果，系統(tǒng)阻尼為論文[14]中的系統(tǒng)阻尼。

表2 振子具體參數(shù)Tab. 2 Specific parameters of vibrator

3.2 振幅比與頻率響應(yīng)

圖6 為不同流速下振子的振幅比。可以看出：0.04～0.06 m 永磁體振子的起振流速都較低，在計(jì)算流速區(qū)間內(nèi)的振幅比變化相對平穩(wěn)，在0.6～0.7 m/s區(qū)間內(nèi)達(dá)到最大值，最大振幅比接近0.8。0.07～0.1 m永磁體振子的起振流速較高；隨著流速增長0.07 m，0.08 m 永磁體振子的振幅比增量較大，最大振幅比在0.8 左右；0.09 m 永磁體振子的振幅比增量較小，最大振幅比在0.64 左右；0.1 m 永磁體振子在整個(gè)流速區(qū)間上的振幅比都很低，最大振幅比為0.39。比較不同規(guī)格永磁體的最大振幅比可以看出，永磁彈簧振子的流致振動(dòng)過程中存在上限振幅比。這主要是由永磁彈簧的磁力增長呈非線性關(guān)系造成的，當(dāng)振子位移振幅比較大時(shí)，永磁體間斥力增大幅度增加，振子向端部運(yùn)動(dòng)過程中受到的磁力迅速增大，抑制了振子振幅的增加，根據(jù)本文計(jì)算結(jié)果可以看出最大壓縮量1.2D的永磁彈簧流致振動(dòng)臨界振幅比在0.8 左右，這是振子在運(yùn)動(dòng)過程中能達(dá)到的最大振幅比。

圖6 不同流速下振幅比隨永磁體規(guī)格變化曲線Fig. 6 Variation curve of amplitude ratio with permanent magnet specification at different flow rates

由圖7 可以看出，在整個(gè)流速區(qū)間內(nèi)，振子振動(dòng)頻率隨著流速增加而增加，增長趨勢的快慢主要受永磁體規(guī)格影響。在0.4～0.6 m/s 流速區(qū)間內(nèi)，振子的振動(dòng)頻率相差不大，隨著流速增加，振子的振動(dòng)頻率隨著永磁體規(guī)格的增加先增加再減小，0.04 m 永磁體振子的振動(dòng)頻率增幅最小，0.09 m 永磁體振子的振動(dòng)頻率增幅最大。

圖7 不同流速下頻率隨永磁體規(guī)格變化曲線Fig. 7 Variation curve of frequency with permanent magnet specification at different flow rates

4 結(jié) 語

本文基于等效磁荷法對永磁體間的磁力進(jìn)行擬合并構(gòu)建永磁彈簧模型，得到不同規(guī)格永磁彈簧的磁力位移函數(shù)，并將函數(shù)代入到STAR-CCM+中進(jìn)行單圓柱振子流致振動(dòng)求解，得到以下結(jié)論：

1） 0.06 m 永磁體振子在整個(gè)流速區(qū)間上的平均振幅比較大，頻率相對穩(wěn)定，平均頻率能達(dá)到1.5 Hz，能夠適應(yīng)流速在0.4～1 m/s 的變化的流場。

2）0.07 m 和0.08 m 永磁體振子在0.8～1 m/s 流速范圍內(nèi)能夠達(dá)到臨界振幅比，頻率能夠達(dá)到0.06 m 永磁體振子的2 倍，如果流場的流速能夠穩(wěn)定在0.8～1.0 m/s范圍內(nèi)，0.07 m 和0.08 m 永磁體振子能夠獲得更多的能量。

3）磁懸浮支撐流致振動(dòng)裝置有上限振幅，當(dāng)振子運(yùn)動(dòng)幅度較大時(shí)，永磁彈簧會(huì)對振子的振動(dòng)頻率起到抑制作用，1.2D壓縮量的永磁彈簧的上限振幅比在0.8 左右。