考慮剪切變形下隧道開挖引起鄰近樁基水平向響應簡化分析

馮國輝，鄭茗旺，黃展軍，侯世磊，徐長節,5,6，程康，葛尚奇，孫佳政，黃小彬

(1.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州，310058；2.浙江大學 平衡建筑研究中心，浙江 杭州，310028；3.南昌軌道交通集團有限公司，江西 南昌，330013；4.中鐵十四局集團 第四工程有限公司，山東 濟南，250002；5.華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，江西 南昌，330013；6.江西省地下空間技術開發工程研究中心，江西 南昌，330013；7.中鐵十一局集團有限公司，湖北 武漢，430061；8.南昌市政公用工程項目管理有限公司，江西 南昌，330000)

隨著城市經濟的發展，城市地下空間的發展也越來越受到人們的青睞。這其中不乏存在隧道開挖對鄰近建筑物的影響，例如隧道開挖引起鄰近土體應力應變場發生改變，進而使得鄰近樁基發生較大變形無法正常工作。因此，關于隧道開挖對鄰近樁基的影響方面的研究也越來越受到眾多學者的關注。

相比于有限元模擬[1-2]和室內實驗[3-4]的方法，理論解析法可以簡單快速預測鄰近堆卸載對既有樁基變形響應。理論解析方法大多屬于兩階段分析法，第一階段通過LOGANATHAN等[5]提出能夠準確估算隧道開挖引起周邊土體位移計算公式；第二階段把自由土體位移作為附加應力施加在既有樁基上，將樁基簡化成不同的梁模型放置在不同的地基上，進一步獲得樁基單元受力平衡方程，最后求解方程得到樁基應答響應。基于單參數Winkler 地基模型，李早等[6-7]將樁基簡化成Euler-Bernoulli 梁擱置在Winkler 地基模型上，結合樁基兩端自由的條件獲得樁基變形響應差分解；梁發云等[8]引入最小勢能原理獲得Winkler 地基模型下既有樁基水平方向位移變形控制方程，隨之解方程獲得樁基變形解析解；LIANG等[9-10]基于彈性地基梁和Winkler地基模型，分別獲得水平荷載作用下既有樁基承載力解析和樁基非線性變形響應變分解；可文海等[11]基于Euler-Bernoulli梁和Winkler地基模型，解析獲得鄰近隧道開挖對既有樁基的豎向變形響應。然而，Winkler 地基模型并未考慮到土體剪切變形對樁-土相互作用的影響，在預測樁基變形時存在較大誤差。為了克服這一缺點，前人提出了能夠考慮土體剪切變形的雙參數Pasternak 和Ⅴlasov 地基模型，雙參數地基模型在計算地下結構物與土體相互作用時具有良好的預測精度，因此被廣泛使用[12-14]。馮國輝等[15]基于Winkler 和Pasternak 地基模型研究了隔離樁對盾構掘進對鄰近高鐵樁基的變形響應；梁發云等[16]基于Euler-Bernoulli梁Pasternak地基模型解析獲得受荷被動樁水平向解析應答；ZHANG等[17]考慮到樁周側向土體影響，基于Pasternak 地基模型提出了側向土體影響下樁土相互作用解析應答。

為了更加準確預測隧道開挖引起鄰近樁基的變形響應，KERR[18]提出了三參數Kerr 地基模型，楊濤等[19]基于Euler-Bernoulli 梁和Kerr 地基模型提出了鄰近堆卸載對鄰近樁基水平變形半解析解；ZHANG 等[20-21]利用Kerr 地基模型模擬樁-土相互作用，結合樁基兩端自由的條件，獲得樁基水平向變形解答。

綜上所述，大部分樁土相互作用的理論研究均是將樁基簡化成Euler-Bernoulli梁擱置在Winkler和Pasternak 地基模型上，忽略了樁基自身剪切變形的影響，而Kerr 地基模型通過多參數的加入，能夠有效地提高地基模型下土與結構相互作用的響應精度。基于此，本文作者在前人研究的基礎上采用兩階段法分析樁-土相互作用，第一階段通過LOGANATHAN等[5]提出的解析公式估算隧道開挖引起周邊土體自由水平位移，第二階段將樁基簡化成Timoshenko 梁[22]放置在Kerr 地基模型上，建立樁基水平向受力平衡方程，并結合樁基兩端約束情況獲得樁基水平向變形響應應答。隨后考慮群樁之間土體遮攔效應獲得隧道開挖引起鄰近群樁水平向變形半解析解。將本文方法計算結果與已有的工程實測和有限元數據對比，驗證了本文方法的正確性，最后進一步分析了地層損失比、隧道埋深、樁隧相對位置變化對樁基水平向變形及其內力的影響。

1 理論推導過程

1.1 隧道開挖引起周邊土體自由場水平位移

LOGANATHAN等[5]就軟土地區土體變形特性提出隧道開挖引起周圍土體自由位移變化公式，其表達式為

式中：ε為地層損失率；R為隧道半徑；y為樁基截面中心點到隧道軸線處水平距離；x為樁身某點距離地面的豎向距離；H為隧道軸線埋深深度；v為均質土體泊松比。

1.2 盾構開挖引起鄰近單樁水平位移解析

為了簡化計算，Kerr地基模型如圖1所示，并做出以下假設：

圖1 Kerr地基模型Fig.1 Kerr foundation model

1)既有樁基簡化成Timoshenko 梁擱置在彈性地基上；

2)樁-土相互作用滿足Kerr地基模型要求；

3)樁基為常為L的彈塑性連續變形體，不考慮結構物與土體存在相對位移，土與結構變形協調一致。

1.3 樁基變形理論推導

根據Kerr 地基模型理論知，樁基變形w(x)滿足式(2)：

式中：w1(x)為第1層彈簧的變形量；w2(x)為第2層彈簧的變形量。利用兩層彈簧的受力特性得到式(3)和式(4)：

式中：p1(x)為第1 層彈簧反力；c為第1 層彈簧剛度。

式中：p2(x)為剪切層下方第2層彈簧反力；k為第2層彈簧剛度。

對于剪切層受力特性有：

式中：G為土體剪切層剛度。

將式(2)～(4)合并可得：

樁基受到的附加應力q(x)可表示為

式中：V(y，x)為式(1)中土體水平自由位移場。

考慮到Timoshenko梁[22]的曲率方程為

式中：M為梁所受彎矩；EI為梁體抵抗變形抗彎剛度；q(x)為梁體所受到附加應力；Δ=κGaA為梁體剪切剛度；Ga為梁體剪切模量；A為梁體橫截面面積，對于圓形截面，κ一般取0.9。

根據Timoshenko梁[22]理論可知：

假設其剪切層滿足

式中：Mr為梁剪切層的彎矩。

將式(5)～(8)代入式(9)，可得：

樣品測試在武漢綜合巖礦測試中心進行，采用的測試方法為等離子體發射光譜法、X射線熒光光譜法、原子熒光光譜法、發射光譜法、石墨爐原子吸收法、離子選擇性電極法、催化極譜法、化學發射光譜法等。樣品測試質量采用了標準樣、密碼樣、監控樣等多種監控手段，并通過了中國地質調查局區域地球化學分析質量監督檢查組的驗收，分析質量為優秀級。

式(11)為隧道引起鄰近既有樁基的水平變形控制方程。本文為了簡化計算方法，采用有限差分法使其獲得6 階方程數值解。將既有樁基離散為n+7 個點(其中樁基兩端存在6 個虛點)，相鄰虛點之間間距為l，且l=L/n，其中L為樁長。樁基離散化如圖2所示。

圖2 既有樁基離散圖Fig.2 Discretization of existing pile

那么式(11)可化為

式中：(w2)i-2，(w2)i-1，(w2)i，(w2)i+1及(w2)i+2分別代表節點i-2，i-1，i，i+1及i+2水平位移。

結合式(6)～(9)可知樁基水平位移w(x)、彎矩M(x)、剪力Q(x)的表達式為：

為了消去樁基兩端6個虛擬單元，本文將樁基兩端簡化成兩個自由端，這樣可知樁基兩端彎矩M=0，剪切層彎矩Mr=0，剪力Q=0，即

K1，K2，K3和K4以及Q1，Q2和Q3分別表示為：

此時，便獲得w2(x)位移的半解析解，將得到的結果代入式(13)～(15)即可得到樁基水平位移w(x)、彎矩M(x)、剪力Q(x)。值得注意的是，當Timoshenko 梁剪切剛度Δ=∞時，本文解析將退化成Euler-Bernoulli梁下的Kerr地基模型解析(E-K模型)；當Kerr 地基模型中參數c=0 時，本文解析將會退化成Timoshenko 梁下Pasternak 地基模型解析(T-P模型)。

1.4 盾構開挖對鄰近群樁水平位移分析

當盾構過程側穿鄰近群樁時，相鄰樁基對土體應力傳遞的阻礙作用使得樁身處的土體自由位移減小，此現象就是群樁的遮攔效應。實際群樁水平附加位移應是隧道開挖引起的鄰近土體自由水平位移與鄰近樁基間遮蔽效應產生的水平位移之和。

圖3所示為開挖隧道側穿鄰近群樁簡化計算模型圖。若只考慮單樁時，隧道開挖引起樁1軸線位置土體自由水平位移為V1(x)，而樁1 軸線處實際水平位移為S1(x)，那么樁1 處土體產生的遮蔽位移為

圖3 隧道與群樁位置圖Fig.3 Location diagram of tunnel and pile group

式中：ΔS1(x)為隧道側穿引起樁1位置處產生的土體遮蔽位移。

樁1軸線處遮蔽效應引起樁2軸線位置處土體位移V21(x)為

λ為水平向土體傳遞系數，

式中：V2(x)為隧道開挖在單樁2軸線處產生的土體自由水平位移。

此時在隧道開挖引起群樁中樁2軸線處土體實際自由水平位移為

1.5 Kerr地基模型參數確定

根據ZHNAG 等[17]的建議，土體彈簧剛度k可參照文獻[23]的建議取值，土體剪切層剛度G可由TANAHASHI[24]提出的經驗公式取值，具體如下：

式中：Es為地基彈性模量：t為地基剪切層厚度：v為均質土體泊松比。本文參照以往研究[25]，近似將11D(D為樁的直徑)等效為地基土的剪切層厚度。

參照簡化彈性空間法[26]，Kerr的地基參數c取

2 算例分析

2.1 已有文獻單樁算例對比

文獻[17]報道了隧道開挖側穿鄰近單樁的工程實例，其簡化圖如圖4所示。工程實況如下：圓形截面單樁直徑D=1.2 m，單樁插入深度L=28 m，樁基模量Ep=30 GPa；隧道軸線埋深H=15 m，隧道軸線與樁基軸線水平距離y=5.7 m，隧道成后半徑R=4.125 m，地層損失率?=0.5%。基于文獻[17]地層分層情況及其建議，取本算例中土體模量Es為54 MPa。

圖4 隧道與樁基的位置示意圖Fig.4 Location diagram of tunnel and pile foundation

圖5所示為本文方法計算結果與文獻[17]中計算結果對比圖，其中三種方法均是采用差分法獲得樁基變形解析，且三種結果變化趨勢與實測結果一致。既有理論是將樁基簡化成Euler-Bernoulli梁擱置在單參數Winkler和雙參數Pasternak地基模型上，而Winkler地基模型并未考慮到土體剪切效應，很明顯計算結果與實測結果偏差很大；Pasternak 地基模型考慮了土體剪切效應的因素，但其計算結果與實測結果也存在一定的誤差；但很明顯Pasternak 地基模型預測結果與實測結果更接近，從兩種地基模型計算結果可以看出，土體剪切效應對于土與結構相互作用的研究是不可忽略的。相比于Pasternak 地基模型預測結果，本文方法既考慮到了多參數對提高計算精度的作用，也考慮到了Timoshenko 梁考慮到梁體剪切剛度的影響，其計算精度提高明顯，更加貼近于實測結果。可見本文方法相比于現有的計算方法，具有一定的優越性。

圖5 單樁水平位移分析(與已有文獻對比)Fig.5 Analysis of horizontal displacement of single pile(compare with existing paper)

2.2 既有文獻群樁算例比較

本算例以LOGANATHAN 等[27]三維邊界元GEPAN 軟件模擬隧道開挖引起鄰近2×2 群樁水平位移，并與本文方法計算結果進行對比驗證。隧道與群樁簡化模型如圖6所示，其假定均質土體彈性模量Es=24 MPa，泊松比υ=0.5，樁基模量Ep=30 GPa，樁底距離地表深度L=25 m，樁基直徑D=0.8 m，隧道開挖半徑R=3 m，隧道軸線埋深H=20 m，地層損失率?=1%。隧道軸線與前排樁水平距離y1=4.5 m，隧道軸線與后排樁水平距離y2=6.9 m。

圖6 隧道與群樁簡化示意圖Fig.6 Simplified diagram of tunnel and pile group

為了驗證本文方法的有效性以及本文方法退化解與本文方法的差別，圖7和圖8所示分別為本文方法、T-P模型、E-K模型與有限元結果樁2水平位移和彎矩對比圖。由圖7和圖8可以看出：三種方法計算結果與有限元結果趨勢相同，而T-P模型預測結果明顯偏大。本文作者認為這是由于未考慮到Kerr地基模型參數c加入，使得本文方法計算精度有了較大提高。相比于本文方法，E-K模型位移結果偏小，但其彎矩預測結果偏大，本文作者認為這是E-K模型沒有考慮到梁體剪切剛度會削弱梁體抵抗外力變形的影響，這樣會使得Euler-Bernoulli 梁抵抗外力變形的能力增強，但其承擔的彎矩內力也會變大。從圖7 和圖8 可以得出：本文方法和E-K模型均能較好預測樁2水平位移及彎矩變化，從而驗證了本文方法的有效性。

圖7 樁2水平位移Fig.7 Horizontal displacement of pile 2

圖8 樁2彎矩Fig.8 Bending moment of pile 2

3 參數分析

為了研究土體損失率、隧道埋深、樁隧位置變化對樁基受力變形影響，以LOGANATHAN等[27]三維邊界元GEPAN 模擬隧道引起鄰近2×2 群樁變形響應的工程為例。本文利用控制變量法對樁土相互作用進行參數分析。

3.1 地層損失率對既有群樁的影響

為研究地層損失率對隧道開挖引起鄰近群樁變形響應的影響，取5 組不同地層損失率?進行參數分析，?分別為0.5%，1.0%，1.5%，2.0%和2.5%時采用本文方法計算樁2變形響應。

圖9 和圖10所示分別為基于不同地層損失率下，隧道開挖引起鄰近群樁中樁2水平位移和彎矩響應圖。由圖9可知：樁2的水平位移峰值隨著地層損失率增大而增大，地層損失率每增加0.5%，其峰值增幅基本上保持恒定。由圖10 可知：在不同地層損失率下，樁2彎矩峰值變化與樁2水平位移峰值變化相似。本文作者認為這是由于樁基軸線處土體自由位移場與地層損失率變化成正比關系，增大地層損失率會同步線性增大樁基的水平附加應力，這樣也會使得樁2產生實際水平位移也在等比例增大。

圖9 不同地層損失率下的樁2水平位移Fig.9 Horizontal displacement of pile 2 with different ground loss ratios

圖10 不同地層損失率下的樁2彎矩Fig.10 Bending moment of pile 2 with different ground loss ratios

3.2 隧道埋深對既有群樁的影響

為研究隧道埋深對隧道開挖引起鄰近群樁變形響應的影響，取5組不同隧道埋深H進行參數分析，H分別取14，16，18，20 和22 m，并采用本文方法計算樁2變形響應。

圖11 和圖12所示分別為不同隧道埋深下，隧道開挖引起鄰近群樁中樁2 水平位移和彎矩響應圖。由圖11可知：隧道埋深從14 m增至22 m的過程中，樁2 水平位移峰值緩慢增大，其增幅較小，位移峰值出現的位置深度也在不斷增加。從圖12可知：隧道埋深從14 m 增至22 m 的過程中，樁2彎矩峰值由3個逐漸變為2個；當隧道埋深靠近樁底時，彎矩峰值明顯減小。基于此，對于實際工程中盾構側穿既有鄰近群樁時，應盡量增大開挖隧道的埋深。

圖11 不同隧道埋深下的樁2水平位移Fig.11 Horizontal displacement of pile 2 with different depth of tunnels

圖12 不同隧道埋深下的樁2彎矩Fig.12 Bending moment of pile 2 with different depth of tunnels

3.3 樁隧位置對既有群樁的影響

為研究樁隧位置的改變對隧道開挖引起鄰近群樁變形響應的影響，取5組不同樁隧距離y2進行分析，y2分別取7，8，9，10和11 m，并采用本文方法計算樁2變形響應。

圖13 和圖14所示分別為不同y2下，隧道開挖引起鄰近群樁中樁2水平位移和彎矩響應圖。由圖13可知：y2從7 m增至11 m的過程中，樁2水平位移峰值逐漸減小，但其速率是不斷變緩的。由圖14可知：在不同y2下，樁2彎矩峰值的變化與樁2水平位移峰值變化相似。本文作者認為這是由于隨著樁2位置越來越遠離隧道開挖軸線時，隧道開挖引起樁2位置處的自由位移場也會逐漸減小，同樣的樁1 對樁2 的遮蔽位移也逐漸減小，使得樁2的水平位移和彎矩不斷減小且其減小速率也在變緩。

圖13 不同y2下的樁2水平位移Fig.13 Horizontal displacement of pile 2 with different values of y2

圖14 不同y2下的樁2彎矩Fig.14 Bending moment of pile 2 with different values of y2

4 結論

1)基于兩階段法，采用LOGANATHAN 公式獲得隧道開挖引起鄰近土體自由水平位移場，再將樁基簡化成Timoshenko 梁擱置在Kerr 地基模型上，并結合樁基兩端邊界條件獲得既有樁基變形解析應答。

2)通過與既有理論及其工程實測結果對比，說明了相比于傳統的單參數Winkler 和雙參數Pasternak 地基模型差分解結果，本文方法預測結果更加符合實測結果；與既有文獻有限元結果對比，本文方法計算結果基本符合有限元結果，且相比于本文方法退化解更既有優越性。

3)鄰近群樁水平位移及其彎矩會隨著地層損失率增大而線性增大；隧道埋深增大會引起鄰近群樁水平位移減小，且隧道埋深接近于樁底時，樁基彎矩峰值會明顯減小；樁隧間距增大會引起鄰近群樁水平位移及其內力減小，其減小速率逐漸變緩。