量化參數失配下基于事件觸發的量化反饋滑?？刂?/h1>

2023-03-27 12:48:54陳志鵬鄭柏超賴琛趙陽陽

科學技術與工程訂閱 2023年5期 收藏

關鍵詞：系統設計

陳志鵬，鄭柏超,2*，賴琛，趙陽陽

(1.南京信息工程大學自動化學院，南京 210044； 2.江蘇省大氣環境與裝備技術協同創新中心，南京 210044)

在數字網絡控制環境中，由于實際信號傳輸的帶寬限制，數據傳輸之前信號量化是必不可少的過程。量化控制分為靜態量化控制[1]和動態量化控制[2-3]。靜態量化器的量化參數固定，在實際應用中不能完全消除穩態誤差和避免量化器飽和，所以針對靜態量化器存在的問題，人們在此基礎上加入動態參數提出了動態量化控制。目前主流的方法有在線檢測技術[4]和離線計算技術[5]。它們的共同點是，當量化的信號發生測量飽和時，調整動態參數來增加量化范圍，當量化的信號收斂時通過調整動態參數來降低量化誤差的影響。

事件觸發控制[6-9]可以確保系統穩定和性能的同時降低帶寬要求，在滿足某些預先設計的條件后進行采樣，當采樣誤差超過一定閾值時確定采樣時間并更新控制律。與動態量化控制的結合能更有效減少網絡信號傳送和節約網絡資源。文獻[7]中基于事件觸發機制和量化控制策略，研究了離散時滯奇異馬爾科夫跳變系統的控制器問題。在文獻[8]中，系統的輸出量化和控制輸入量化由兩個不同的動態量化器實現，并設計了一個動態輸出反饋控制器，以確保統一的全局漸近穩定性和L2增益性能。對于非線性系統，文獻[9]研究了在采樣前量化和采樣后量化情況下基于事件觸發采樣的非線性系統狀態的動態量化控制。

滑?？刂芠10-11]是克服擾動和參數不確定性的有效工具。事件觸發滑?？刂芠12-13]與量化反饋滑?？刂芠14-15]擁有良好的魯棒性引起了相當大的關注。但是上述文獻考慮的是理想情況下的量化過程，也就是編碼器側和解碼器側的量化器靈敏度參數一致。由于硬件缺陷，實踐中量化器靈敏度參數不會完全保持一致。針對量化參數失配問題，文獻[16]研究了時變比率模型和量化器靈敏度參數的不匹配關系，設計的滑?？刂坡煽梢员ＷC系統的漸近穩定性。文獻[17]研究了含有多個量化通道的線性系統的H2控制問題。在各通道量化參數不匹配的情形下，設計一種包含線性控制和非線性控制部分的復合控制方案，滿足了H2性能要求并抵消量化誤差。文獻[18]針對信息物理系統，研究了執行器攻擊和量化參數不匹配下的控制設計問題，設計的控制器可以消除量化誤差，并實現對攻擊的魯棒補償。文獻[19]通過[K,KL]扇區的特點并設計基于開關邏輯的控制器來消除由于量化參數引起的不確定性。

在上述研究的基礎上，現設計聯合事件觸發機制和動態量化策略的滑?？刂品椒?。研究線性不確定系統中量化器飽和問題的同時，考慮編碼器和解碼器側的量化器靈敏度參數的失配問題。編碼器和解碼器側的量化器靈敏度參數更新均使用動態量化方法，提出一種量化器靈敏度變化率時變的離散在線調整策略。結合離散在線調整策略建立編碼器和解碼器側量化參數失配的時變比例模型。將量化器的事件觸發方案和提出的離散在線調整策略相結合，保證所設計的滑?？刂破骺梢詫⑾到y狀態驅動到期望的滑模面，對線性不確定系統具有良好的收斂性能，建立閉環系統的全局魯棒鎮定。

1 預備知識及問題描述

1.1 預備知識

Rn表示n維歐幾里得空間，Z>0是正整數的集合，Z≥0包含Z>0和0。符號He(X)表示X+XT。sign(·)表示符號函數?！瑇‖p是向量或矩陣的p范數。λmin(·)表示方陣的最小特征值。

1.2 問題描述

考慮一類不確定系統，表達式為

(1)

式(1)中：x(t)∈Rn為狀態向量；u(t)∈Rm為控制輸入，外部干擾w[t,x(t)]∈Rm；A∈Rn×n、B∈Rn×m分別為適當維數的系統矩陣和輸入矩陣。

量化器被視為分段函數q:Rn→E，其中E是Rn的有限子集，結合事件觸發機制和動態量化策略后，量化參數失配的量化器定義為

(2)

式(2)中：q(·)為取整函數；ti,i∈Z≥0表示事件觸發的瞬間；x(ti)為事件觸發機制后的狀態信息；tk,k∈Z≥0為量化靈敏度參數的更新時刻；τc(tk)和τd(tk)分別為量化器qτ(tk)[x(ti)]在編碼器側和解碼器側的靈敏度參數。

事件觸發機制定義為

ti+1=inf{t∈(ti,+∞):‖Ce(t)‖≥

α‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖}

(3)

式(3)中：e(t)=x(ti)-x(t)為采樣誤差；α∈(0,β+1)是事件觸發閾值參數；β為大于1的正參數；C∈Rm×n為切換向量。

量化器滿足以下條件[15]：

‖x(ti)‖≤Mτc(tk)?‖eτ(tk)(ti)‖≤Δτc(tk)，

‖x(ti)‖>Mτc(tk)?‖qτc(tk)[x(ti)]‖>(M-Δ)τc(tk)，M為量化測量飽和參數，給出以下兩個假設。

假設1系統(A,B)是可控的。

假設2干擾w[t,x(t)]滿足‖w[t,x(t)]‖≤w1+w2‖x(t)‖2，w1和w2是已知的正實數。

用到引理1[20]:

對于任意的β>1，事件觸發閾值參數α∈(0,1)，如果參數τc(tk)>0并滿足

(4)

不等式(5)成立，即

(5)

2 量化策略和控制器設計

2.1 滑模面設計

定義線性滑模面為

s(t)=Cx(t)=C1x1(t)+C2x2(t)=0

(6)

式(6)中：C∈Rm×n，C1∈Rm×(n-m)，C2=Im×m。

假設系統(1)的結構[21]為

(7)

B2u(t)+B2w[t,x(t)]

(8)

式中：x1(t)∈R(n-m)，x2(t)∈Rm，A11∈R(n-m)×(n-m)，A12∈R(n-m)×m，A21∈Rm×(n-m)，A22∈Rm×m，B2∈Rm×m，將x2(t)=-C1x1(t)代入式(7)，有

(9)

He[(A11-A12C1)TP]+Q<0

(10)

如果存在正定矩陣X=P-1∈R(n-m)×(n-m)，Z=Q-1∈R(n-m)×(n-m)和Y=C1X∈Rm×(n-m)滿足線性矩陣不等式為

(11)

式(11)中：*表示矩陣中對于對角線的對稱位置上的元素。

那么降階系統[式(9)]是穩定的[20]。

2.2 量化參數失配的離散在線調整策略

量化失配無法給出具體的失配方式，所以動態量化中量化器靈敏度參數的變化率不能是一個固定值，而是一個保持在某一區間的隨時間變化的不確定的值。結合動態量化構造了量化參數失配的量化器靈敏度參數τc(tk)和τd(tk)的離散在線調整方式，包括兩個階段：Zoom-out階段(開環縮小階段)和Zoom-in階段(閉環放大階段)，邏輯變量θ用于區分這兩個階段，形式如下。

(12)

通過在動態量化中加入時變量化器靈敏度參數變化率，建立編碼器和解碼器側的量化參數的時變比例模型，量化器靈敏度參數τc(tk)和τd(tk)的離散更新如下。

(13)

(14)

2.3 控制器設計

滑模控制律的形式如下。

u(t)=u1(t)+u2(t)

(15)

u1(t)=-(CB)-1CAqτc(tk)[x(ti)]-

ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}

(16)

u2(t)=-φ(CB)-1sign{Cqτc(tk)[x(ti)]}×

(17)

其中w*=w1+w2Δτc(tk)+w2(φ+1+α)‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞。

2.3.1 定理1

證明在Zoom-out階段，控制輸入u(t)為0，系統方程[式(1)]變為

(18)

證明過程類似于文獻[20]中的定理2的證明，可以得到

‖x(t)‖≤a1ea2t

(19)

根據動態量化機制，可以觀察到在Zoom-out階段，τc(tk)的更新速率快于系統的發散速率，存在時刻tk>t0，使得‖x(t)‖>Mτc(tk)和‖x(t)‖≤Mτc(tk+1)，此時系統狀態被捕獲，進入Zoom-in階段，根據引理1[式(4)]，需要考慮兩種情況。

將證明兩種情況下狀態軌跡會進入邊界層區域。

=[Cx(t)]T{CAx(t)+CBu(t)+

CBw[t,x(t)]}

(20)

因為eτ(tk)(ti)=r(tk)qτc(tk)[x(ti)]-x(ti)，e(t)=x(ti)-x(t)，有

Ce(t)}T{CA[r(tk)-1]qτc(tk)[x(ti)]+

CAqτc(tk)[x(ti)]-CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+

CBu(t)+CBw[t,x(t)]}

(21)

將式(16)代入式(21)可得

ksign{qτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-

[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×

ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-

(22)

整理后有

r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}T{CA[r(tk)-1]×

qτc(tk)[x(ti)]-CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+

CBw(t,x(t)]}-

[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×

ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-

(23)

通過對r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)進行放縮可得

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

(1-φ){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

r(tk){Cqτc(tk)[x(ti)]}T×

{CA[r(tk)-1]qτc(tk)[x(ti)]-

CAeτ(tk)(ti)-CAe(t)+CBw[t,x(t)]}-

[Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)]T×

ksign{Cqτc(tk)[x(ti)]}-CAeτ(tk)(ti)-

(24)

因為‖XTY‖≤‖X‖1‖Y‖∞，不難得到

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

(1-φ){Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

‖r(tk)‖1‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×

{‖r(tk)-1‖∞‖CA‖∞×

‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+

‖CA‖∞‖eτ(tk)(ti)‖∞+‖CA‖∞×

‖e(t)‖∞+‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞}+

‖Ceτ(tk)(ti)+Ce(t)‖1×

{‖r(tk)-1‖∞‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+

k‖CA‖∞‖eτ(tk)(ti)‖∞+‖CA‖∞×

‖e(t)‖∞+‖CB‖∞‖u2(t)‖∞+

‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞}

(25)

注意到‖r(tk)-1‖≤φ，‖r(tk)‖≤φ+1，且‖eτ(tk)(ti)‖≤Δτc(tk)，結合引理1[式(4)]，可得

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

‖CBu2(t)‖∞+

{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

(φ+1)‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×

[(φ+α)‖CAqτc(tk)[x(ti)]‖∞+

‖CA‖∞Δτc(tk)+

‖CB‖∞‖w[t,x(t)]‖∞]+

{(φ+α)‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+

k‖CA‖∞Δτc(tk)+‖CB‖∞×

‖w[t,x(t)]‖∞}

(26)

整理可得

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

CBu2(t)+‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×

‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+

(27)

根據假設2，w*=w1+w2Δτc(tk)+(φ+1+α)w2‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞，可得

‖w[t,x(t)]‖≤w1+w2‖x(t)‖≤

w1+w2‖r(tk)qτc(tk)[x(ti)]-eτ(tk)(ti)-

e(t)‖≤w1+w2[(φ+1+α)×

‖qτc(tk)[x(ti)]‖+Δτc(tk)]≤w*

(28)

將式(28)代入式(27)可得

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

‖CBu2(t)‖∞+

(φ+α)‖CA‖∞‖qτc(tk)[x(ti)]‖∞+

(29)

‖CB‖∞w*，可以得到

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

‖CBu2(t)‖∞+

CBu2(t)+‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1×

(30)

另一方面，通過式(17)中u2(t)的設計,結合‖r(tk)-1‖≤φ，有

[r(tk)-1]{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)+

φ{Cqτc(tk)[x(ti)]}TCBu2(t)≤0

(31)

(32)

(33)

綜合式(30)～式(33)，容易得到

(34)

對于?a∈R,b∈R，不等式‖a+b‖1≤‖a‖1+‖b‖1成立，再結合引理1[式(4)]得到‖Cx(t)‖1≤‖Cr(tk)qτc(tk)[x(ti)]-

‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1

(35)

所以可得

(36)

兩邊同時乘以-kr(tk)，有

-kr(tk)‖Cqτc(tk)[x(ti)]‖1≤-kr(tk)×

(37)

因為‖a‖1≥‖a‖2，有‖Cx(t)‖1≥‖Cx(t)‖2，可以看到

(38)

C1x1(t)+x2(t)=δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)

(39)

因此可以得到

x2(t)=-C1x1(t)+δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)

(40)

將式(40)代入式(7)得

A12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)

(41)

[A12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)]TPx1(t)+

x1(t)PA12δσ(1+β)‖C‖1Δτc(tk)

‖PA12‖2‖C‖1‖x1(t)‖2

(42)

所以

‖x1(t)‖2≤

(43)

因為‖x(t)‖2≤‖x1(t)‖2+‖x2(t)‖2，結合式(40)可得

‖x(t)‖2≤(1+‖C1‖2)×

σ(1+β)Δτ(tk)‖C‖1

(44)

‖x(t)‖2≤KΔτc(tk)

(45)

(46)

在式(46)兩邊同除以τc(tk)，得到

(47)

‖x(ti)‖2≤‖r(tk)‖2‖qτc(tk)[x(ti)]‖2+

‖eτ(tk)(ti)‖2≤

(48)

‖x(ti)‖2≤Mτc(tk+1)

(49)

事件觸發控制中，如果相鄰兩次觸發的時間間隔過小，也就是趨近于0時，控制器會無限次觸發，也就是Zeno行為，需要證明事件觸發間隔存在下限。

2.3.2 定理2

對于含有式(15)～式(17)控制器的不確定線性系統[式(1)]，事件觸發機制滿足式(3)，幀間時間Ti=ti+1-ti，i∈Z≥0在Zoom-out階段和Zoom-in階段分別滿足

(50)

(51)

證明 Zoom-out階段，根據假設2和e(ti)=0，考慮式(17)可得

‖x(t)‖+w1‖B‖≤

(‖A‖+w2‖B‖)‖e(t)‖+

(‖A‖+w2‖B‖)‖x(ti)‖+w1‖B‖

(52)

應用比較引理，可以得到

‖e(t)‖≤

[e(‖A‖+w2‖B‖)(ti+1-ti)-1]

(53)

根據事件觸發機制可得

α‖qτc(tk)[x(ti)]‖≤

[e(‖A‖+w2‖B‖)(ti+1-ti)-1]

(54)

最后有

(55)

同理在Zoom-in階段，不難看出

‖e(t)‖+(‖A‖+w2‖B‖)‖x(ti)‖+

‖B‖‖u(t)‖+‖B‖w1

(56)

最終可以得到

(57)

3 系統仿真

3.1 實例一

為了說明事件觸發機制和量化器靈敏度參數失配的離散更新策略的有效性，考慮火箭整流罩聲學結構模型[22]，系統矩陣、輸入矩陣和外部干擾如下所示。

表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters

表2 和 Table 2

表3 和Table 3

應用所提出的滑模控制律，結合提出的事件觸發機制和量化參數失配的離散更新機制，仿真結果如圖1～圖8所示。

圖1 系統狀態響應曲線Fig.1 Response curves of system states

圖2 系統控制輸入響應曲線Fig.2 Response curves of system control inputs

圖3 滑動函數的響應曲線Fig.3 Response curves of the sliding function

圖4 邏輯變量θ Fig.4 Logical variableθ

圖5 靈敏度參數τc(t)更新曲線Fig.5 Update curves of sensitivity parameter τc(t)

圖6 幀間時間圖Fig.6 Interframe time graph

圖7 和的變化圖Fig.7 Variation diagram of

圖8 和的變化圖Fig.8 Variation diagram of

其中系統的響應曲線圖如圖1～圖3所示，可以看出，設計的控制器在系統存在外部干擾和量化參數失配的情況下系統的狀態、控制輸入和滑模面均能收斂于原點并且趨近于穩定。

圖4和圖5中邏輯變量θ和靈敏度參數τc(t)都可以反映出系統都是從Zoom-out階段轉換到Zoom-in階段，τc(t)在Zoom-out階段持續變大，轉換到Zoom-in階段后持續變小。

圖6給出系統的幀間時間，結果表明不存在Zeno行為。圖7和圖8顯示在Zoom-out階段和Zoom-in階段τc(t)的變化率的不匹配情況，從表2和表3很容易看出，兩個量化靈敏度參數在任何時候都不相等。

3.2 實例二

倒立擺是控制領域中重要的研究對象，為驗證控制器的有效性，將文獻[23]中的一級倒立擺作為實例二，倒立擺的表達式為

(58)

(59)

(60)

(61)

外部干擾w[t,x(t)]=0.01sin(2t)+0.02× cos(2t)x1(t)，初始狀態x0=[0.09 0 0.06 0]T，選取Q=I3×3，C2=1，通過計算得到矩陣A和B的能控標準型，求得

量化器靈敏度參數τc(tk)和τd(tk)的變化率同表2和表3，實例二其余的參數選擇如表3所示。

表3 仿真參數Table 3 Simulation parameters

仿真結果如圖9～圖14所示，系統狀態、系統輸入以及滑模函數的響應曲線如圖9～圖11所示，很容易看出，倒立擺系統具有良好的穩擺性能。

圖9 系統狀態響應曲線Fig.9 Response curves of system states

圖10 系統控制輸入響應曲線Fig.10 Response curves of system control input

圖11 滑動函數的響應曲線Fig.11 Response curves of the sliding function

圖12 邏輯變量θ Fig.12 Logical variableθ

圖13 靈敏度參數τc(t)更新曲線Fig.13 Update curves of sensitivity parameter τc(t)

圖14 幀間時間圖Fig.14 Interframe time graph

圖12和圖13中邏輯變量θ和靈敏度參數τc(t)都可以反映出系統從Zoom-out階段到Zoom-in階段的轉變，靈敏度參數按照離散調整策略在Zoom-out階段持續變大，轉換到Zoom-in階段后持續變小。圖14給出系統的幀間時間，結果表明不存在Zeno行為。

綜上所述，可以看出，當存在外部干擾和量化參數失配時，設計的量化反饋滑模控制器可以保證倒立擺系統的穩定性。

4 結論

利用事件觸發方法研究了具有量化參數失配和外部干擾的不確定線性系統的滑?？刂破鞯聂敯翩偠▎栴}。

(1)設計了一種含有時變量化器靈敏度變化率的離散在線調整策略，從而可以結合動態量化的方法來解決量化參數失配問題。

(2)提出了一種與量化器相關的事件觸發機制，不會發生Zeno行為。

(3)結合事件觸發機制和動態量化策略提出的滑?？刂坡煽梢杂行У叵炕瘏凳浜屯獠扛蓴_的影響，保證滑模運動的到達。為用事件觸發方法和動態量化方法研究量化參數的失配下的狀態量化和控制輸入量化的滑?？刂圃O計問題提供了新的思路。

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