磁力負剛度彈簧的汽車懸架非線性特性分析

周冬，張慧杰，郝慧榮，楊子明，曹艷狀

(內蒙古工業大學能源與動力工程學院，呼和浩特 010000)

汽車作為機械化時代的主要產物之一，與生活聯系緊密，而汽車隔振是汽車設計的一大重要突破點。最常用的隔振方法是將隔振器應用于汽車懸架，由此汽車懸架可分為被動懸架、半主動懸架和主動懸架。其中被動懸架結構簡單，不需要外部能量，因此造價相對較低，是最為普遍的一種懸架。但是在低頻隔振時，會遇到靜變形過大和失穩的問題。主動懸架可以克服這個問題，但主動隔振控制技術相對復雜，能耗較大，成本較高。半主動懸架與主動懸架相比，減振性能較差，但半主動懸架消耗的能量或功率要少得多。與被動懸架相比，半主動懸架的控制單元會增加重量和設計復雜性。文獻[1]表明，被動懸架雖然存在明顯的缺陷，但它的優點仍吸引著許多學者研究，設計兼具高靜低動剛度特性的非線性被動懸架是一大研究熱點。

磁力彈簧的優勢在于它是一種非接觸式的磁力彈簧,具有良好的非線性,結構簡單,體積小,不產生噪聲。通過磁力彈簧的磁負剛度與彈性元件的正剛度的共同作用，既避免了上述采用小剛度彈性元件易因為變形過大從而損壞的問題，也有效降低了整個懸架的剛度，使得懸架的隔振性能得到提升。

針對磁力彈簧的應用，國內外學者做了一些相關研究。Zhang等[2]將外環磁鐵(徑向磁化)分成相等的扇形塊，并使用電熨斗作為內動子，從而產生負剛度。Meng等[3]開發了一種新型負剛度彈簧。所研制的彈簧具有剛度可控的特點,可用于低共振頻率的隔振系統。可控電磁負剛度彈簧由同軸永磁體和圓形載流線圈獲得。剛度控制通過改變線圈中的電流來實現。Liu等[4]提出了一種平面內準零剛度隔振器來隔離水平面內任意方向的振動。提出的隔振器由徑向磁化的兩個磁環和預張緊的8根電纜組成。磁環相互作用提供負剛度,電纜組合提供正剛度。張凡輝[5]通過并聯具有負剛度特性的磁引力彈簧和線性正剛度彈簧，使隔振系統在小位移內具有剛度漸硬特性，較大位移內同時具有剛度漸硬和剛度漸軟特性。李爽等[6]設計了一種具有高靜低動剛度特性的隔振器。該隔振器由提供正剛度的機械彈簧與提供負剛度的雙環永磁體彈簧并聯而成，并討論了結構參數對負剛度特性的影響規律。Bardaweel等[7]設計了由三磁鐵和機械彈簧組成的隔振器，通過實測數據和模型仿真表明，磁體排列導致非線性磁彈簧具有負剛度，機械彈簧和磁力彈簧的結合降低了隔離器的諧振頻率。趙亞敏等[8]提出了一種面向精密氣磁隔微振的磁斥力負剛度裝置，磁斥力負剛度裝置由三塊沿垂向同向磁化的立方永磁體水平布置構成。王衛榮等[9]為降低負剛度結構剛度值的非線性程度，提高隔振器在整個振動位移范圍內負剛度值的穩定性，設計了一種基于磁斥力彈簧的負剛度結構。都智勇等[10]提出一種基于永磁彈簧的變剛度機器人關節驅動器，采用蝸輪、蝸桿驅動繩索調整永磁彈簧氣隙間距，實現驅動器變剛度控制。謝英江等[11]采用電磁彈簧和氣動彈簧并聯設計準零剛度座椅懸架，利用電磁彈簧產生的負剛度平衡氣動彈簧產生的正剛度。

基于國內外對磁力彈簧的研究現狀，現通過在汽車懸架隔振器內增設由永磁鐵構成的負剛度磁力彈簧，并與螺旋機械彈簧并聯。依據被動懸架相關參數對磁力彈簧的材料、尺寸方面進行分析選定，同時利用軟件建立汽車1/4磁力懸架模型，通過與被動懸架進行對比，分析磁力懸架在時域、頻域下的非線性特性及其傳遞函數和共振特性。并對磁力懸架非線性特性進行研究，分析其隔振效果。

1 數學模型構建

1.1 路面模型的建立

建立路面擾動激勵模型是進行懸架研究基礎。路面統計分析的空間頻率范圍為0.011～2.83 m-1，在常用車速為10～30 m/s下，可以保證時間頻率范圍為0.1～30 Hz。這個頻率能把汽車簧載質量部分的固頻1～2 Hz和汽車非簧載質量部分的固頻10～15 Hz有效覆蓋。以《車輛振動輸入-路面不平度》(GB 7031—865)為依據，文獻[12]介紹了隨機路面位移功率譜密度Gq(n)為

Gq(n)=G0(n0)(n/n0)-w

(1)

式(1)中：n為空間頻率；n0為參考空間頻率；w為頻率指數；G0(n)為路面不平度系數。

(2)

通過進一步推導，有

(3)

式中：t為時間；xr(t)為隨時間變化的路面垂直位移激勵；n0為參考空間頻率，n0=0.1 m-1；Gq(n0)為路面不平度系數；w(t)為隨時間變化且功率強度為1的高斯分布白噪聲；fmin為下截止頻率；v為車速。

為更加準確分析出磁力懸架在不同工況下的隔振效果，利用式(3)在MATLAB/Simulink中搭建不同等級路面譜的仿真模型。如圖1所示為C級路面模型。車速不同，路面激勵幅值不同，圖2所示為車速30 m/s時的C級路面激勵輸入曲線。

圖1 路面譜的仿真模型Fig.1 Simulation model of road spectrum

圖2 積分白噪聲路面輸入模型Fig.2 Integral white noise road surface input model

1.2 汽車1/4磁力懸架模型的建立

在先進懸架系統及相應減振器的設計開發階段，通常采用1/4車輛兩自由度模型進行仿真分析，以驗證新型懸架的可行性。該模型基本能夠表征懸架系統對車輛所考察的作用和影響，可用來進行車輛懸架系統振動特性分析。構建1/4車輛兩自由度的磁力懸架系統數學模型，如圖3所示。

圖3 磁力懸架系統數學模型Fig.3 Mathematical model of magnetic suspension system

考慮車體和車輪垂直方向的受力平衡，根據牛頓動力學定律，可建立磁力懸架系統的運動微分方程如下。

(4)

kt(xt-xr)=0

(5)

式中：ms為車體質量；mt為車輪質量；ks為懸架系統等效剛度；kf為磁力彈簧等效剛度；kt為車輪等效剛度；cs為懸架系統的阻尼系數；xs為車體的絕對位移；xt為車輪的絕對位移；xr為路面激勵。

以上所述采用的某型輪式車輛為基礎，車輛1/4懸架系統的基本參數如表1所示。

表1 懸架系統基本參數Table 1 Basic parameters of suspension system

2 磁力隔振器設計

2.1 磁力負剛度彈簧原理

磁力彈簧的優勢在于它是一種非接觸式的磁力彈簧，具有良好的非線性，結構簡單，體積小，不產生噪聲。文獻[13]表明，作為彈性元件在航空、航天、儀表和機械制造等各個領域已有了較為廣泛的應用。利用永磁鐵間異性相吸的特性，構造了一種產生非線性彈性力的磁力彈簧。磁力彈簧由多塊高強永久磁鐵構成,其工作原理如圖4所示。

磁鐵間的作用力隨著距離的變化而變化且兩者為非線性關系，當與載荷相連接的承載磁鐵向上移動時，上磁鐵與承載磁鐵之間產生的吸引力大于下磁鐵與承載磁鐵之間的吸引力，合力方向與系統恢復力方向相反，產生負剛度。反之亦然。文獻[14]介紹了兩磁鐵間的吸引力為

(6)

(7)

式中：F為吸引力；kc為磁力系數；L為兩磁鐵間的距離；d為磁鐵直徑；Br為剩磁；Hc為矯頑力；μ0為真空磁導率，μ0=4π×10-7N/A2。

汽車懸架系統需要彈性元件能夠有使簧載恢復到平衡位置的上下兩方面的作用力，因此需在承載磁鐵上下側都加載永磁鐵構成三磁鐵彈簧。模型如圖4所示。由式(6)與式(7)推導可知，承載磁鐵所受合力(忽略上下側磁鐵間磁力的影響)表達式為

N為永磁鐵N極；S為永磁鐵S極圖4 磁力彈簧原理圖Fig.4 Schematic diagram of magnetic spring

(8)

式(8)中：xs為承載磁鐵位移；xt為上(下)永磁鐵位移；L為上下磁鐵間距；r為相鄰磁鐵初始間距，r=1/2L。

2.2 磁力負剛度彈簧設計

為提高懸架空間利用率，將磁力彈簧增設于隔振器活塞工作缸內，磁力彈簧在隔振器中的布置方式如圖5所示(隔振器相關阻尼部件及結構未展示)，而想要在汽車隔振器內部安裝磁力彈簧，其結構參數應與隔振器工作缸結構參數相適應。根據中華人民共和國汽車行業標準《汽車減振器性能要求及臺架實驗方法》(QC/T 491—2018)可知，汽車傳統隔振器的工作缸直徑范圍為20～70 mm，選定隔振器的工作缸直徑為45 mm。此時對應的活塞行程為90～140 mm，選定活塞行程為100 mm。同時為降低加工難度節約成本，磁力彈簧采用結構參數相同的圓柱形磁鐵。綜合考慮，選定磁鐵直徑為40 mm，靜止狀態下相鄰磁鐵間距均為50 mm(忽略磁鐵自重影響)。

1為車身側吊環；2為永磁鐵N極；3為螺旋彈簧；4為車輪側下吊環；5為承載永磁鐵；6為永磁鐵S極圖5 磁力彈簧在隔振器中的布置方式Fig.5 Arrangement of the magnetic spring in the isolator

磁力彈簧由永磁體構成，相同尺寸不同材料的永磁鐵所能提供的負剛度存在很大差異。目前常用的永磁體有橡膠磁、鐵氧體、鋁鎳鈷磁鐵、釤鈷稀土磁鐵及釹鐵硼磁鐵。各材料及其特性如表2所示。

表2 永磁材料及其特性Table 2 Permanent magnet materials and their properties

各類磁鐵基于其常用矯頑力以及剩磁參數，在上述磁力彈簧選定尺寸的情況下，測得其在同一活塞行程、同一工況[施加仿真時間為10 s，激勵幅值為(-50 mm，50 mm)的線性激勵]所能提供的負剛度如圖6所示。可知，非線性特性從弱到強依次為橡膠磁、鐵氧體、釤鈷稀土磁鐵、鋁鎳鈷磁鐵、釹鐵硼磁鐵。

圖6 不同永磁體剛度曲線圖Fig.6 Curves of stiffness of different permanent magnets

減振器外部的螺旋彈簧與磁力彈簧并聯連接，因此汽車懸架總剛度為懸架正剛度(約為螺旋彈簧正剛度)與磁力彈簧負剛度之和。若磁力彈簧產生的負剛度過大(超出了懸架的正剛度值)，隔振系統就會出現失穩，從而喪失功能。因此，進行磁力負剛度彈簧設計時，需確保磁力彈簧在其工作行程內產生的最大負剛度值小于懸架正剛度值。不同汽車的懸架剛度值不同，本研究采用剛度值為17 000 N/m的1/4汽車懸架，因此，磁力彈簧所能提供的最大負剛度的絕對值應小于17 000 N/m。而為了獲取更多的負剛度，磁力彈簧所能提供的負剛度應盡可能接近懸架正剛度值。另一方面，作為增設于汽車隔振器的工作缸內部件，需保證其性能穩定，不易退磁，確保隔振器的使用壽命。

綜上分析，釤鈷稀土磁鐵的磁性能相對較強且性能穩定，在上述選定結構尺寸前提下符合隔振器內磁力彈簧設計要求。所以本研究采用矯頑力Hc=0.7 Oe，剩磁Br=0.8 T的釤鈷稀土YX16磁鐵，其中1 Oe=79.6 A/m。

2.3 磁力負剛度彈簧剛度擬合

永磁體磁力與磁體間距離呈非線性關系，對所設計的磁力彈簧中的承載磁鐵(即中間磁鐵)所受磁力進行曲線擬合。設承載磁鐵所受總磁力可表示為

Ftotal=aebx+cedx

(9)

式(9)中：a、b、c、d為待定系數；x為中間磁鐵與磁力彈簧中心間的距離，m。由此可得到磁力彈簧所產生的負剛度表達式為

kf=abebx+cdedx

(10)

利用MATLAB對承載磁鐵所受磁力進行曲線擬合，得到待定系數分別為：a=-14.25，b=59.82，c=14.25，d=-59.82。

磁力變化曲線如圖7所示，仿真曲線與擬合曲線基本重合，綜合式(9)與各待定系數值可表征磁力與中間磁鐵和磁力彈簧中心間距離的關系式。從而根據式(10)得到的磁力彈簧所提供的負剛度表達式為

圖7 磁力變化曲線Fig.7 Magnetic force change curve

kf=-852.435e59.82x-852.435e-59.82x

(11)

3 磁力懸架特性分析

汽車懸架作為車體與車軸的連接部件，緩和來自地面的沖擊，衰減各種動載荷引起的振動。而磁力彈簧的增設使得汽車懸架剛度具備非線性特性，在汽車靜止或路面激勵為0時，磁力彈簧的中間磁鐵(即承載磁鐵)處于隔振器工作缸內的力平衡位置，此時磁力彈簧不發揮作用，使得懸架保持高靜態剛度。當汽車行駛時，路面激勵發生變化，承載磁鐵偏離力平衡位置，產生負剛度，使得懸架總體剛度降低，隨著位移增加，系統總剛度呈非線性遞減，懸架固有頻率降低。使得懸架具有低動態剛度。相較于被動懸架，磁力懸架更能在不同路況下保持汽車行駛平順性。

為滿足磁力懸架非線性特性研究的需要，基于前人研究的理論基礎，結合汽車動力學和機械振動相關理論，以1/4懸架模型作為研究對象[15]，通過MATLAB構建傳統被動懸架與增設有磁力彈簧的磁力懸架模型進行振動特性對比分析，磁力懸架仿真模型如圖8所示。可以得到車輛行駛性能的優劣，進而為車輛先進懸架系統的開發研究與設計改進提供有效的數據依據和指導方向。

圖8 磁力1/4汽車懸架模型Fig.8 Magnetic 1/4 car suspension model

3.1 磁力懸架傳遞函數分析

為分析磁力懸架在不同頻率下的隔振性能，對磁力懸架系統的運動微分方程進行拉普拉斯變換。變換后的結果為

mss2xs(s)+css[xs(s)-xt(s)]+(ks+kf)×

[xs(s)-xt(s)]=0

(12)

mts2xt(s)-css[xs(s)-xt(s)]-(ks+kf)×

[xs(s)-xt(s)]+kt[xt(s)-xr(s)]=0

(13)

可以得到車身垂直加速度對路面位移的傳遞函數為

(14)

式中：

Δ(s)=msmts4+(mt+ms)css3+[ms(ks+kf)+

mt(ks+kf)+mskt]s2+cskts+(ks+kf)kt

(15)

基于磁力彈簧所能提供的不同負剛度值(0、8 500、17 000 N/m)，由式(14)構建簧載垂向加速度對路面位移傳遞函數的Bode圖，如圖9所示。可知，隨著負剛度的增加，汽車固有頻率向低頻方向發生偏移，且在低頻段，簧載垂向加速度幅值有明顯的降低。 而在中高頻段幅值基本不發生變化。

圖9 簧載垂向加速度傳遞函數頻域曲線Fig.9 Frequency domain curve of sprung vertical acceleration transfer function

3.2 路面激勵下的懸架時域非線性分析

為分析路面激勵下，磁力懸架的時域非線性特性，將簧載質量的垂向加速度響應作為評價指標。特別地，不同等級路面所提供的激勵幅值不同，由于隔振器活塞行程已固定，在較為惡劣的路面條件下，隔振器內的承載磁鐵易位于工作缸的上下極限位置。因此當路面激勵持續增大時，所提供的負剛度首先成非線性增大，最終當承載磁鐵位于極限位置時，負剛度值固定。

簧載垂向加速度作為汽車懸架隔振性能好壞的重要評價指標，怎樣去降低在汽車行駛時的簧載垂向加速度是懸架的主要研究方向。磁力彈簧磁鐵間的作用力隨著距離的變化而變化且兩者為非線性關系。其強烈的非線性關系使得隔振系統即使對小位移也較敏感(隔振器活塞主要為小位移運動)，能夠在小幅振動控制中充分地發揮負剛度特性。

為探究磁力彈簧對處于不同行駛工況下的車輛行駛平順性(隔振性能)影響，基于同一車速(30 m/s)、不同等級的路面激勵(C、D、E級路面)，將傳統被動懸架與磁力懸架的簧載垂向加速度進行對比分析，仿真結果如圖10所示。可以看出，即使在小位移激勵的C級路面，磁力彈簧因為其強烈的非線性特性依舊能在小幅振動控制中發揮重要作用，且作用隨著激勵的增大而增強。

圖10 簧載垂向加速度對比Fig.10 Comparison of vehicle sprung vertical acceleration

在不同等級路面下，汽車簧載垂向加速度的均方根值如表3所示，可知不同等級路面條件下(A～F級路面)，在被動懸架中增設磁力彈簧能提升懸架的隔振性能，且因為磁力彈簧的非線性特性，隨著路面不平度系數的增大(即路面激勵幅值增大)，磁力彈簧額外增加的隔振效果呈非線性增加，其中，E、F級路面隔振增益比例跨度最小，比例跨度為1.0%，C、D級路面隔振增益比例跨度最大，比例跨度為13.1%。各等級路面的隔振增益比例如圖11所示。另一方面，車速和路面不平度系數一樣與路面激勵幅值呈正比關系，同理可知，車速的增加會使得磁力彈簧額外增加的隔振效果增大。

表3 汽車簧載垂向加速度的均方根值Table 3 Root mean square value of vehicle sprung vertical acceleration

圖11 隔振增益曲線Fig.11 Vibration isolation gain curve

3.3 路面激勵下的懸架頻域非線性分析

汽車振動能量主要分布在 0～30 Hz 的低頻范圍內，超過這個頻率范圍的振動能量可以忽略。基于C、E兩種等級路面的路面工況，通過時頻信號轉換處理，把時域的振動信號轉換為頻域的振動信號，以頻率為變量對磁力懸架的振動特性進行分析。

簧載加速度作為汽車隔振性能好壞的重要評價指標，對其進行頻域分析，仿真結果如圖12所示。可知在汽車振動能量主要分布范圍內，C、E級路面的頻率集中于低中頻區間，磁力懸架的簧載加速度優于被動懸架且主要集中于該頻段的低頻區間(0～5 Hz)，特別地，因為磁力彈簧的非線性特性，在高等級路面隔振效果差距更為明顯，而在中高頻區間基本保持一致。其主要原因是由于懸架系統總剛度降低，使得懸架系統的固有頻率降低，磁力懸架可變固有頻率屬于低頻區間，其隔振性能更為明顯。

最低頻寬差異600 mHz，采樣率76.8 Hz圖12 簧載加速度響應曲線Fig.12 Spring loaded acceleration response curve

基于上述懸架模型參數，可知其固頻約為1.1 Hz，為了能夠簡單明了將磁力懸架在實際使用中固有頻率變化表征出來，在同一車速下，基于B、D兩種等級路面的路面工況，對低頻區間(0～5 Hz)的另一項懸架性能評價指標(懸架動撓度)進行分析，仿真結果如圖13所示。可知，隨著路面激勵的增大，兩類懸架的動撓度幅值差距增大。另外，不同于被動懸架的動撓度最大幅值所對應的頻率保持不變，磁力懸架的動撓度最大幅值所對應的頻率變小。高等級的路面使得磁力彈簧非線性程度加深，系統固頻降低。

最低頻寬差異600 mHz，采樣率12.8 Hz圖13 懸架動撓度對比Fig.13 Comparison of suspension dynamic deflection

3.4 路面激勵下的懸架共振特性分析

懸架系統受路面激勵做強迫振動時，若路面激勵頻率接近于系統頻率時，強迫振動的振幅可能達到非常大的值，這種共振現象對于汽車隔振系統有一定危害，因此，如何讓獲得更小的共振區間是汽車懸架隔振的一大研究熱點。

為探究磁力懸架的共振特性，基于不同車速，構建不同懸架的車身位移與路面激勵位移的對比曲線，由圖14(a)和圖14(b)可看出同一路面不同車速下磁力懸架車身位移恒小于被動懸架且磁力懸架的共振區間小于被動懸架。另一方面，在同一路面條件下，隨著車速的提升，可以看出磁力懸架的共振幅值相較于激勵幅值逐漸降低，兩類懸架共振區間差值增大，磁力懸架隔振性能增強。

最低頻寬差異600 mHz，采樣率12.8 Hz圖14 不同懸架的車身位移與路面激勵位移對比Fig.14 Comparison of body displacement and road excitation displacement for different suspensions

3.5 基于磁力懸架的車身穩定性分析

在汽車靜止時，磁力負剛度彈簧不發揮作用，對汽車車身的穩定性不產生影響。而在汽車行駛時，磁力懸架通過改變隔振系統的剛度達到增加隔振效果的目的，但同時，剛度的改變也影響著車身的穩定性。因此，分析采用磁力懸架的汽車車身穩定性至關重要。利用磁力懸架與被動懸架在正弦激勵下(同一頻率)的車身速度-位移相軌跡曲線對車身穩定性進行對比分析。

不同激勵下的相軌跡曲線如圖15所示，在施加正弦激勵的前提下，兩類懸架相軌跡均從初始位置出發，會出現短時間的不規則振動，此時，車輛會發生上下顛簸，乘客出現輕微不適感。隨后系統進入周期運動，車輛平穩行駛。特別地，因為剛度的均值越大，由剛度所導致的位移響應的隨機性越強。所以被動懸架的相軌跡曲線變化范圍大，相較于磁力懸架規律性更低，其車身穩定性低于磁力懸架。另外，磁力懸架的穩定性優勢隨著路面激勵的增強而增大。

圖15 不同激勵下的車身相軌跡曲線Fig.15 Phase trajectory curve of vehicle body under different excitation

4 結論

永磁負剛度彈簧采用三塊永磁體產生負剛度特性，將其融入具有正剛度的汽車被動懸架，能提升懸架的隔振效果，以低成本的代價有效增加乘客的乘坐舒適性。基于磁吸力彈簧在懸架系統中能夠產生負剛度的特性，構建了磁力懸架數學模型。并通過汽車懸架正剛度值以及筒式減振器設計標準對磁力彈簧所使用的永磁體進行材料和尺寸的選定，采用MATLAB/Simulink對磁力懸架與被動懸架進行對比仿真，仿真結果如下。

(1)在被動隔振器中增設的磁力彈簧，會因其非線性特性使得磁力懸架相比于被動懸架額外增加的隔振效果具備非線性特性。隨著路面不平度系數或車速的增大(即路面激勵幅值增大)，懸架隔振性能呈非線性優化。

(2)在汽車振動能量分布范圍內，相比于被動懸架，磁力懸架的隔振優勢主要體現在低頻區間，在中高頻區間兩者性能基本保持一致。且隨著路面條件的惡化，負剛度非線性增大，其固頻向左偏移。

(3)在同一路面激勵下，磁力懸架車身位移恒小于被動懸架且磁力懸架的共振區間小于被動懸架。隨著車速增大，非線性程度加深，兩類懸架共振區間差值增大，磁力懸架隔振性能增強。

(4)被動懸架的相軌跡曲線變化相較于磁力懸架規律性更低，所以其車身穩定性低于磁力懸架。特別地，磁力懸架的穩定性優勢隨著路面激勵的增強而增大。