單軸壓縮下巖石全應(yīng)力應(yīng)變過程中能量演化特征

李東文，趙光明，劉之喜，孟祥瑞

（1.安徽理工大學(xué) 深部煤礦采動響應(yīng)與災(zāi)害防控國家重點實驗室，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，安徽 淮南 232001）

在采礦工程、地下工程等領(lǐng)域，工程設(shè)計通常以巖石的強(qiáng)度準(zhǔn)則作為判斷巖石穩(wěn)定性的依據(jù)[1]，但巖石是典型的非均勻非連續(xù)介質(zhì)，其變形破壞力學(xué)響應(yīng)與其內(nèi)部的節(jié)理、裂隙等密切相關(guān)。而且利用巖石的應(yīng)力-應(yīng)變很難分析其動力破壞的機(jī)制，僅依靠巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行工程設(shè)計，制約著工程設(shè)計精確度[2]。而在熱力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)普遍認(rèn)為物質(zhì)物理變化的本質(zhì)是能量轉(zhuǎn)化，材料破壞的實質(zhì)是能量驅(qū)動下的1 種失穩(wěn)現(xiàn)象[3－7]。若能詳細(xì)分析巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線下的能量演化規(guī)律，建立利用能量變化判斷巖石破壞的準(zhǔn)則，有望更好地為工程實踐服務(wù)。因此從能量角度來研究巖石變形破壞力學(xué)響應(yīng)受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注并取得了豐碩成果[8－13]。謝和平等[14]從能量的角度出發(fā)，利用能量的突然釋放來描述巖石的失穩(wěn)破壞；張志鎮(zhèn)等[15]進(jìn)行了紅砂巖的單軸壓縮試驗，得到了試件吸收總能量、積聚彈性能、耗散能及彈性能占比與軸向應(yīng)力的關(guān)系；宮鳳強(qiáng)等[16]對多種不同巖石進(jìn)行了單軸一次加卸載試驗，發(fā)現(xiàn)了線性儲能規(guī)律，提出了1 種分析巖爆傾向的新方法；劉之喜等[17]研究了紅砂巖在單軸循環(huán)加卸載、單軸分級蠕變及蠕變后的單軸循環(huán)加卸載條件下的力學(xué)響應(yīng)，得到了長期荷載對紅砂巖的彈性能密度基本無影響。以往的研究多集中在單軸、三軸循環(huán)加卸載或分級加卸載過程中的能量演化規(guī)律，單軸壓縮條件下巖石變形破壞全過程的能量演化規(guī)律研究較少，而后者是建立以能量變化判斷巖石破壞準(zhǔn)則的基礎(chǔ)。因此，基于劉之喜等[18]提出的單軸分級加卸載各卸載點的彈性能是單軸壓縮試驗對應(yīng)點的彈性能觀點，選取花崗巖、砂巖和煤3 種代表性巖石進(jìn)行單軸壓縮和單軸分級加卸載試驗，對比分析不同巖石峰前峰后能量演化規(guī)律。

1 試驗概況

試驗采用的試件有煤、砂巖和花崗巖。按照國際巖石試驗標(biāo)準(zhǔn)試件的要求將煤、砂巖和花崗巖加工成高100、直徑50 mm 的圓柱體。將每個圓柱體的端部用砂紙和磨片機(jī)研磨，使其兩端的平行度小于0.05 mm，側(cè)表面的平行度小于0.02 mm。

試驗分為2 項內(nèi)容：①煤、砂巖和花崗巖試件的單軸壓縮試驗；②煤、砂巖、花崗巖3 種試件的單軸分級加卸載試驗。這2 種試驗采用的都是RMT-150B 巖石力學(xué)測試系統(tǒng)。

砂巖和花崗巖單軸壓縮試驗的加載速率為0.5 kN/s，煤單軸壓縮試驗的加載速率為0.1 kN/s。根據(jù)3 種巖石試樣單軸壓縮強(qiáng)度來確定分級加卸載的試驗方法，煤單軸分級加卸載試驗的加卸載速率為0.1 kN/s，分級加載下限為0，上限分別為2.5、5.0、7.5、9.0 kN、…、直至試件破壞；砂巖試件單軸分級加卸載試驗的加卸載速率為0.5 kN/s，分級加載下限為0，上限分別為10、20、30、40 kN、…、直至試件破壞；花崗巖試件單軸分級加卸載試驗的加卸載速率為0.5 kN/s，分級加載下限為0，上限分別為60、80、100、120 kN、…、直至試件破壞。具體加載路徑如圖1。

圖1 加載路徑示意圖Fig.1 Load path diagrams

2 試驗結(jié)果

2.1 單軸分級加卸載試驗結(jié)果

煤、砂巖和花崗巖的單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2。

由圖2 可知：當(dāng)加載至卸載點卸載時，卸載曲線并不沿著原加載曲線下降，而是在加載曲線的下方。加卸載曲線并不重合，表明巖樣吸收的總能量密度只有一部分轉(zhuǎn)化為巖樣的彈性能密度積聚在巖樣內(nèi)部中，會隨著卸載釋放出來；還有一部分以損傷和塑性變形的形式被耗散掉了，耗散掉的能量密度并不會在卸載時釋放出來。而加載曲線下的面積為巖樣吸收的總能量密度，卸載曲線下的面積為巖石在卸載時釋放的彈性能密度，因此卸載曲線在加載曲線的下方，而兩者之間的面積即是耗散能密度。

圖2 3 種巖石試樣的單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線圖Fig.2 Uniaxial step loading and unloading stress-strain curves of three rock specimens

2.2 單軸壓縮試驗結(jié)果

3 種巖石的單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3。

圖3 3 種巖石試樣單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 Uniaxial compression stress-strain curves of three rock specimens

由圖3 可知：花崗巖的單軸抗壓強(qiáng)度最高，砂巖的單軸抗壓強(qiáng)度次之，煤的單軸抗壓強(qiáng)度最低，但這3 種巖石在單軸壓縮下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線都具有壓縮階段、彈性階段、塑性階段和破壞階段。由于天然巖石中存在各種孔隙和裂隙，在壓密階段隨著荷載的不斷增大，巖石內(nèi)部的孔隙和裂隙不斷被壓密，宏觀上表現(xiàn)為彈性模量不斷增大，即應(yīng)力-應(yīng)變曲線斜率不斷增大；在彈性階段，巖石的應(yīng)力與應(yīng)變近似為線性關(guān)系，此時巖石近似可以看作1 個彈性體；在塑性階段，隨著荷載的不斷增大，原始裂紋擴(kuò)展、新的裂隙萌生擴(kuò)展，不同的孔隙和裂隙漸漸貫通，應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈現(xiàn)出內(nèi)凹形式；達(dá)到巖石的應(yīng)力峰值后，巖石會出現(xiàn)宏觀破壞，應(yīng)力-應(yīng)變曲線開始下降，此時是巖石的破壞階段。

2.3 單軸壓縮與單軸分級加卸載曲線對比

單軸壓縮與單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變對比曲線如圖4。

圖4 3 種巖石試樣的單軸壓縮與單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變對比曲線圖Fig.4 Comparison curves of uniaxial compression and uniaxial step loading and unloading stress-strain for three kinds of rock samples

由圖4 可知：這3 種巖樣的單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線的外包絡(luò)線和其單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有相同的特征—大致，可分為4 個階段：壓密階段、彈性階段、塑性階段以及破壞階段；但單軸壓縮下花崗巖的峰值應(yīng)力為85.55 MPa，砂巖為38.22 MPa，煤為10.60 MPa；而單軸分級加卸載下花崗巖的峰值應(yīng)力為87.19 MPa，砂巖為40.75 MPa，煤為11.12 MPa；由此可以看出，單軸壓縮的峰值應(yīng)力要小于單軸分級加卸載的峰值應(yīng)力，即單軸分級加卸載會使巖石試樣強(qiáng)度升高；巖石試樣在加卸載過程中，其內(nèi)部部分接觸點會發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，產(chǎn)生較大的應(yīng)變甚至發(fā)生局部破壞，此時產(chǎn)生的碎屑在卸載過程中可能脫落并填充到周圍的空隙中，增加了空隙間的界面摩擦，從而提高巖石的強(qiáng)度，即巖石發(fā)生硬化現(xiàn)象。

對比圖4 中單軸壓縮與單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線可知：單軸壓縮曲線可近似為分級加卸載曲線各卸載點的外包絡(luò)線，且分級加載次數(shù)越小越近似；隨著分級加卸載次數(shù)的增多，各分級加載產(chǎn)生的損傷和塑性變形積累得越來越多，致使分級加卸載曲線越來越向右移動，使得卸載點與單軸壓縮曲線產(chǎn)生了一定的偏離。將最后1 個卸載點處2 條曲線的應(yīng)變差值與該卸載點應(yīng)力水平相同處單軸壓縮曲線應(yīng)變值的比值作為評判偏離程度的依據(jù)。不同巖石的偏離程度指標(biāo)見表1。

表1 不同巖石的偏離程度指標(biāo)Table 1 Deviation degree indexes of different rocks

由表1 可知：煤的偏離程度最大，砂巖的偏離程度次之，花崗巖的偏離程度最小，因此可以認(rèn)為密實度越大的巖石，其單軸壓縮與單軸分級加卸載各卸載點外包絡(luò)線的偏離程度越小。

3 受載巖石內(nèi)能量

巖石在受荷載作用下發(fā)生變形破壞的過程中，一直伴隨著能量的變化：能量輸入、能量積聚、能量耗散和能量釋放。假設(shè)試驗過程中沒有與外界發(fā)生熱交換，即向巖石輸入的能量只以耗散能和彈性能的形式存在于巖石內(nèi)部，由能量守恒定律可知，巖石的能量公式為[19]：

式中：u 為巖石吸收的總能量密度；ud為耗散能密度；ue為彈性能密度。

3.1 分級加卸載峰前能量

從眾多循環(huán)加卸載的研究[20－24]中可以看出，循環(huán)次數(shù)對卸載曲線的演化趨勢影響較小，且劉之喜等[18]研究中發(fā)現(xiàn)循環(huán)次數(shù)對彈性能影響較小，因此可以認(rèn)為單軸分級加卸載的卸載點處彈性能等于荷載相等時單軸壓縮的彈性能。分級加卸載峰前能量示意圖如圖5。

圖5 分級加卸載峰前能量示意圖Fig.5 Schematic diagram of pre-peak energy of step loading and unloading

根據(jù)巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線的特征可知，加載曲線以下的面積表示外界對巖石輸入的總能量密度，卸載曲線以下的面積表示卸載過程中釋放的彈性能密度，加載曲線、卸載曲線及應(yīng)變軸之間的面積表示巖石的耗散能密度。各能量的具體計算方法為：

式中：ue為巖石試樣在應(yīng)力水平σ 下的彈性能密度；ud為巖石試樣在應(yīng)力水平σ 下的耗散能密度；ε2為σ 對應(yīng)的應(yīng)變值；ε1為應(yīng)力由σ 降低至0時對應(yīng)的參與應(yīng)變值。

3.2 分級加卸載峰后能量

由于峰后階段并無加載曲線和卸載曲線，因此并不能用上述方法計算峰后的彈性能密度，這時可以采用公式法計算。分級加卸載峰后能量示意圖如圖6。

圖6 分級加卸載峰后能量示意圖Fig.6 Schematic diagram of post-peak energy of step loading and unloading

在主應(yīng)力空間中巖體單元彈性能密度為：

式中：ue為巖石試樣單元彈性能密度；σi（i＝1，2，3）為巖石試樣三向主應(yīng)力；εie（i＝1，2，3）為σi對應(yīng)的應(yīng)變值。

利用胡克定理將式（4）改寫為：

式中：E0為初始彈性模量；ν 為泊松比。

單軸壓縮試驗彈性能密度計算公式可簡化為：

4 巖石的能量演化

4.1 單軸分級加卸載下巖石的能量演化規(guī)律

根據(jù)3 種巖石試樣的單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線，采用上述巖石能量的計算方法可以得到巖石的輸入總能量密度、彈性能密度及耗散能密度。

4.1.1 加卸載條件下峰前能量演化

3 種巖石試樣分級加卸載條件下的峰前能量演化曲線如圖7。

圖7 3 種巖石試樣分級加卸載條件下的峰前能量演化曲線Fig.7 Pre-peak energy evolution curves of three rock specimens under step loading and unloading conditions

由圖7 可知：在峰前階段，3 種巖石試樣的能量演化特征相似，每種巖石試樣的3 條能量密度曲線都呈現(xiàn)出一直增大的趨勢，且隨著應(yīng)力水平的不斷增加，其增加的速率不斷變大；從整體上看，3 種巖石試樣的彈性能密度在峰前階段基本上大于耗散能密度；峰前階段花崗巖、砂巖和煤的彈性能密度最大值分別為0.293、0.065、0.04 mJ/mm，即花崗巖彈性能密度極限值最大，砂巖彈性能密度次之，煤彈性能密度最小，這說明強(qiáng)度越大的巖石，其彈性能密度極限值越大，即其能儲存的彈性能越大，破壞時釋放出的能量越大。

4.1.2 加卸載條件下峰后能量演化

3 種巖石試樣分級加卸載條件下的峰后能量演化曲線如圖8。

圖8 3 種巖石試樣分級加卸載條件下的峰后能量演化曲線Fig.8 Post-peak energy evolution curves of three rock specimens under step loading and unloading conditions

由圖8 可知：在峰后階段，3 種巖石的能量演化特征也相似，總能量密度曲線一直增大，但在巖石試樣破壞的瞬間突然增大，之后增加速率減小；彈性能密度曲線大幅減小，且呈近似線性變化，說明巖石試樣在發(fā)生破壞時，儲存在其內(nèi)部的彈性能瞬間被釋放出來，宏觀上以碎屑的動能，裂紋表面的摩擦能及音波等形式迅速釋放。

4.2 單軸壓縮條件下巖石的能量演化規(guī)律

根據(jù)上述能量計算方法及單軸壓縮條件下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，可以得3 種巖石試樣單軸壓縮條件下的輸入總能量密度、彈性能密度及耗散能密度。

4.2.1 單軸壓縮條件下峰前能量演化

3 種巖石試樣單軸壓縮條件下峰前能量演化曲線如圖9。

圖9 3 種巖石試樣單軸壓縮條件下峰前能量演化曲線Fig.9 Pre-peak energy evolution curves of three kinds of rock samples under uniaxial compression

由圖9 可知：3 種巖石試樣在單軸壓縮條件下的能量演化特征和在單軸分級加卸載條件下的能量演化特征相似，在峰前階段，3 條能量密度曲線整體仍呈現(xiàn)出增大的趨勢，且整體呈現(xiàn)出非線性特征，開始增加速度緩慢，后期加快；單軸壓縮條件下花崗巖彈性能密度極限值仍最大，砂巖彈性能密度次之，煤彈性能密度最小。

4.2.2 單軸壓縮條件下峰后能量演化

3 種巖石試樣單軸壓縮條件下峰后能量演化曲線如圖10。

圖10 3 種巖石試樣單軸壓縮條件下峰后能量演化曲線Fig.10 Post-peak energy evolution curves of three kinds of rock samples under uniaxial compression

由圖10 可知：與在單軸分級加卸載條件下的峰后能量演化曲線相似，單軸壓縮下總能量密度整體呈現(xiàn)緩慢的上升趨勢，但在巖石試樣破壞瞬間，其應(yīng)變的突然增大，導(dǎo)致了總能量密度突然增加；彈性能密度大幅減小且呈近似線性變化。

4.3 不同巖石能量對比

3 種巖石不同條件下能量分配規(guī)律對比如圖11。

由圖11 可知：3 種巖石試樣能量分配規(guī)律相似，單軸壓縮和分級加卸載條件下總能量密度都一直增大，但前者增加速率大于后者增加速率，臨近破壞時兩者相差最大，說明各分級加載產(chǎn)生的損傷和塑性變形是不可逆的，下個分級加載未達(dá)到上一卸載點應(yīng)力水平時，其產(chǎn)生的耗散能密度較小，從而單軸總能量密度大于分級總能量密度；由于彈性能密度相等，耗散能密度與總能量密度規(guī)律相同。

圖11 3 種巖石不同條件下能量分配規(guī)律對比圖Fig.11 Contrast of the energy distribution laws of three kinds of rock specimens under different conditions

5 巖石線性儲能規(guī)律

單軸壓縮和單軸分級加卸載下巖石能量演化規(guī)律相似。下面主要探究單軸壓縮和單軸分級加卸載峰值強(qiáng)度處彈性能密度之間的關(guān)系。宮鳳強(qiáng)等[16,25]根據(jù)一次加卸載不會改變巖石試樣單軸壓縮整體受力情況，設(shè)定不同應(yīng)力水平下的單軸一次加卸載試驗，研究結(jié)果表明，單軸壓縮下彈性能密度與總能量密度呈線性關(guān)系。

單軸壓縮和單軸分級加卸載不同應(yīng)力水平下彈性能密度和總能量密度的擬合圖如圖12 和圖13。

圖12 單軸壓縮下彈性能密度-總能量密度擬合曲線Fig.12 Elastic energy density-total energy density fitting curves under uniaxial compression

圖13 單軸分級加卸載下彈性能密度-總能量密度擬合曲線Fig.13 Elastic energy density-total energy density fitting curves under single-axis graded loading and unloading

由圖12 和圖13 可知：3 種巖石試樣的彈性能密度和總能量密度不僅在單軸壓縮下滿足線性函數(shù)ue=au+b 關(guān)系，在單軸分級加卸載下同樣滿足，且線性函數(shù)的相關(guān)系數(shù)R2均大于0.995，表明彈性能密度與總能量密度之間的線性關(guān)系較強(qiáng)。

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線及上述的能量計算方法可以得到每個巖石試樣在峰值強(qiáng)度處的總能量密度，將該值代入擬合函數(shù)中，即可得到不同巖石在單軸壓縮和單軸分級加卸載下峰值強(qiáng)度處的彈性能密度，巖石試樣峰值能量密度計算結(jié)果見表2。

表2 巖石試樣峰值能量密度計算結(jié)果Tab.2 Calculation results of peak energy density of rock specimens

由表2 可以看出：花崗巖峰值強(qiáng)度處的彈性能密度最大，砂巖次之，煤最小，這說明強(qiáng)度越大的巖石，其儲能極限越大。3 種巖石試樣在單軸壓縮和單軸分級加卸載下峰值強(qiáng)度處的彈性能密度幾乎相等，絕對誤差不大于1%，說明單軸分級加卸載相對于單軸壓縮僅能改變峰值強(qiáng)度處的總能量密度，而不能改變彈性能密度。因此可以利用單軸分級加卸載計算單軸壓縮峰值處的彈性能密度，得到一種計算巖石儲能極限的新方法。

6 結(jié) 語

1）單軸分級加卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線的外包絡(luò)線和其單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線具有相同趨勢，隨著分級加卸載次數(shù)的增多，各卸載點與單軸壓縮曲線產(chǎn)生了一定的偏離，且密度越大的巖石，其單軸分級加卸載與單軸壓縮曲線的偏離程度越小。

2）巖石并非均質(zhì)體，加載過程中，其局部存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，會產(chǎn)生較大的應(yīng)變甚至發(fā)生局部破壞，卸載時應(yīng)力集中形成碎屑可能脫落并填充到周圍的裂隙中，增加裂紋間摩擦力，提高巖石承載能力提升。

3）3 種巖石試樣的彈性能密度和總能量密度在單軸壓縮與單軸分級加卸載下均滿足線性儲能規(guī)律，且單軸壓縮和單軸分級加卸載下峰值強(qiáng)度處的彈性能密度幾乎相等。

4）利用線性儲能規(guī)律得到了巖石單軸分級加卸載與單軸壓縮儲能極限，并且?guī)r石儲能極限與強(qiáng)度存在正相關(guān)性，即強(qiáng)度越大巖石的儲能極限越大。