解分式方程中的常見錯誤剖析

陳佩

求解分式方程，通常要經歷去分母、去括 號、移項、合并同類項、檢驗增根等重要的運 算過程.但在實際求解時，同學們由于對解題 思路考慮不周，或對步驟把握不到位，常常會 出現這樣或那樣的錯誤.為幫助同學們走出 解題誤區，現將解分式方程中的幾種常見錯 誤分類舉例加以說明.

一、解方程時忘記驗根導致出錯

解分式方程的基本思想是將分式方程轉 化為整式方程.由于轉化過程中去分母使未 知數的取值范圍發生了變化，有可能產生增 根.因此“檢驗”是解分式方程的一個不可缺 少的步驟.由于整式方程的解法中沒有驗根 這一步，同學們也常常因為忘記驗根而出錯.

例1

錯解：

錯因剖析：本題最后沒有進行驗根，將增 根 x = 1 誤認為是原方程的根，從而導致解題 錯誤.因此，為避免錯誤，解分式方程最后必 須進行驗根.

正解：

檢驗：

說明：如果去分母后所得的解恰好使得最簡公分母的值為零，則這個解即為原方程 的增根，應該將其舍去.

二、方程兩邊同時除以可能為零的整式導致出錯

在解分式方程時，必須將其化為整式方程，這樣就要在分式方程的兩邊同乘（或除）以恰當的數或整式.方程兩邊同時除以一個不等于0的數或整式，所得方程與原方程同解.而當兩個分子相等的分式相等時，方程兩邊同除以含未知數的整式時，如果代數式的值為0，就會出現增根或丟根的情況.

例2

錯解：

錯因剖析：上述解法錯在兩邊同除以（3x +1），而忽略了（3x +1）是否為零的情況，造成了失 誤，注意解方程不能同除以含未知數的整式.

正解：

說明：將分式方程化為整式方程的過程 中，不能遺漏“分子為0”這種情況.一定要按： ①分子為零；②分子不為零，分母相等來分別 求解，才能避免失根.

三、去分母時忘記加括號導致出錯

分數線除了表示除號（或比號）外，當分 子為多項式時，還起著括號的作用.因此，當 分式方程兩邊同乘以最簡公分母化為整式方 程時，如果方程中的某一項的分子是多項式， 就必須用括號將整個分子括起來，再按去括 號法則求解.

例3

錯解：

錯因剖析：

正解：

說明：分數線具有括號的作用.當減數的 分子是一個多項式時，在去分母時，要把減數 的分子作為一個整體加上括號.

四、去分母時漏乘不含分母的項導致 出錯

將分式方程轉化為整式方程時，方程兩 邊要同時乘以最簡公分母.需要注意的是，方 程的每一項都要乘以最簡公分母，而不能只 將含分母的項中乘以最簡公分母，而忽略了 不含分母的項.

例4

錯解：

檢驗：

錯因剖析：這里求出方程的根之后，又經 過檢驗，似乎沒有問題．但只要將 x = 3 2 代入 原方程，就知道 x = 3 2 不是原方程的根.問題 就在于去分母的過程中，把方程兩邊都乘以 最簡公分母 2（x＋3），卻沒有將 2（x＋3） 與1相 乘，因而所得的方程與原方程不同解了．

正解：

說明：解分式方程的每一步都是恒等變 形，方程兩邊的值要保持相等.在方程兩邊同 時乘以各分母的最小公倍數時要做到按照順 序，不重不漏，尤其要注意常數項不能漏掉.

五、對分式方程無解的情況考慮不全導 致出錯

分式方程無解是指不論未知數取何值， 都不能使方程兩邊的值相等.它包含兩種情 形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2） 原方程化去分母后的整式方程有解，但這個 解卻使原方程的分母為0，即為分式方程的增 根，從而原方程無解.很多同學在解題時只考 慮到了上述一種情形，從而出錯.

例5

錯解：

錯因剖析：

正解：

說明：從以上正解我們可以得出，在分式 方程無解的條件下，求待定參數的一般步驟 可歸納為：（1）方程兩邊同時乘以分式方程的 最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程； （2）分類討論：①當轉化后的整式方程無解 時，求待定參數的值；②當轉化后的整式方程 有解，且全是原分式方程的增根時，求待定參 數的值.最后綜合所得的正確結論．