例談一元一次方程應用題中的幾種等量關系

陳一凡

找準等量關系是列方程解應用題的關鍵 環節，那么一元一次方程應用題中有哪些常 見的等量關系呢？對此，筆者歸納了應用題 中三類常見的等量關系，并結合例題加以分 析，希望能夠幫助同學們掌握解答應用題的 關鍵點.

一、配套問題中的等量關系

解答配套問題最基本的等量關系就是加 工（或生產）的各種零配件的總數量比等于一 套組合件中各種零配件的數量比.若一件產品 需要 A、B 兩種配件配成，A、B 兩種配件的數 量比是 m：n，那么配件全部配套時，則有 A 種 配件總數量 ×n = B 種配件總數量 × m.解答物 品配套問題的關鍵是從物件的比例角度建立 等量關系，根據比例設未知數，列出方程求解.

例1 某服裝廠要生產一批學生校服，已 知每3m的布料可做上衣2件或褲子3條，因 褲子舊得快，要求一件上衣和兩條褲子配一 套，現計劃用1218m的布料加工成學生校服， 應如何安排布料加工上衣和褲子才能剛好配 套？能加工多少套校服？

分析：本題是一道關于一元一次方程的 配套問題.由已知條件可以得出如下信息： ①每1m的布料可以做 2 3 件上衣和1條褲子； ②完工后，褲子和上衣的數量比是2：1，即褲 子的數量是上衣數量的 2 倍時剛好配套； ③生產上衣和褲子總共用了 1218m 布料，從 中可以得出的相等關系是：褲子的數量=上衣 的數量 × 2.

解：

答：用522m布料加工上衣，用696m布料 加工褲子才能剛好配套，能加工348套校服.

評注：列一元一次方程解答產品配套問 題時，要弄清配套產品中哪種數量多，哪種數 量少，以及它們是幾比幾的配套比例關系. 只有這樣才能正確找出題設中的等量關系 解題.

二、工程問題中的等量關系

工程問題是研究工作總量、工作效率和 工作時間三者之間關系的數學問題.工程問 題中我們一般把工作總量看成單位“1”，即完 成某項任務的各工作量的和＝總工作量＝1， 用單位時間內完成工作總量的幾分之一表 示工作效率.工程問題中的主要等量關系有： ①工作總量=工作效率 × 工作時間；②工作效 率= 工作總量 工作時間 ；③工作時間= 工作總量 工作效率 .明確 了這些關系后，就能順利列出相應的方程進 行解題.

例2 某市準備對某道路進行改造，若甲 工程隊單獨做此工程需要 9 個月完成，乙工 程隊單獨做此工程時需要12個月完成.現甲、 乙兩工程隊先合作 3 個月，然后甲工程隊到 期撤離，乙工程隊單獨完成剩余工程，則乙工 程隊單獨完成剩余工程需要幾個月？

分析：本題是一道關于一元一次方程的 工程問題.由題意可以得到如下等量關系： ①乙剩余的工作量=乙的工作效率 × 乙單獨 完成剩余工程的時間；②甲、乙兩隊合作的工 作量=甲、乙兩隊的工作效率之和 × 工作時 間；③乙剩余的工作量+甲、乙兩隊合作的工 作量=總工作量“1”.

解

答：

評注：在工程問題中，還要注意有些問題 中工作量給出了明確的數量，這時不能看作 整體1，此時工作效率也即工作速度.

三、球賽積分問題中的等量關系

球賽積分問題中的相等關系主要包括： ①比賽總場數=勝場數+平場數+負場數；②比 賽總得分=勝場總得分+平場總得分+負場總 得分.③一個隊的總積分=勝 1 場得分×勝場 數+負1場得分×負場數.當題目中的信息量較 大時，可以從總積分與勝、負場積分的橫向關 系去比較分析，也可以從不同球隊的勝負場 次、積分等的縱向關系去尋找信息，獲取等量 關系來解題.

例3 某校初二年級舉行班級籃球聯賽， 每班均需要賽10場，比賽規定勝一場得3分， 平一場得 1 分，負一場得 0 分.在這次班級籃 球聯賽中，初二（3）班平的場數是負的場數的 2倍，共得16分，試問該班勝了多少場比賽？

分析：本題是一道關于一元一次方程的 球賽積分問題.根據題意可以得出如下等量 關系：①勝場數+負場數+平場數=10；②平場 數=2 × 負場數；③勝場積分+平場積分+負場 積分=16.若設負場數為x，則平場數為2x，勝場 數為（10-x-2x），再結合積分關系，即可列出 方程解題.

解：

答：該班勝了4場比賽.

評注：在解答球賽積分類問題時，同學們 要注意“比賽總場數”“比賽總積分”這兩個關 鍵量.一般比賽場次與勝場、負場的數量關系明 顯，而積分與勝場、負場的數量關系比較隱蔽.

總之，一元一次方程應用題中的等量關 系是多種多樣的，我們在解題時要認真審題， 仔細分析，找出問題中的等量關系，靈活運用 解題策略.這樣在解題時才能做到心中有數， 游刃有余.