有關(guān)整式求值問(wèn)題的幾種巧妙解法

彭恬

在學(xué)習(xí)了整式運(yùn)算的知識(shí)后，同學(xué)們經(jīng)常會(huì)遇到整式運(yùn)算中的求值問(wèn)題.對(duì)于一般的整式求值問(wèn)題，若能化簡(jiǎn)，要先化簡(jiǎn)整式然后再求值；如果式子比較復(fù)雜，則需要根據(jù)實(shí)際情況靈活處理.下面舉例說(shuō)明整式求值中的幾類常見(jiàn)問(wèn)題及其解法.

一、直接代入求值

如果已知條件給出了整式中所含字母的值，可以直接代入求整式的值，或把整式化簡(jiǎn)后再代入求值.化簡(jiǎn)后整式達(dá)到最簡(jiǎn)化，代入計(jì)算更簡(jiǎn)便.這是整式求值最基本的方法.

例1

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)所給需要求值的式子能化簡(jiǎn)時(shí)，可通過(guò)因式分解將多項(xiàng)式合理變形，這樣可使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)捷．

二、利用概念及定義求值

如果已知條件沒(méi)有直接給出字母的值，只是給出了字母滿足的條件，可以由已知條件中給出的相關(guān)概念和定義先求出字母的值，再化簡(jiǎn)整式，最后代入求值.

例2

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：本題在求字母的值時(shí)，利用了相反數(shù)、絕對(duì)值及倒數(shù)的概念.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分類討論．

三、整體代換求值

當(dāng)已知條件式與求值式之間滿足某種關(guān)系時(shí)，可以先不求出條件式中字母的值，而是將條件式看作一個(gè)“整體”，然后直接代入求值式中求值.

例3

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙地把已知條件轉(zhuǎn)化為三個(gè)完全平方式，然后將 a2 + b2 + c2＝1 整體代入求值即可.解答過(guò)程既運(yùn)用了整體思想進(jìn)行化簡(jiǎn)，又運(yùn)用了整體代入進(jìn)行求值.

四、巧用換元法求值

換元法就是把某些結(jié)構(gòu)相同的式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)新的變量去代替它.在整式運(yùn)算中運(yùn)用換元法能起到減少項(xiàng)數(shù)，降低次數(shù)的作用.這樣可使代數(shù)式的結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單，易于求值.

例4

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：本題可直接帶入求值，但運(yùn)用換元 法更為簡(jiǎn)單.換元法是處理較復(fù)雜的代數(shù)式 的常用方法.通過(guò)換元，可以使代數(shù)式的特征 更加突出，從而簡(jiǎn)化了整式的形式．

五、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法求值

學(xué)習(xí)了整式的乘法和因式分解后，我們 不僅要能從“數(shù)”的角度進(jìn)行運(yùn)算，還要能從 “形”的角度理解公式、法則的幾何意義，能夠 根據(jù)需要計(jì)算的數(shù)量關(guān)系聯(lián)想到圖形之間的 關(guān)系.靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想有利于拓寬解 題思路，獲得解題靈感．

例5

分析：

解：

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合 法求解是解答此題的關(guān)鍵．