怎樣探究與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題

朱超

將平面圖形繞著平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 一定的角度，叫做旋轉(zhuǎn)變換.以圖形為載體、 以旋轉(zhuǎn)為手段的規(guī)律探究題是將旋轉(zhuǎn)融入到 幾何圖形的推理和角度、面積等的計(jì)算中.它 通過(guò)給出與圖形有關(guān)的操作變化過(guò)程，要求 我們觀察、分析、推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律. 這類問(wèn)題考查了同學(xué)們的操作、想象與猜想 歸納能力.解題的關(guān)鍵是樹(shù)立動(dòng)態(tài)觀念，抓住 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的不變量、不變關(guān)系，動(dòng)中求靜解 答問(wèn)題.

一、探究點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

在平面坐標(biāo)系內(nèi)，某一點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前 后坐標(biāo)的變化規(guī)律如下：點(diǎn) A（a，b） 繞原點(diǎn)旋 轉(zhuǎn) 90°得點(diǎn) A′的坐標(biāo)是 （-b，a）；點(diǎn) A（a，b） 繞原 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°得點(diǎn) A′的坐標(biāo)是 （-a，-b）. 有些題 目中點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角為 30°、60°、120°或 150°時(shí)， 就需要向坐標(biāo)軸作垂線段，構(gòu)造含有特殊角 的直角三角形，利用特殊角的邊角關(guān)系和勾 股定理求解.

例1

分析：

解：

說(shuō)明：本題以點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)為背景，要求同學(xué) 們探索平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.解題的 關(guān)鍵是通過(guò)作圖，觀察分析旋轉(zhuǎn)方向與坐標(biāo) 符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而探究出相應(yīng)的規(guī)律．

二、探究線段的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是平面旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中的 基礎(chǔ)內(nèi)容.解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住“線段 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后長(zhǎng)度不變”這個(gè)性質(zhì)，利用這個(gè)不 變性，可以求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度.在以線段的 旋轉(zhuǎn)為背景的探究題中，同學(xué)們要學(xué)會(huì)通過(guò) 觀察、計(jì)算，探究線段在多次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中“不 變”及“變化”的規(guī)律，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去進(jìn)一步 解題.

例2

分析：從上圖中可以找出規(guī)律，弧長(zhǎng)的圓 心角不變都是120°，變化的是半徑，而且第一 次是1，第二次是2，第三次是3，依此下去，然 后按照弧長(zhǎng)公式計(jì)算．

解：

說(shuō)明：本題主要考查了同學(xué)們通過(guò)分析 特例歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.對(duì)于找規(guī) 律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化， 是按照什么規(guī)律變化的.通過(guò)分析找到各部 分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．

三、探究面的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

三角形或多邊形繞點(diǎn)的平面旋轉(zhuǎn)實(shí)質(zhì)上 是一個(gè)圖形的整體旋轉(zhuǎn)問(wèn)題．解答這類題的 關(guān)鍵是抓住旋轉(zhuǎn)變換的兩個(gè)特征，即繞點(diǎn)旋 轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀 和大小.所以在解答此類問(wèn)題時(shí)，要充分利用 旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等這些 重要條件，再綜合利用題目中的其他相關(guān)條 件，使問(wèn)題獲解.

例 3 如圖 3，將一個(gè)正三角形繞其中心 最少旋轉(zhuǎn)60°，所得圖形與原圖的重疊部分是 正六邊形；如圖4，將一個(gè)正方形繞其中心最 少旋轉(zhuǎn)45°，所得圖形與原圖形的重疊部分是 正八邊形；依此規(guī)律，將一個(gè)正七邊形繞其中 心最少旋轉(zhuǎn) °，所得圖形與原圖的重疊 部分是正多邊形．在圖 4 中，若正方形的邊 長(zhǎng)為4，則所得正八邊形的面積為 ．

分析：

解：

說(shuō)明：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前 后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一 對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相 等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)——旋轉(zhuǎn) 中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．