換元法在因式分解中的應用

涂倩

針對有些復雜的多項式，如果把其中某 些部分看作一個整體，用一個新的字母代替， 將含“新字母”的多項式分解因式，最后將“新 字母”用原來的式子代換，得到原多項式因式 分解的結果，這種方法就是換元法.因式分解 中的換元有多種方法，如整體換元、對稱換 元、平均換元等.下面舉例進行分析說明.

一、整體換元

整體換元是指把要分解的多項式中的某 一部分視為一個整體，并用新的變元代替它， 從而將多項式簡化，使之能用基本方法分解 因式.運用整體換元法解題的關鍵是找到合 適的式子進行換元.有時候我們要通過適當 的變形，才能發現這個“整體”.

例1

解法1

解法2

點評：當一個多項式的項數次數較高時， 運用整體換元法可直接將其化成二次三項式 （以 y 為主元），再用十字相乘法進行因式分 解.這樣會降低解題難度，提高解題速度.

二、對稱換元

對稱代換指的是在原多項式中，如果其 中出現對稱形式的代數式，可用兩個新的字 母（元）分別代換原多項式中的代數式，將舊 元用新元表示出來，通過對稱換元后再分解 因式．這樣有利于轉換解題的思路.

例2

分析：直接去括號分解因式顯然不可取， 但以 x，y 的和與積的對稱式為輔助元求解， 就方便簡潔許多.

解：

點評：最基本的對稱式是 xy 與 x + y ，其 最本質的特點是將 x 、y 進行代換的前后，代 數式的形式沒有發生改變.

三、均值換元

均值換元是指對原代數式中存在實質聯 系的兩部分，取它們的算術平均值，將這個算 術平均值換元.即若 x + y = 2S，則可設 x = S + t， y = S - t ，其中 S 是 x，y 的平均值，t 是新元.這 樣便將變量用新元 t 替換，從而實現方便因 式分解的目的．

例3

分析：直接去括號太復雜，取兩個括號內 的常數的平均數進行均值換元，便于合并，簡 化運算.

解：

點評：x + 1 與 x + 3 的算術平均值即為 x + 2，因此，令 x + 2 = t 進行換元.換元的目的 是消去四項式中的奇數次項，如此一來，原式 可化為二次三項式的形式，并運用十字相乘 法進行因式分解.

四、常值換元

常值換元法，即把題目中某個已知數值 用新的輔助元去替代，化已知為未知，變原來 的主元為常量，從而使數字間的特征更加突 出，規律更加明顯，這樣使代數式實現巧妙的 轉化，更容易進行因式分解.

例4

分析：本題如運用分組分解法按“二二分 組”或“三一分組”均難以奏效，但由于數字 2008 出現頻率高，若以 2008 為輔助元 a ，則 2007可轉化為 a －1，從而原來的四項式可轉 化為五項式，采用“三二分組”就便于提取公 因式和利用公式法求解．

解：

點評：在處理一些數值較大的問題時，可 根據其形式特征，將問題中的某個或某些特 殊的已知數值換元，這樣暫時化“已知”為“未 知”，既更容易找到解題途徑，又可避免繁冗 的運算過程.

五、倒數換元

對于某些數學問題，若題目中隱含著倒 數關系，同學們要注意轉變思路，利用倒數換 元法去靈活解題.倒數換元即抓住代數式之 間的倒數關系巧妙設元，將互為倒數的代數 式用一個字母來代替它，使原問題轉化為易 于求解的形式，進而完成因式分解.

例5

分析：本例看似無法入手，仔細觀察可發 現，該多項式系數呈對稱形式，提取 x 2 后，出 現互為倒數的項，整理后便可分解因式了.

解：

點評：

使用換元法分解因式的關鍵是選擇輔助 元.在選擇輔助元時，要反復比較式子中重復 出現的整體結構，尋找最恰當的輔助元，恰當 地換元才能起到減少項數、降低次數和凸顯 隱含因式等作用.