數學算法優化控制下的皮革裁剪加工空行程路徑研究

任艷，李向超

（1.陜西郵電職業技術學院，陜西 咸陽，712000；2.西安市第二十六中學，陜西 西安 710000）

皮革裁剪是皮革企業生產加工過程中的重要環節[1]，對于皮革后期成型設計和皮革整體加工效率的提升有重要的影響。然而，當前絕大部分中小皮革企業所采用的皮革裁剪設備為通用型機器，普遍存在切割距離較大、路徑單一和裁剪效率低下等問題。

由于當前皮革裁剪設備在裁剪過程中運動軌跡復雜，面對各種多輪廓形狀不同的皮革樣片裁剪需求，刀片在皮革樣片的移動裁剪中會產生大量的無用空行程路徑，不僅會對皮革材料會造成極大的浪費，同時又使得裁剪過程的走刀時間變長，致使其裁剪效率較低[2-3]，進而影響皮革生產加工過程的整體節奏。為此，文章提出運用數學算法優化模型來進一步改進降低皮革裁剪過程中的空行程優化路徑，有效降低裁剪路徑的復雜度。

1 皮革裁剪加工空行程路徑優化問題描述

通常，在皮革裁剪加工初始過程中，裁刀會按照原點位置行走一小段空行程，將第1塊待裁剪區域作為起始點，正式入刀后依次按照皮革樣片輪廓路徑進行裁剪。當每完成一次裁剪后，裁刀會繼續回到皮革樣片的初始起點進行第2塊、第3塊至第n塊的重復路徑動作，最終待裁剪完成后，裁刀會自動回落到起始位置，空行程路徑具體如圖1所示。

圖1 皮革裁剪空行程路徑示意Fig.1 Schematic diagram of empty travelpath of leather cutting

因此，可將皮革裁剪的裁刀路徑數學模型設定為：

2 皮革裁剪空行程路徑優化模型建立

皮革裁剪中的裁刀空行程路徑可看作是數學中的旅行商問題[4-5]，其本質都是利用數學算法來求解每一次回到起始點的最短路徑問題。

在皮革裁剪中，分別讓皮革樣片與裁剪起始點進行編號對應，起始原點為編號0。假設有n塊皮革樣片和n個裁剪起始點，若第i塊皮革樣片的裁剪起始點i與第j塊皮革樣片的裁剪起始點空行程路徑為di，j，則存在關系如下：

依據皮革裁剪加工過程中的實際要求，往往對裁斷和皮革樣片具有一定的約束條件，皮革裁剪中的裁刀起始和終止位置都應該是裁床的原點位置，結合上述空行程路徑關系，將優化模型設定為：

3 數學算法優化控制下的皮革裁剪加工路徑

3.1 數學算法優化控制思路

結合皮革裁剪空行程路徑優化模型進行改進優化，裁刀空行程路徑距離一方面是由于皮革樣片的復雜程度決定，另一方面則是由皮革裁剪起始點和裁剪的先后順序來決定。因此，采取數學算法中的“改進蟻群算法”進行對路徑進行優化改進，將裁剪順序按照裁刀走過的優質路徑進行先后排列，并根據“就近原則”選取裁剪起始點，引入坐標中心點概念對復雜路徑問題進行優化。

3.2 裁剪加工路徑的起點確認

假設在皮革裁剪過程中，有n塊皮革樣片，第i塊皮革樣片有v（i）個頂點，第i塊皮革樣片的第j個頂點即為v（i,j），且（1＜i＜n，1＜j＜v（i）），在坐標中x軸為x（i,j），y軸為y（i,j），皮革樣片中的中心點為C（x,y），坐標軸x和y的計算方法為：

根據中心點C（x,y）來定義第i個皮革樣片的第j個頂點與坐標之間的原始起點距離，計算方法為：

根據計算方法可依次類推每塊皮革樣片頂點與坐標中心點C（x,y）之間的距離，并從中選取距離中心點C（x,y）最近位置的頂點作為皮革樣片裁刀的起始位置，最終經過計算，可完成所有裁剪起始位置集合。

3.3 裁剪過程先后順序的確認

確定裁剪距離路徑后，要對皮革樣片裁剪過程中的順序進行確認。為了降低裁剪路徑陷入皮革樣片局部的缺陷，本次采用“改進蟻群算法”對目前已經獲得起始點位置的游歷順序進行優化排序，該算法是利用最大最小的啟發式計算方式來尋找優化路徑的概率型算法[6-7]，螞蟻根據路徑中的信息素濃度來選擇最優路徑，信息素濃度越高，則會有更多螞蟻選擇該路徑。該算法具有較強的自適應性和魯棒性，可有效解決裁刀空行程中的旅行商問題。

假設，當前有n個皮革樣片和m只螞蟻，在皮革裁剪初始狀態前各個路徑的信息濃度差基本相同，為了明確每只螞蟻都不對已經搜索過的圖形再次重復搜索，將螞蟻設定為k，當螞蟻k從皮革樣片i移動到j時，其路徑選擇的概率為：

其中，allowedk代表螞蟻k景觀重復路徑之外的樣片集合，螞蟻每經歷一個皮革樣片檢索后即可加入儲存表中，τij代表信息濃度初始值，τih代表樣片i和樣片j中的信息素濃度，ηij代表樣片i與樣片j路徑間的能見度，所有螞蟻在皮革樣片中檢索一遍路徑信息濃度產生變化，可更新為：

以某精英螞蟻走過的優質路徑信息素為例，根據公式（9）簡化模型可得：

其中，ρ代表信息濃度的揮發率保留系數，且0＜ρ＜1；Δτij代表其中某一只精英螞蟻在皮革樣片i和樣片j中的路徑信息素。所有螞蟻根據公式（8）（9）（10）來更新皮革樣片的信息素濃度，計算后可判斷是否達到濃度上限值，一旦達到即可結束算法，輸出皮革裁刀的最優路徑。

4 皮革裁剪實驗測試

為了測試“改進蟻群算法”對皮革空行程路徑的優化效果，選擇一塊1 000 mm×1 000 mm的皮革進行測試。該皮革包含了62個待裁剪的皮革樣片形狀，將不同樣片形狀進行編號，效果如圖2所示，對其進行實驗測試。

圖2 待裁剪的皮革樣片Fig.2 Leather sample to be cut

其中，V1,1即為皮革樣片中為編號1樣片的頂點，其余樣片頂點則按照順時針方向排序，皮革形狀相同的樣片其頂點定義方法相同。按照“改進蟻群算法”公式對皮革樣片空行程裁剪路徑依次進行優化計算，計算結果按照順序排列依次為：

V0，0→V19，1→V38，4→V56，2→V56，3→V60，4→V48，5→V30，3→V51，1→V33，4→… V0，0，優化后的皮革樣片空行程路徑效果如圖3所示，利用“改進蟻群算法”優化后的路徑（b）相比優化前（a）減少了近5 231.5mm，縮短空行程路徑超過原計劃路徑三分之一長度，且優化后的路徑不僅可以減少皮革邊角料的浪費，還可使皮革樣片裁剪速度有效提升。

圖3 “改進蟻群算法”優化前后路徑對比Fig3 Path comparison before and after“improved ant colony algorithm”optimization

5 結語

皮革裁剪是皮革加工生產過程中的重要環節，大量無用的空行程路徑不僅會降低皮革裁剪的效率，還進一步造成了皮料的直接浪費。

通過“改進蟻群算法”對皮革裁剪空行程路徑進行優化，經過數學算法計算后的空行程路徑距離有效縮短，超出原始空行程路徑的三分之一，有效提高了皮革裁剪的工作效率。但是，由于本次研究中暫未考慮到皮革排料軟件的使用，故在皮革裁剪中對于最優化省料的計算方式未能完全充分考慮，該研究仍待改進。