圓中圖形繁瑣多 化繁為簡是條路

摘 要：對于圓的計算題與證明題，要充分挖掘其幾何性質，利用相似、旋轉、割補等方法求解，這樣可以將問題簡化，達到快速解題的目的.

關鍵詞：圓；直線；切線；面積；證明

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A ??文章編號：1008-0333（2023）35-0029-03

中考中對圓的考查大多都是以圓與直線形（線段、射線、直線、三角形、四邊形、多邊形稱為直線形）圖形組合成復雜圖形為背景，以運動為載體，集代數與幾何知識于一體，滲透分類討論、轉化化歸、數形結合、函數與方程等數學思想.常涉及垂徑定理、弦、弧，圓心角的關系、圓周角定理、切線性質與判定、切線長定理、勾股定理，相似三角形的判定和性質，特殊四邊形性質以及銳角三角函數定義與特殊角的三角函數值等相關知識.

下面結合中考真題，談談如何在圓的計算題與證明題中分析條件、化繁為簡、快速解題.

1 連半徑，證垂直

例1 （2020年銅仁市中考題）如圖1，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，CE⊥AB于點E，D是直徑AB延長線上一點，且∠BCE=∠BCD.

（1）求證：CD是⊙O的切線;

（2）若AD=8，BECE=12，求CD的長.

分析 （1）如圖2，此問屬于“連半徑，證垂直”，即連接OC，利用題設中的直角或垂直條件推導出半徑與直線垂直，得出∠OCD=90°即可，抓住△CBE與△ABC這對“共邊相似三角形”是關鍵.

（2）如圖2，設BC=k，AC=2k，抓住△DCB與△DAC這對“共邊相似三角形”，根據相似三角形的性質即可得到結論.

解 （1）如圖2，連接OC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，

又∠ECB+∠ABC=∠ABC+∠A=90°，∴∠A=∠ECB.

∵∠BCE=∠BCD，∴∠A=∠BCD.

∵OC=OA，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO=∠BCD，

∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠BCD=90°，

∴∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切線.

（2）∵∠A=∠BCE，

∴tanA=BCAC=tan∠BCE=BECE=12，

設BC=k，則AC=2k.

∵∠D=∠D，∠A=∠BCD，∴△ACD～△CBD，

∴BCAC=CDAD=12，∴CD=12AD=12×8=4.

2 陰影部分面積

例2 （2020年黔西南州中考題）如圖3，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，D為AB的中點，以點D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為_______.

分析 將下方的陰影部分旋轉到最上方，轉化為計算規則圖形弓形的面積.

解法1 如圖4，連接CD，作DG⊥AC于點G，DH⊥BC于點H.

∵CA=CB，∠ACB=90°，D為AB的中點，

∴CD平分∠BCA，∴DG=DH.

∵∠NDM=∠HDG=90°，

∴∠NDH=∠MDG，∴△DMG△DNH.

∵DC=1，AB=2，四邊形DGCH是正方形，DH=22，

∴扇形FDE的面積是90π×12360=π4，S DMCN=S DGCH=12，

∴陰影部分的面積是π4-12.

解法2 如圖4，∵∠EDF=∠CDB=90°，∴∠EDC=∠FDB=90°-∠CDF，

∴扇形EDC與扇形FDB面積相等.

∵DN=DM，DB=DC，∴△DCM△DBN，

∴陰影部分EMC與陰影部分FNB面積相等，

∴所求陰影部分面積為弓形CFB面積.

∴扇形DCB的面積是90π×12360=π4，S△BDC=12，

∴陰影部分的面積等于S弓形BFC=π4-12.

點評 求陰影部分面積常有以下方法：

①公式法：如果陰影部分是扇形、平行四邊形、圓等，直接用公式計算；

②和差法：將不規則陰影部分轉化為規則圖形求面積的和差，有時需要作輔助線進行分割；

③等積轉化法：將圖形平移、軸對稱、旋轉等轉化為公式法或和差法，注意利用平行線中的等底（同底）等高（同高）轉化；

④容斥原理法：陰影部分是兩個基本圖形互相重疊得到的，“組合圖形面積”=“兩個基本圖形面積之和”-“重疊圖形面積”.

3 線圓相切求半徑

例3 （2020年遵義市中考題）如圖5，拋物線y=ax2+94x+c經過點A（-1，0）和點C（0，3）與x軸的另一交點為點B，M是直線BC上一動點，過點M作MP//y軸，交拋物線于點P.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點Q，使得△QCO是等邊三角形？若存在，求出點Q的坐標; 若不存在，請說明理由；

（3）以M為圓心，MP為半徑作⊙M，當⊙M與坐標軸相切時，求出⊙M的半徑［1］.

分析 （1）把點A（-1，0）和點C（0，3）代入y=ax2+94x+c，求出a與c的值即可得出拋物線的解析式；

（2）先假設存在△QCO為等邊三角形，再通過等邊三角形性質進行說理；

（3）用變量表示出半徑PM的長，再根據圓心M到x軸（圓心到直線距離）或y軸的距離等于PM（半徑）列方程求解.

解 （1） ∵拋物線y=ax2+94x+c經過C（0，3），∴y=ax2+94x+3.

將A（-1，0）代人得a-94+3=0，解得a=-34，

∴該拋物線的解析式為y=-34x2+94x+3；

（2）如圖6，取CO中點D，過點D作x軸的平行線，交拋物線于點E，N.若拋物線上存在點Q，使得△QCO是等邊三角形，則直線QD必然垂直平分CO，即E或N為所求.

若△CEO為等邊三角形，則ED=323>1=AO，故假設不成立.

若△CNO為等邊三角形，則DN=323，

∵yN=32=-34x2+94x+3，解得x=3+172或x=3-172（舍去），

∴DN=3+172≠332，故假設不成立.

綜上，拋物線上不存在點Q，使得△QCO為等邊三角形.

（3）令y=0，即-34x2+94x+3=0，解得x1=-1，x2=4，∴點B（4，0）.

設過B（4，0），C（0，3）兩點的直線的函數關系式為y=kx+3，則4k+3=0，解得k=-34，∴直線BC的函數關系式為y=-34x+3.

設Mm，-34m+3，則點Pm，-34m2+94m+3，

∴MP=-34m+3--34m2+94m+3=34m2-3m.

如圖7，當⊙M與x軸相切時，

若點M在點P的上方，則有34m2-3m=-34m+3，解得m=-1 或m=4（舍去），

∴⊙M的半徑為154.

如圖8，若點M在點P的下方，則有-34m2+3m=-34m+3， 解得m=1或m=4（舍去），

∴⊙M的半徑為94.

如圖9，當⊙M與y軸相切時，若點P在點M的上方，則有-34m2+3m=m， 解得m=0（舍去）或m=83，

∴⊙M的半徑為83.

如圖10，若點P在點M的下方，則有34m2-3m=m，解得m=0（舍去）或m=163，

∴⊙M的半徑為163.

綜上所述， 當⊙M與坐標軸相切時，⊙M的半徑為154，或94，或83，或163.

對于圓這類綜合性較強的題目，多采用由因索果以及執果索因相結合的方法進行分析，以便達到條件與結論的有效溝通.同時又要善于挖掘題目中的隱含條件，將問題轉化到基本圖形之中，再用相關的知識與方法進行解決，這樣可以達到化繁為簡、快速解題的效果.

參考文獻：

［1］ 沈鈺斌.“線圓”相融成題，解析反思探究：以一道拋物線綜合題為例［J］.數學教學通訊，2021（35）：85-86.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：劉琦（1995.8-），女，云南省昆明人，本科，中學二級教師，從事初中數學教學研究.