深度解析以折紙為背景的中考題

摘 要：中考題經(jīng)常考查以折紙為背景的試題，考查考生的動(dòng)手能力和直觀想象能力.文章從折疊方法解析和問題解答的角度來深度剖析幾道經(jīng)典的中考題.

關(guān)鍵詞：中考題；折紙；折疊；操作；解析

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）35-0086-03

折紙是我國的傳統(tǒng)文化，也是一門藝術(shù).以折紙為背景的中考題，因其高度抽象而成為難點(diǎn).筆者以幾道經(jīng)典的中考題為例，給出折疊方法解析、操作過程分析和試題解答.

例1 已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1， 將紙片折疊， 使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.

（1） 如果折痕FG分別與AD、AB交于點(diǎn)F、G，AF=23， 求DE的長；

（2） 如果折痕FG分別與CD、AB交于點(diǎn)F、G，AED的外接圓與直線BC相切， 求折痕FG的長， 如圖1［1］.

折疊方法解析 本題的折紙操作方法可以用以下 4 個(gè)步驟描述：

操作1 將AD與BC重合對(duì)折， 折痕為MN， 如圖2所示；

操作2 將AD與MN重合對(duì)折， 折痕為RS， 如圖3所示；

操作3 過S、M兩點(diǎn)折疊， 折痕為MS， 折疊以后BS與AD的交點(diǎn)為F， 如圖 4所示；

操作4 過點(diǎn)F將點(diǎn)A折到CD上， 折痕為FG， 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E， 如圖5所示.

問題解答

（1）從操作1到操作3，可知點(diǎn)F為AD的三等分點(diǎn). 因?yàn)锳關(guān)于折痕FG的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E， 所以AF=EF，EF=23，DF=13， 所以DE=33.

（2）折疊的關(guān)鍵是要確定點(diǎn)E的位置，我們先假設(shè)已經(jīng)折出來了，如圖6所示，然后再計(jì)算CE的長度，從而確定點(diǎn)E的位置.

記AE與FG的交點(diǎn)為P， 過點(diǎn)P作PQ⊥BC于Q， 由于BC與三角形ADE的外接圓相切， 所以PQ=AP=EP， 且∠AQE=90°，CQ=BQ， 因此∠CQE+∠AQB=90°， 有∠CQE=∠QAB， 所以△CEQ∽△ABQ，CECQ=BQAB，由此可解得CE=18. 因?yàn)榫€段的18是容易折疊的， 所以問題 （2） 可以由下列操作來完成折疊過程.

操作5 將長方形ABCD的邊BC與MN重合對(duì)折，折痕為M1N1，再將BC與M1N1重合對(duì)折，折痕為M2N2，繼續(xù)將BC與M2N2重合對(duì)折，即可得到CE=18， 如圖7所示.

操作6 ?將A、E兩點(diǎn)重合對(duì)折， 折痕為FG， 如圖8所示.

求折痕FG的長度.

在圖8中， 由操作6知GF⊥AE， 所以∠AGP+∠GAP=90°， 而∠GAP+∠DAE=90°， 所以∠AGP=∠DAE.

如圖9所示，過點(diǎn)F折AB的垂線FH，因?yàn)椤螦GP=∠DAE，則△FHG～△ADE，由HGFH=ADDE， 得HG=AD×FHDE=AD2CD-CE=12-18=815，又由于FH2+HG2=FG2， 所以FG=28915=1715.

例2 ?如圖10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，沿對(duì)角線BD翻折梯形ABCD，若點(diǎn)A恰好落在下底BC的中點(diǎn)E處，則梯形的周長為_______.

折疊方法解析

“沿對(duì)角線BD翻折梯形ABCD”，實(shí)際上是過B、D兩點(diǎn)折疊；“若點(diǎn)A恰好落在BC的中點(diǎn)E處”這必須是非常特殊的梯形才能辦到.那么這是怎樣的一個(gè)梯形呢？

如圖11所示，因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于折痕BD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E， 所以△ABD△BDE， 即AB=BE，AD=DE，∠ADB=∠EDB.因?yàn)锳D∥BC，有∠ADB=∠DBE，所以∠DBE=∠EDB，即BE=DE，因此四邊形ABED是菱形.又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，而AB=CD，所以△CDE是等邊三角形.

問題解答

由上述討論可知， 梯形ABCD是底角為60°的等腰梯形，周長等于5倍腰的長度，即等于15.

例3 矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2， 將矩形紙片沿EF折疊， 點(diǎn)A與點(diǎn)C重合， 折疊后在其一面著色 （如圖12）， 則著色部分的面積為（? ）［2］.

A.8?? B.112?? ?C.4?? D.52

折疊方法解析

“將矩形紙片沿EF折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合”，實(shí)際上，將兩點(diǎn)重合對(duì)折的折痕是唯一的， 所以先給出折痕，然后再將兩點(diǎn)重合對(duì)折這種描述方式不夠嚴(yán)謹(jǐn)，本題的操作過程可以描述為：將矩形ABCD的兩頂點(diǎn)A與C重合對(duì)折，折痕為EF，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，如圖13所示.

問題解答

求梯形CEFG的面積.

因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于折痕EF的對(duì)稱點(diǎn)為C，點(diǎn)D關(guān)于折痕EF的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，所以四邊形ADFE與四邊形CEFG全等，所以AD=CG，又因?yàn)檎酆鄞怪逼椒謨蓪?duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，即EF垂直平分AC，有CF=CE，所以梯形CEFG的上底FG加下底CE正好等于CD，于是梯形CEFG的面積等于4.

例4 如圖14，矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，如果∠BAF=60°， 那么∠DAE=（? ）［3］.

A.15°? B.30°? C.45°? D.60°

折疊方法解析

可以將“矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處”描述： 過點(diǎn)A將點(diǎn)D折到BC上，折痕為AE，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F， 如圖14所示.

問題解答

從條件∠BAF=60°可知， 且∠DAE=∠FAE， 即∠DAE=15°.

縱觀以上的考題，我們發(fā)現(xiàn)很多的中考題都是以折紙為背景來考查的，這就要求一線教師在日常教學(xué)中要滲透折紙藝術(shù)、關(guān)注學(xué)生的動(dòng)手操作能力.同時(shí)，也在教學(xué)中啟示了一線教師：折紙可以進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，通過折紙操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察折痕所形成的邊角關(guān)系，幫助學(xué)生建立折紙操作與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，培養(yǎng)其動(dòng)手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力.還要注意科學(xué)性與操作性相結(jié)合、趣味性與嚴(yán)謹(jǐn)性相結(jié)合、啟發(fā)性與示范性相結(jié)合的原則.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 陳厚嵩.中考圖形折疊問題［J］.中學(xué)教與學(xué)，2007（07）：16-18.

［2］ 黃燕蘋，張輝蓉.中考折紙問題解析［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（11）：42-45.

［3］ 王彥秋.有關(guān)折紙的中考題幾例［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2011（12）：45-47.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：馮志賢（1981.10-），男，江蘇省常熟人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.