借助網絡畫板探究點運動的路徑

摘 要：文章用網絡畫板對2018年貴陽市的一道中考題進行探究，展示點的運動過程，直觀地得到點的運動路徑.采用“模型提取——解題關鍵——完整解答——解后反思——鞏固訓練”的形式，讓讀者知一型，悟一法.

關鍵詞：網絡畫板；貴陽中考；平行四邊形；運動

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0095-03

把數學變得更容易學習，是張景中院士從20世紀70年代就開始思考并著手實踐的事情，這也是“教育數學”的來由.隨著教育信息化和數學學科信息技術的發展，為促進信息技術與數學教與學的創新融合帶來了契機.網絡畫板（前身是超級畫板）是最近幾年發展起來的數學學科專用的優秀的信息技術平臺，是中小學數學教學開發共享的數學實驗室.筆者利用網絡畫板對2018年貴陽市中考的一道與點運動路徑有關的試題進行探究，采用“模型提取——解題關鍵——完整解答——解后反思——鞏固訓練”的形式，讓讀者知一型，悟一法.

1 試題呈現

（2018年貴陽市中考題）

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A是反比例函數y=m3-m2x（x>0，m>1）圖象上一點，點A的橫坐標為m，B（0，-m）是y軸負半軸上的一點， 連接AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，過點A作AE平行于x軸，過點D作y軸平行線交AE于點E.

（1）當m=3時，求點A的坐標；

（2）DE=_______，設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式和自變量的取值范圍；

（3）連接BD，過點A作BD的平行線，與（2）中的函數圖象交于點F，當m為何值時，以A，B，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形［1］？

2 模型提取

已知A，B，D三點確定（含m的式子），在拋物線上求一點F，當m為何值時，以A，B，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形.

3 探究實驗

第（2）問：如圖2所示，拖動變量尺m，觀察點D運動的路徑，猜測這是什么函數的圖象.

第（3）問：如圖3所示，拖動變量尺m，觀察點F1，F2，F3（點F1，F2，F3是過△ABD的頂點分別作對邊平行線的交點），有幾次機會落在點D的路徑上.

4 解題關鍵

（1）將m=3代入反比例函數解析式即可求出.

（2）本題用幾何方法從圖形上確定點D的運動路徑很難，但點D的運動是由字母m的變化引起的， 點D的坐標和m之間就有著某種關聯，可通過幾何關系建立二者的內在聯系，可得到D的坐標x和y關于m的關系式，消掉參數m即得到y關于x的函數關系式.

（3）雖然A，B，D三點隨m的變化而變化，但都可以用m的式子表示，把它看作定點， 問題轉化成已知三定點，求一點使這四點為頂點構成平行四邊形的問題.因為BD∥AF，因此BD和AF是平行四邊形的對邊，即只有AD和AB是對角線兩種情況，可以通過構造全等三角形，或平移前后對應點在水平和堅直方向上平移的距離相等，或平行四邊形兩組相對頂點橫坐標之和相等，縱坐標之和也相等解決.

5 完整解答

解 （1）當m=3時，y=27-9x=18x，∴x=3時，y=6，∴點A坐標為（3，6）.

（2）如圖4所示，延長EA交y軸于點N.

∵DE∥y軸，

∴∠NCA=∠EDA，∠CNA=∠DEA=90°，∵AD=AC，∴△NCA△EDA，

∴DE=CN.∵點Am，m2-m，B（0，-m），

∴BN=m2-m-（-m）=m2，AN=m.在Rt△CAB中，AN⊥y軸，

∴△ANC～△BNA，∴AN2=CN·BN，

∴m2=CN·m2，∴CN=1，

∴DE=1，∴點E坐標為2m，m2-m， 點D坐標為2m，m2-m-1.

∴x=2m，y=m2-m-1.把m=12x代入y=m2-m-1，

∴y=14x2-12x-1（x>2）.

（3）解法1 ∵x>2，

∴直線AF與二次函數y=14x2-12x-1（x>2）只有一個交點，如圖5所示，設直線AF交y軸于點M，過點F作FQ∥y軸交AE的延長線于點Q，過點D作DH⊥y軸于H，則∠FQA=∠BHD=90°.

當四邊形ABDF是平行四邊形時，AF=DB.

∵FQ∥y軸，∴∠HMF=∠AFQ.

∵AF∥BD，

∴∠HMF=∠HBD，∴∠AFQ=∠DBH，

∴△FQA△BHD，∴AQ=DH=2m，FQ=BH，

∴點F的橫坐標為3m， 縱坐標為94m2-32m-1，

∴FQ=94m2-32m-1-m2-m=54m2-12m-1.

∵D2m，m2-m-1，B（0，-m），

∴BH=m2-m-1-（-m）=m2-1，

∴54m2-12m-1=m2-1， 解得m=2或m=0（舍去）.

∴當m=2時，以A，B，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形.

解法2 ?如圖6所示，分別過△ABD的頂點A，B，D作對邊的平行線交于點F1，F2，過點A作GH∥x軸，過點B作BI∥x軸，作F2H∥y軸，F1G∥y軸，交點分別為G，H，I.

∵四邊形ABDF1和四邊形AF2BD是平行四邊形，易證△AGF1△AHF2△BID，

∴F1G=HF2=DI，AG=HA=BI.

∵x>2，Am，m2-m，B（0，-m），D2m，m2-m-1，

設F1xF1，yF1，F2xF2，yF2，

①當四邊形ABDF1是平行四邊形時，有

2m-0=xF1-m，m2-m-1+m=yF1-m2+m，

即F13m，2m2-m-1.

∴2m2-m-1=14×（3m）2-12×3m-1，

解得m=2或m=0（舍去）.

②當四邊形AF2BD是平行四邊形時，有

2m-0=m-xF2，m2-m-1+m=m2-m-yF2，

即F2（-m，1-m）.∵m>1，∴-m<-1.

而y=14x2-12x-1中x>2， 不符合要求， 故這種情況不存在.

綜上所述， 當m=2時， 以A，B，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形.

6 解后反思

本題為代數幾何綜合題，考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、三角形的全等、相似三角形的判定與性質、平行四邊形判定及用字母表示坐標，熟練掌握和靈活應用相關知識、利用數形結合和分類討論的數學思想是解題的關鍵．

當用幾何方法難以確定動點運動路徑時，一般用相似（全等）或線段間的數量關系得出動點橫、縱坐標之間滿足的關系，即把幾何問題轉化為代數問題，然后從函數的關系入手.

在日常教學或者解題教學中，遇到動點的路徑問題，教師應該借助網絡畫板、超級畫板、幾何畫板或者GGB等軟件，做動畫給學生展示動點的運動過程，讓“靜”的幾何元素“動”起來，不僅形象生動，激發學生的學習興趣，還可以培養學生的幾何直觀能力，提升學生直觀想象素養.

7 鞏固訓練

（2021年銅仁市中考題）如圖7， E，F分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的動點，滿足AE=BF，連接CE，DF，相交于點G，連接AG，若正方形的邊長為2，則線段AG的最小值為_______.

答案為2.解題過程留給讀者完成.

參考文獻：

［1］ 丁萬永.函數情境下的動點路徑［J］.中學數學教學參考，2016（27）：51-52.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：李健雄（1982.1-），男，福建省莆田人，本科，中學高級教師，從事初中數學教學研究.