運用動靜結合策略解初中數學平面幾何動點問題

蘇 雅

(揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225100)

1 “化動為靜”——動邊轉移求解范圍問題

例1(2021年徐州市中考第28題)如圖1,正方形ABCD的邊長為4,點P在邊AD上(點P不與點A,D重合),連接PB,PC,將線段PB繞點P順時針旋轉90°得到PE,將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到PF.連接EP,EA,FD.

圖1

(2)如圖2,EA,FD的延長線交于點M,取EF中點N,連接MN,求MN的取值范圍.

圖2 圖3

解(1)①如圖3,過F作FH⊥PD交PD的延長線于點H.

易證△PCD?△FPH,

②同理,過E作EK⊥PA交PA的延長線于點K,則△PKE?△BAP,

易證AK=PD=FH,KE=AP=DH,

易得AE=DF.

(2)如圖3,過F作FG⊥KE,易證四邊形FHKG為矩形,

∴GF=KH=8,GK=FH.

設AK=PD=FH=KG=x,

∴KE=AP=4-x,

GE=KE-KG=(4-x)-x=4-2x.

在Rt△EGF中

∵△AKE?△FHD,

∴∠EAK=∠DFH,

又∵∠DFH+∠FDH=90°,

易證∠MAD+∠ADM=90°,

∴∠EMF=90°,

評析此類題目要學會從題干中找信息,將需要求證的結果作為目標,去尋找與之相關的參數,前兩問都是要證明邊與邊的關系,應將不易求證關系的邊進行轉移,并利用邊的關系構造或尋找全等三角形進行求解;第三問,常見的求動線段范圍的方法有:將動線段的一端點轉移使之變成定點,另一端點轉移到固定直線上,即變成了點到直線的距離.也可將其整體轉移至一個新的直角三角形中,利用勾股定理和代數求解.本題中出現了中點,可聯想到中位線或直角三角形斜邊,將所求動線段進行整體轉移,再構造直角三角形,利用代數求解.

變式1如圖4,邊長為6的正方形ABCD中,E為BC的中點,F為正方形內一點且EF=2,連接DF,以DF為邊在右側作正方形DFGH,則EH的最小值為( ).

圖4 圖5

解如圖5,連接CH、AF,延長BA使MA=EC,連接MF,易證△ADF?△CDH(SAS),

∴AF=CH,∠DAF=∠DCH.

易證△MAF?△ECH(SAS),

∴FM=EH.

當M、E、F三點共線時,EH最小,

評析求動線段最小值問題歸屬于范圍問題.看到中點,嘗試將動線段利用中位線或直角三角形斜邊定理進行轉移,此題這兩種方法都無法做到,該題目中出現了兩個正方形,且有一共同頂點,此時必有全等出現,可以聯想到利用全等將所求動線段進行轉移,出現了“隱藏”△EFM,可利用三角形三邊關系進行求解.

2 “以靜制動”——從特殊點剖析動點軌跡,求路徑問題

例2(2021年連云港市中考第27題)在數學興趣小組活動中,小亮進行數學探究活動.

(1)△ABC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一點,且AE=1,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,如圖6所示,求CF的長.

圖6

(2)△ABC是邊長為3的等邊三角形,E是邊AC上的一個動點,小亮以BE為邊作等邊三角形BEF,如圖6所示,在點E從點C到點A的運動過程中,求點F所經過的路徑長.

(3)△ABC是邊長為3的等邊三角形,M是高CD上的一個動點,小亮以BM為邊作等邊三角形BMN,如圖7所示,在點M從點C到點D的運動過程中,求點N所經過的路徑長.

圖7 圖8

(4)正方形ABCD的邊長為3,E是邊CB上的一個動點,在點E從點C到點B的運動過程中,小亮以B點為頂點做正方形BFGH,其中點F、G都在直線AE上,如圖8所示.當點E到達點B時,點F、G、H與點B重合.則點H所經過的路徑長為____,點G所經過的路徑長為____.

解(1)易證△ABE?△CBF(SAS),

∴CF=AE=1.

(2)易證△ABE?△CBF(SAS),

∴CF=AE,∠BCF=∠A=60°,

∴∠FCE=120°,

∴∠FCE+∠A=180°,∴CF∥AB,

∴點E在點C處時,CF=AC,點E與點A重合時,點F與點C重合.∴F的運動路徑為AC=3.

(3)如圖9,取CB中點,連接HN.

易證△MDB?△NHB(SAS),

∴∠NHB=∠MDB=90°,

點M在點D處時,點N與點H重合,

圖9 圖10

(4)如圖10,取AB中點P,BC中點K,連接FP,HK,易證△BHK?△BFP(SAS),

∴H的軌跡為一段圓弧,

點E在點B處時,點F、G、H與點B重合,

點E在點C處時,∠FBE=45°,KH⊥BC,

易證△ABF?△CBH(SAS),

∴∠BHC=∠AFB=90°,從而C、G、H共線,

評析當出現兩個有共同頂點的同類多邊形(一般為三角形或四邊形)時,一定有全等出現,如果沒有,可以構造全等三角形.路徑長度,就是要找到所求點運動的全過程所對應的線段長.該題中前兩問都是簡單的單一直線運動,只需要找到所求點的初始與終止位置,求出對應的線段長度,即為路徑長度.第三問點的運動稍微復雜,當所求點位置不好確定時,可以構造與所求點相關的線段,來判斷其運動軌跡,發現所求點的運動軌跡均為單一方向的圓弧,找到其初始位置與終止位置即可求解.

3 反思總結,提高學生解題能力

對于動點問題,學生首先要能夠明辨題目中的變量和不變量.只有分清楚變量和不變量才能夠化動為靜,將所求的變量轉化到恒定的不變量上.具體問題中通常是將運動的點或邊,轉移到不變的邊上,這樣問題也就迎刃而解了.其次,動點在運動過程中的特殊點,也是解題的突破口之一,要抓住關鍵點,將一般情況特殊化,觀察運動過程,進而能夠發現動點的運動規律.對于與函數有關的動點問題,要嘗試建立動點運動過程中的函數關系,利用函數性質進行求解.

只要掌握了動點問題的解題策略,不論動點怎么動,我們都能以不變應萬變,順利求解此類試題.動點問題常常較為綜合,求解過程也要運用多種數學知識,所以能有效地考查學生的數學知識和數學能力,有效區分不同考生的數學學習水平,為中學階段的選拔提供一定依據.

教師在教學中要注意培養學生的幾何素養,有意訓練學生的動態思維,將動點問題中的“動”與條件中的“靜”結合起來,學會運用數形結合等數學思想方法,再結合專項訓練,一定可以提高學生對動點問題的求解能力.