紙牌游戲

說到紙牌游戲，同學們肯定會想到撲克牌。撲克牌便于攜帶，玩法多樣，價格低廉，是全世界最流行的紙牌游戲。

除了撲克牌外，人們還發明了許多有趣的紙牌游戲。本期雜志，我們就為大家介紹幾款極其獨特、富有創意、具有極強數理性的紙牌游戲。

霍夫曼-辛格爾頓牌

這款游戲的名字來自阿蘭·霍夫曼和羅伯特·辛格爾頓這兩位數學家。20世紀80年代，這兩位數學家在研究圖論時，構建了一個由50個頂點組成的圖，圖上的每個頂點都和其他7個頂點相連，這個圖被稱為“霍夫曼-辛格爾頓圖”。有人在這兩位數學家的研究基礎上，發明了這副超級好玩的“霍夫曼-辛格爾頓牌”。

基本信息

張數 一共50張，分為子牌和母牌。

子牌 35張。每張子牌上都寫著1～7中的3個數字。從1～7中任選3個不同的數字，一共有35種組合，分別是：

數字有35種組合，因此子牌有35張。設計子牌時，可以把這3個數字按從小到大的順序，從上到下、從左到右寫入牌面上的3個圓圈中。

母牌 15張。母牌的牌面上畫有一個三角形，三角形的中心點、3個頂點和3條邊的中點寫著數字1～7。三角形的3條邊、3條中線上的3個數字分別用同色線段連接；3條邊中點的數字用同色圓弧連接。

游戲規則

①如果兩張子牌上沒有任何相同的數字，則它們是相連的。

②如果某張子牌上的3個數字是母牌上同色線條（線段或圓弧）上的數字，它們也是相連的。

紙牌玩法

本游戲有很多種玩法。我們接下來介紹兩種常見的玩法，第一種叫取牌游戲，第二種叫積分游戲。

取牌游戲

①至少3個玩家參與，其中一個玩家是莊家。莊家負責洗牌、把牌放到桌面上以及補牌，不參與游戲比拼。莊家洗牌后，放下12張牌，將之排列成一個4×3（或6×2）的長方形。

②其他玩家一起觀察這12張牌，誰能先發現 3 張或更多相連的牌，誰就可以取走這些相連的牌。

③玩家取走相連的牌后，長方形中出現了空位，莊家放入未使用的牌填滿空位。

④如果不存在3張相連的牌，莊家繼續放入未使用的牌，此時1次只能添加1張，直到發現3張相連的牌為止。

⑤當莊家把50張牌全發完且桌面上剩余的牌中沒有3張相連的牌時，游戲結束。統計各玩家手中牌的張數，誰的張數多，誰就獲勝。

積分游戲

①兩個玩家參與，洗牌后，玩家輪流取牌。取牌完成后，每個玩家會拿到25張牌。

②玩家將自己手中的母牌挑出來擺在桌面上，讓手中的子牌和桌面上的母牌相連。在規定時間內（比如5分鐘），根據母牌連接的子牌張數來記分。

③根據下表統計玩家的得分，誰的得分高，誰就獲勝。

數學奧秘

這款紙牌游戲和數學的關系極其密切。在游戲過程中，同學們會發現一些有趣的數學結論：

結論1 霍夫曼-辛格爾頓圖有50個頂點，每個頂點都可以連接到其他7個頂點。

這副紙牌一共有50張，每張牌也可以和其他7張牌相連。如每張子牌可以和其他4張子牌、3張母牌相連；每張母牌可以和7張子牌相連。

每張子牌可以和其他4張子牌、3張母牌相連。

結論2 任何兩張不相連的牌都由一張唯一的牌相連。下圖展示了兩個例子。

結論3 如果將牌連成一個圈，能組成的最小的連接環是五連環。下圖就是一個五連環的例子。

神奇形色牌

這是一款非常獨特的紙牌游戲，英文名字叫“Set”，是一位生物學家于1974年發明的。這款游戲在歐美極受歡迎，1991年，它獲得了美國的門薩謎題大獎，還被評為“最受歡迎的100個游戲”之一。

基本信息

張數 一共81張。每張牌有4個特性，分別是：形狀、數量、顏色、紋路。每種特性具有3種可能性。

形狀 牌上有3種形狀，分別是菱形、波浪形和橢圓形。每種形狀的牌各27張。

數量 每種形狀的數量有1個、2個或3個。同樣的，每種數量的牌各27張。

顏色 每種形狀有3種顏色，分別是綠色、藍色和紅色（也可以是別的顏色）。每種顏色的牌各27張。

紋路 每種形狀有3種紋路，分別是空心、條紋和實心。每種紋路的牌各27張。

游戲規則

這款紙牌游戲的玩法很多，但都涉及“套牌”的概念。“套牌”是3張牌形成的特定組合，套牌只有一個要求，那就是3張牌的4個特性滿足以下4種情況之一。

①4個特性都不同的3張牌是套牌。

②3個特性都不同、1個特性都相同的3張牌也是套牌。

③2個特性都相同、2個特性都不同的3張牌也是套牌。

④3個特性都相同、1個特性都不同的3張牌是套牌。

除了上面這4種情況外，其他的組合都不是套牌。

紙牌玩法

①至少3個玩家參與，其中1個玩家是莊家。莊家負責洗牌、把牌放到桌面上以及補牌，不參與游戲比拼。莊家洗牌后，放下12張牌，將之排列成一個4×3（或6×2）的長方形。

②觀察這12張牌，如果有玩家發現其中的套牌，可以喊一聲“我發現了”并把這3張牌取走。右圖是一個例子。

③玩家取走套牌后，長方形中出現了空位，莊家放入3張未使用的牌，把空位填滿。

④如果所有玩家都不能從12張牌里發現套牌，莊家就繼續添加3張牌，牌數達到15張。如果還不能發現套牌，就再增加3張，以此類推。

⑤莊家把81張牌全部放完且再也找不到套牌時，游戲結束。統計玩家手中牌的張數，誰的張數多，誰就獲勝。

數學奧秘

這款紙牌游戲和概率的關系非常密切，蘊含著很多有趣的數學結論：

結論1 每張牌有4個特性，每個特性有3種可能的情況，所以牌的總張數是3⁴=81。

結論2 給定任意兩張牌，只有一張牌可以與這兩張牌組成一組。因此，從81張牌中隨機抽取的 3 張牌能組成套牌的概率是1/79。

結論3 從紙牌里隨機抽出12張牌，有套牌的概率是96.7%；從紙牌里隨機抽出15張牌，有套牌的概率是99.96%。

結論4 套牌有1080種可能。其中，4個特性都不同的有216種；3個特性都不同、1個特性都相同的有432種；2個特性都相同、2個特性都不同的有324種；3個特性都相同、1個特性都不同的有108種。

多米諾紙牌

同學們都知道多米諾骨牌，這是一種用木塊、骨骼或塑料制成的長方體牌，長度通常是寬度的兩倍。每張牌有兩面，背面空白、光滑，正面則一分為二，牌面上有形如“0|0”“1|3”“2|3”的點數。多米諾骨牌發源于中國古代的“牌九”，19世紀時，牌九傳入歐洲后，得了個新名字“多米諾骨牌”。多米諾骨牌比較重，攜帶不太方便，人們就在多米諾骨牌的基礎上，發明了方便攜帶的多米諾紙牌。

基本信息

張數 一共55張。從0～9中任選兩個數字（可重復），不考慮兩個數字的順序，一共有55種組合。

將這55種數字組合轉換成點數，就可以得到一副“雙9多米諾紙牌”。“雙9多米諾紙牌”指的是牌面上最小的點數是“0|0”、牌面上最大的點數是“9|9”的多米諾紙牌。

游戲規則

多米諾紙牌有多種玩法，但無論哪一種玩法，都是把點數看成數字來玩的。

紙牌玩法

多米諾紙牌的玩法實在是太多了，下面介紹幾種和數學關系密切的玩法。

奇數/偶數/質數/合數游戲

①兩個玩家參與游戲，約定一個規則。例如，答案是奇數（或偶數、質數、合數）的玩家贏得本輪比賽。洗牌后，將所有多米諾紙牌面朝下放到桌面上。

②兩個玩家各取一張牌。每個玩家對自己抽到的牌進行加、減、乘、除運算，如果規則是“答案是奇數的玩家本輪獲勝”，玩家就要想辦法讓自己運算的結果是奇數。

③答案是奇數的玩家獲得這兩張牌。如果兩個玩家的答案都是奇數，則各獲得一張牌。

④當55張牌被取完時，獲勝者是擁有紙牌張數最多的玩家。

差值游戲

①兩個玩家參與游戲，洗牌后，將所有多米諾紙牌面朝下放到桌面上。

②兩個玩家各取3張（或4張、5張）牌，以牌中間的橫線為分割線，上下6個點數可以分別組成兩個數。想辦法排列3張牌，使得較大的數減去較小的數得到的差最大（如果玩家取4張牌，也能組成兩個數，其中，較大的數是四位數）。

例如，兩個玩家分別抽到了下圖所示的3張牌。

兩個玩家重新排列這3張牌（可以上下翻轉），各得到兩個三位數。

872-430=442，794-253=541，玩家B獲勝。

③得到的差最大的玩家獲得自己和對方的6張牌。如果兩個玩家的答案相同，則各獲得3張牌。

④當所有牌被取完時，獲勝者是擁有紙牌張數最多的玩家。

多米諾窗戶

①3個玩家參與游戲，洗牌后，將所有多米諾紙牌面朝下放到桌面上。

②3個玩家輪流取牌，取牌完成后，每個玩家都能拿到18張牌。玩家觀察自己手中的牌，試圖將之湊成一個或多個“多米諾窗戶”。如下圖所示，4張牌構成了一個帶有一個空白空間的“窗戶”，它的4條邊上的點數加起來相同，這就是“多米諾窗戶”。

③在規定的時間內（如3分鐘），如果只有1個玩家湊出了多米諾窗戶，該玩家獲勝。如果多個玩家都湊出了多米諾窗戶，各邊上的點數和最大的玩家獲勝。

數學奧秘

多米諾紙牌的歷史非常悠久，它的形狀和點數都蘊含著極其豐富的數學知識。

結論1 除了雙9多米諾紙牌外，常見的還有雙6、雙12多米諾紙牌。雙n多米諾紙牌的張數可以通過公式（ n+1）（n+ 2）/2算出來。

結論2 雙n多米諾紙牌的總點數可以通過公式（ n+1）（n+ 2）/2算出來。例如，雙9多米諾紙牌有55張，總點數為 55×9 =495。

結論3 多米諾紙牌的重要性質之一是不大于n的點數將在紙牌上出現n+2次。你可以用這個規則統計你手上和桌子上某個點數的出現次數。

小結

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