基于自適應罰函數的城軌列車惰行節能方法

李文強，李廣軍

（江蘇理工學院汽車與交通工程學院，江蘇 常州 213000）

現階段中國多個城市軌道交通建設規模逐漸擴大，運行總能耗不斷上升。2020 年城軌交通總電能耗172.4 億kW·h，其中牽引能耗約占48%[1]，降低牽引能耗是當前城軌交通運行節能研究熱點之一。影響列車牽引能耗的因素包括列車操縱模式、運行限速、區間運行總時間等[2-5]。

在列車操縱模式方面，ZHOU 等[3]采用“牽引—巡航—惰行—制動”四段模式，通過前移惰行轉換點，延長惰行時間來降低牽引能耗，但是這種操作模式與線路的關聯性比較差，很難發揮線路設計的節能優勢。

在求解算法方面，已有文獻多采用啟發式算法求解列車節能優化模型，如劉建威等[6]采用改進的遺傳算法獲得列車運行速度曲線，但遺傳算法的生物遺傳概念與列車工況轉換點需要通過二進制對應，而且難以避免交叉、變異、選擇等復雜操作；張方等[7]研究發現在求解列車運行速度曲線問題時，粒子群（PSO）算法比遺傳算法求解效率更高，運行速度更快；李燁等[8]采用粒子群算法求解地鐵列車節能控制的多約束優化模型，但粒子群算法在某種情況下會陷入局部最優解，出現“早熟現象”。

針對上述問題，筆者首先針對列車區間線路的平縱斷面特點，提出線路適應性更強的節能策略，建立自適應罰函數的列車多質點節能優化模型。同時，將粒子群算法與混沌搜索、模擬退火機制結合，提出混沌退火混合粒子群（CAHPSO）優化算法求解模型，避免算法陷入局部最優解。最后，以實際區間為例研究多次惰行的節能模式節能效果。

1 列車運行操作模式

城軌列車常采用傳統四段操作模式：以“牽引—巡航—惰行—制動”組合工況運行，最終停在站臺指定位置。為使列車牽引能耗最小化，采用具有多次惰行工況的節能操作模式：首先以“牽引—惰行—巡航”組合工況爬坡；然后以惰行工況利用重力勢能下坡；最后，列車在合適位置采取制動措施，停止在下一站臺的指定位置。

2 優化模型

2.1 約束條件

2.1.1 運動方程

列車運動方程為：

式（1）中：F（v）為列車產生的牽引力；B（v）為制動力；W（s，v）為運行阻力；m為列車總質量；γ為回轉質量系數，常取0.06；a（s）為列車行駛距離為s時的加速度。

以列車運行距離Δs作為迭代步長，a（s）由公式（1）離散得到。根據動力學方程可知列車運行速度、時間、位置，如公式（2）—（7）所示：

式（2）—（7）中：v（s）為列車行駛距離為s時的運行速度；t（s）為列車行駛距離為s時所耗時間；vlimit1（s）、vlimit2（s）分別為列車行駛距離為s時的運行最低限速和最高限速；Send為指定停止位置；Svend=0為實際停止位置；ψ為停車精度要求，城軌列車實際停車地點與規定停車點誤差小于0.3 m 以內為安全停車，故ψ=0.3 m；Δts為在距離Δs內所耗時間；T為限定區間運行時間；ζ為運行時間裕度，列車實際運行時間與限定時間誤差不超過5%為準時到站，常取0.05。

2.1.2 受力約束

通過最小二乘法計算得到列車牽引特性曲線fF（v）、制動特性曲線fB（v），列車在運行速度為v時所受牽引力、制動力計算公式為：

運行阻力W（s，v）包含基本阻力、坡道附加力、曲線附加力?；咀枇0（s）以經驗公式進行計算。列車單位坡道附加力wi（s）、單位曲線附加力wr（s）計算公式為：

式（8）（9）中：L1（s）、L2（s）為列車行駛距離為s時，在坡度為i1、i2的坡道上的車身長度；L為列車總長度；i1、i2、i3分別為列車從頭到尾跨越的3 個坡度；l1（s）、l2（s）為列車行駛距離為s時，在半徑為R1、R2的曲線上的車身長度；A為彎道阻力系數，在中國城軌交通中A常取600；R1、R2、R3分別為列車從頭到尾跨越的3 個半徑。

當列車處于不同坡度和曲線段時，各項參數變化如表1 所示。

表1 列車位置與參數變化表

2.1.3 運行能耗約束

根據筆者假設條件及列車牽引做功計算公式，列車在區間內運行能耗為：

式（10）中：F為列車行駛距離為s時的牽引力；Δs為算法迭代步長。

當Δs＞0.1 m 時不利于研究和討論不同運行方案的列車停車精度；當Δs＜0.1 m 時，理論上可以得到更加精確的停車位置，但迭代步長越小，計算機求解時間越長；而當Δs=0.1 m 時，既可以獲得足夠的停車精度，又可以降低計算機求解時間，故設Δs=0.1 m。

2.2 目標函數

列車運行工況轉換點{xi|i=1，2，…，xi[0，Send]}為決策變量，Send為指定停車位置，以最小化列車牽引能耗為優化目標。采用自適應懲罰因子τ加權，將運行時分偏差、列車停車精度以約束條件的形式加入目標函數fit，為：

式（11）中：E（xi）為區間運行總能耗；τ·[ConT（xi）+ConS（x i）]為懲罰函數，停車精度滿足要求時ConS（xi）=0，不成立則為1，當列車運行時間滿足時間要求時ConT（xi）=0，不成立則為1。

2.3 自適應罰函數

自適應罰函數是把種群在進化過程中的信息作為反饋，動態地調整懲罰因子大小：在優化初期，可行解個數占種群規模的比例α=0，自適應懲罰因子τ最大，促使粒子運動速度加快。隨著迭代的進行，可解個數越來越多，τ也隨之減小，使優化重點轉為原目標函數。τ滿足公式（12）：

式（12）中：α為可行解占種群規模的比例；β為自適應罰函數因子調整系數，可取[10，15]中任意整數。

結合公式（6）（7），以列車停車誤差小于0.3 m 并且運行時間延誤在5%以內為可行解。

3 混沌退火混合粒子群優化算法

3.1 粒子群算法

粒子群（PSO）算法是受種群協作機制啟發而來的隨機搜索算法，將飛鳥的運動抽象為粒子運動，特別適用于傳統算法難以解決的非線性約束問題。采用粒子群算法求解列車運行工況點，不僅避免了遺傳算法交叉、變異等復雜操作，而且粒子具有特殊的物理含義：粒子移動范圍等價于列車運行范圍，粒子位置等價于工況轉換點位置。粒子的位置及運動速度計算公式為：

式（13）（14）中：ω為慣性權重，反映粒子原來的移動速度對現在的影響；分別為第j次迭代時，粒子e的速度及位置；c1、c2為學習因子，分別表示粒子在自身最好狀態和全局最好狀態下的學習能力；r1、r2為0～1 之間的隨機數；pbest、gbest分別為粒子e自身最優位置和種群最優位置。

3.2 算法的改進

3.2.1 采用混沌方程調整r1和r2

因為典型混沌系統Logistic 方程產生的混沌序列具有特殊的穩定性和遍歷性：在初始值不同的情況下可以規律地、不重復地選取[0，1]之間的數。所以用和替換公式（13）中的r1和r2，優化r1和r2的運動規律，為：

式（15）（16）中：μ為混沌控制參數，當μ=4，0≤≤1（k=1，2），且不取{0，0.25，0.5，0.75，1}時，系統進入穩定的完全混沌狀態。

3.2.2 種群最優位置的確定

種群最優粒子gbest決定種群搜索方向。優化后期gbest速度為0 時搜索停止，算法因此陷入局部最優。為了避免上述情況發生，引入模擬退火機制，不但可以接受好的解成為gbest，在優化后期還可以以概率cj來判斷是否接受差的解作為gbest，從而進一步優化粒子后期運動方向，幫助粒子跳出局部最優。概率cj滿足公式（17）：

式（17）中：fit（gbest）為種群的最小適應度；fit（pbest）為粒子p的最小適應度；Tj為當前模擬退火算法溫度。

3.2.3 初始溫度的設置

較高的初始溫度T0可以增加獲得全局最優解的概率。按照公式（18）（19）設置T0及退火速度λ：

3.3 算法流程

CAHPSO 算法具體步驟如下。

步驟1：算法初始化，即c1=c2=2，最大迭代次數jmax=300，隨機初始化粒子位置，粒子初始速度為0，退火速度λ=0.95。

步驟2：計算粒子e適應度，初始化每個粒子e自身最優位置、對應的適應度fit以及種群最優位置和對應的適應度fit（

步驟4：計算當前迭代溫度Tj下的概率cj，若cj＞rand（0，1）則從所有個體最優位置pbest選出適應度最小的pbest代替種群最優位置gbest；否則將保持原有的種群最優位置gbest。

步驟5：更新各個粒子e速度和位置。

步驟6：計算各個粒子e適應度，更新各粒子自身最優位置pbest。

步驟7：進行降溫，并判斷是否達到最大迭代次數，若達到，則輸出全局最優位置為列車區間運行工況轉換點；否則跳到步驟4。

4 實例分析

選取廣州地鐵8 號線“中大—曉港”區間為例，驗證模型與算法有效性。列車采用4 動2 拖的A 型車，列車參數[8-9]如表2 所示，線路坡道、曲線數據[9]如表3 所示。

表2 A 型列車參數

表3 “中大—曉港”區間線路坡道及曲線

4.1 算例分析

分別用CAHPSO 算法和文獻[8]中的PSO 算法求解“中大—曉港”區間最小時間運行方案（即以“最大牽引—巡航—最大制動”操縱模式運行時，列車通過區間所需時間最少）。PSO 算法參數設置與文獻[8]相同：粒子規模N=30，c1=c2=2，粒子飛行最大速度Vemax=150，ω=0.6，CAHPSO 算法參數按照3.2、3.3小節設置，自適應罰函數因子調整系數β=14。列車在不同區間運行速度曲線如圖1 所示，列車最高時速與區間實際運行時間如表4 所示，算法迭代情況如圖2 所示。

圖1 列車運行速度曲線圖

表4 不同算法求解區間最小運行時間對比表

圖2 不同算法迭代情況對比圖

結合圖1 和表4 可知，由PSO 算法所得區間內最高時速為78.7 km/h，未達到最高限速要求。同時，由PSO 算法所得區間通過時間比CAHPSO 算法分別慢2.3 s，未達最小運時間要求。

由圖2 可知，CAHPSO 算法分別在第28 次和第100 次迭代時多次跳出局部最優，全局最優搜索能力更強。在4.2 小節中所得能耗結果均采用CAHPSO 算法求解優化模型所得。

4.2 不同時段能耗分析

在軌道交通運行平峰時期，會延長區間運行時間。本文以區間最小運行時間的1.1 倍為界限，限定時間低于此界限為高峰時期，高于此界限為平峰時期。傳統四段方案和節能方案的運行時間及運行能耗對比如表5 所示。在節能模式中，惰行速度占最高牽引速度的比例δ設為0.85。

表5 “中大—曉港”區間運行時間及運行能耗

在高峰時期，兩種運行方案擁有相同的最小運行時間，但節能模式可比傳統模式節省3.5%能耗。在平峰時期，節能模式即滿足區間限定時間要求，又比傳統模式節省3.9%以上能耗。

5 結論

首先，該研究結合區間線路平縱斷面等條件，以停車精度、限定運行時間、牽引能耗為優化目標，建立基于自適應罰函數的列車區間運行優化多質點模型。其次，采用改進的混沌退火混合粒子群CAHPSO算法求解模型。最后，提出一種能夠適應多種坡型的節能運行模式，并分析此模式在不同限定時間下的節能效果，得出以下結論：①經過改進后的CAHPSO 算法通過一定概率接受新值，與PSO 算法相比可以有效跳出局部最優，全局最優搜索能力更強；②筆者所提出的節能模式不僅可以充分利用區間的線路特點，而且可以滿足高峰期及平峰期的運行時間要求。