生長中發(fā)現(xiàn) 發(fā)現(xiàn)中生長
——以折疊問題為例

內(nèi)蒙古包頭市昆都侖區(qū)教育教學(xué)研究中心

吳寶巖

傳統(tǒng)“教學(xué)中對問題的解決只是展現(xiàn)解法、展現(xiàn)思路，但對思路的尋找過程以及為什么要這樣解決、怎樣想到這樣方法的動態(tài)思維重視不夠，對解決問題中思維與策略的自然性與合理性揭示不夠.”[1]下面筆者以折疊問題為例，談?wù)勥\(yùn)用生長數(shù)學(xué)教學(xué)理念，讓學(xué)生在解決問題中生成動態(tài)思維的一些思考.

1 “找準(zhǔn)生長點(diǎn)”和“選好生長路徑”

1.1 常見“點(diǎn)對點(diǎn)式”問題呈現(xiàn)

圖1

原題1(2014安順)如圖1，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，則DE的長為.

這是一道典型的折疊問題，學(xué)生只要發(fā)現(xiàn)BE=DE(或由教師啟發(fā)得到)，運(yùn)用勾股定理計算就可以得到答案.

解：設(shè)DE=x，則AE=8-x．

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠EBD=∠CBD．

因為AD∥BC，所以∠CBD=∠ADB．

因此∠EBD=∠EDB．于是BE=DE=x．

在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得

x2=(8-x)2+16.

解得x=5．

故DE=5.

通常在接下來的教學(xué)過程中就會進(jìn)行類似問題的變式訓(xùn)練，以求通過刷題獲得解題技能.

本題的解題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)“BE=DE”這一特殊關(guān)系，或者說這一類問題的解題模式是“先發(fā)現(xiàn)結(jié)論，后計算答案”，即“先定性分析、后定量分析”.“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”進(jìn)行定性分析就是學(xué)生動態(tài)思維生成的過程.既然“發(fā)現(xiàn)結(jié)論”比“計算答案”更重要，不妨把問題設(shè)置為開放式問題，讓學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”，在“發(fā)現(xiàn)”中學(xué)會思考，在“發(fā)現(xiàn)”中摸索解決問題的方法，在“發(fā)現(xiàn)”中生長自己的數(shù)學(xué).

1.2 “定性把握與定量刻畫”[2]

改變問題情境，設(shè)置“生長點(diǎn)”，“選好生長路徑”，以“發(fā)現(xiàn)”為課堂主旋律.重新設(shè)計教學(xué)如下：

原題1改編：如圖1，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E.

(1)根據(jù)已知條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？(先定性把握)

(2)若AD=8，AB=4，則可以計算出哪些量？(后定量刻畫)

先只出示并研究第(1)問：根據(jù)已知條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？

圖2

學(xué)生在獨(dú)立思考后，得到△ABE≌△C′DE,進(jìn)而得到BE=DE(△EBD等腰三角形)，AE=EC′(△AEC′等腰三角形)，更有學(xué)生提出如果連接AC′，如圖2，能得到AC′∥BD，∠AC′E=∠EBD，∠C′AE=∠EDB，△AC′E∽△DBE等結(jié)論.

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)了諸多結(jié)論后，再給出第(2)問：若AD=8，AB=4，則可以計算出哪些量？

圖3

“先定性分析、后定量分析”既是生長點(diǎn)，也生長路徑.

2 解決折疊問題的幾種策略

2.1 將原來的單一問題設(shè)計成開放性問題

學(xué)生在思考問題時，如果不受問題約束，思維會更發(fā)散、更開闊.學(xué)生連接AC′，CC′后，能發(fā)現(xiàn)、驗證AC′∥BD, 并且能計算出AC′，CC′的長等“新結(jié)論”，足以說明問題，且在求解CC′長的過程中一題多解，方法靈活多樣.學(xué)生對兩個定點(diǎn)所連線段的位置與數(shù)量的確定性有了認(rèn)知，使得以往“點(diǎn)對點(diǎn)式”思維變?yōu)椤包c(diǎn)對面式”發(fā)散思維，這對今后解題將帶來巨大的影響.

2.2 設(shè)置階梯，讓無意注意向有意注意轉(zhuǎn)化

針對原題1改編題的第(1)問，大部分學(xué)生都可以發(fā)現(xiàn)“新結(jié)論”，最容易被發(fā)現(xiàn)的是邊和角的條件，其次是三角形以及三角形全等、相似等.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)獲得條件的先后和難易梳理分析問題的思維鏈條：

學(xué)生在教師引導(dǎo)下，思考問題從無意注意向有意注意聚焦思維.

2.3 改變問題結(jié)構(gòu)，探究新的結(jié)論

運(yùn)用發(fā)現(xiàn)法引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”解決問題的一般規(guī)律：先定性分析，后定量計算.這個順序也是我們解題中經(jīng)常用到的，即先根據(jù)題目的已知條件分析可能得到的潛在結(jié)論，然后在諸多“新結(jié)論”下重新組合條件來深入分析問題.在圖3中，如果能夠分析出兩個三角形相似或者可用勾股定理時，就可以結(jié)合給定的數(shù)值進(jìn)行計算.同樣，我們針對原題2做相應(yīng)改編.

圖4

原題2(2019大連)如圖4，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，若AB=4，BC=8．則D′F的長為．

原題2改編：如圖4，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF.

(1)根據(jù)已知條件，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？(先定性分析)

(2)若AB=4，BC=8，則可以計算出哪些量？(后定量分析)

如圖4，學(xué)生發(fā)現(xiàn)△AEF是等腰三角形.

如圖5，若連接AC,交EF于點(diǎn)O,則△AFO和△CEO全等，且AC和EF互相平分.連結(jié)FC，如圖6，于是有四邊形AECF是平行四邊形.

圖5

圖6

圖7

圖8

也有學(xué)生指出，求DD′的長可以借助△DD′F和△ACF相似來實(shí)現(xiàn)，△DD′F和△ACF都是等腰三角形且對頂角∠D′FD=∠AFC.但馬上有學(xué)生指出，點(diǎn)C，F(xiàn)，D′三點(diǎn)不一定共線，即∠D′FD=∠AFC不能成立.有學(xué)生補(bǔ)充：△AD′F和△CDF全等，∠AFD′=∠CFD，而點(diǎn)A，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線,可知點(diǎn)C，F(xiàn)，D′三點(diǎn)共線，所以∠D′FD=∠AFC.

“一石激起千層浪”， 對于學(xué)生連接AC和DD′，通過證明AC∥DD′來計算DD′長的過程中出現(xiàn)的關(guān)于三點(diǎn)是否共線的問題，雖是小意外，但卻引發(fā)學(xué)生更深層次的思考.原題2改編題的教學(xué)設(shè)計初衷本來是模仿原題1的改編題訓(xùn)練思維，不曾想學(xué)生的思維一旦被激活，就像飛出牢籠的鳥兒，在數(shù)學(xué)的天空中自由翱翔！

2.4 課堂教學(xué)的終極目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生思維

對于學(xué)生連接AC和DD′，通過證明AC∥DD′來計算出DD′的長這個新發(fā)現(xiàn)，教師及時引導(dǎo)設(shè)問：你是怎么發(fā)現(xiàn)AC∥DD′？學(xué)生結(jié)合原題1改編題第(2)問中連接AC′后發(fā)現(xiàn)AC′∥BD，從而在圖8中猜想AC和DD′是否會平行并設(shè)法證明.對于DD′長度的計算，雖然與計算AC′長度的方法不同，但由于點(diǎn)D和點(diǎn)D′的位置確定，所以堅信必定有辦法能計算出來.

至此，開放性問題的設(shè)置充分釋放了學(xué)生的思維，發(fā)散、發(fā)現(xiàn)的觸角無所不往.發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的模式讓學(xué)生打開數(shù)學(xué)的大門，在數(shù)學(xué)的天地里自由馳騁，不斷發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論，再加之教師追問“怎么得到的”“怎么想到的”更是讓學(xué)生進(jìn)入大徹大悟的境界.

布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)知識的最佳方式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).這就要求在教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)由教師的“教”轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的“學(xué)”，由“尋求單一答案”轉(zhuǎn)變?yōu)椤鞍l(fā)現(xiàn)可能的結(jié)論”.這樣一來，就將傳統(tǒng)教學(xué)中解決單一答案的“點(diǎn)式”問題變?yōu)榻鉀Q“面式”的開放性問題，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立分析探究、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、掌握原理和規(guī)律.

由此，創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生探究的時間和空間，思維的空氣、水和土壤，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、生長數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)課堂經(jīng)過這樣的設(shè)計，才能真正發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).