解決動態問題有方法
——從平行四邊形的動點問題出發

靜寧縣第三中學

趙芳寧

平行四邊形中的動點問題是初中幾何動態問題中的一類，在很多省市區中考壓軸題的動態問題中是比較典型的代表[1].解決動態問題，可以從研究平行四邊形的動點問題出發.這是本文中研究解決動點問題方法的基本思路.希望通過這樣的研究，一方面對教師教學產生有利影響，另一方面對學生學習起到一定的促進作用.

1 平行四邊形動點問題的解決思路

要想解決平行四邊形中的動點問題，離不開平行四邊形的性質和判定.縱觀平行四邊形的性質和判定，都與其邊有莫大關系，所以解決思路主要集中于平行四邊形的邊.

由于動點問題中常會出現一個或兩個甚至多個動點，因此隨著這些點的不斷運動，由點構成的圖形形狀和大小都會發生變化.故而，動點問題首先需要弄清楚點的運動情況，并且要學會用字母表示出線段的長度，或用字母表示出角的大小，然后利用平行四邊形的性質建立方程并求解[2].

如此看來，平行四邊形動點問題可通過以下四步解決：

(1)找兩邊相等.根據平行四邊形的性質和判定，可知平行四邊形的一組對邊平行且相等.通常情況下平行是已知，因此只需找出相等的兩邊.

(2)寫表達式.找出相等的兩邊后，結合動點的運動情況，寫出這兩邊的表達式.

(3)分類討論.一個點的運動情況比較簡單，但兩個或多個點的運動情況比較復雜，所以需進行分類討論，且每種情況都應畫出相應的圖形.

(4)列方程求解.分類討論后，根據線段相等列出方程并求解.當然，列出的方程一定要符合題意，對于不符題意的值則需舍棄.

2 例題解析

上述內容談到，解決平行四邊形動點問題的思路一共分為四步.為了讓這一思路得以更直觀地體現，從而幫助學生理解和掌握，現結合相關例題進行分析和說明.

圖1

例1如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC且AD=9cm，BC=6cm，點P，Q分別從點A，C同時出發，點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以2cm/s的速度由C向B運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.問多長時間后線段PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形？

分析：根據平行四邊形動點問題的解決思路，可作如下處理.

(1)找兩邊相等.由于討論的是平行四邊形，所以根據其性質找出相等線段.

(2)寫代數式.根據P，Q兩點的運動情況，設時間為ts后，用含t的代數式分別表示線段AP,BQ,PD,CQ的長.

圖2

(3)分類討論.根據點的運動可分為兩種情況，即AP=BQ(如圖1),PD=CQ(如圖2).

(4)列方程求解.分類討論后，每種情況列出相應的方程并求解.

解：設ts后線段PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形.

依題意可知，AP=t，BQ=6-2t，PD=9-t，CQ=2t.

①當AP=BQ時，t=6-2t,解得t=2.

②當PD=CQ時，9-t=2t,解得t=3.

綜上所述，2s或3s后線段PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形.

圖3

例2如圖3，點F在ABCD的邊AD上，連接BD,BF，已知AF=8cm，BF=12cm，∠FBD=∠CBD，E是BC的中點.若點P以1cm/s的速度從點A出發，沿AD向點F運動，點Q同時以2cm/s的速度從點C出發，沿CB向點B運動，點P運動到點F時停止運動，點Q也同時停止運動.當點P運動多久時，以點P，Q，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？

分析：根據平行四邊形動點問題的解決思路，可從以下四步進行分析.

(1)找兩邊相等.平行四邊形ABCD中AD和BC互相平行，那么只需找出相等線段，即可判斷出以點P，Q，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形.

(2)寫代數式.根據P，Q兩點的運動情況，設時間為ts后，用含t的代數式分別表示AP,PF,CQ,EQ的長.

(3)分類討論.根據點的運動分為兩種情況，如圖4、圖5所示.

圖4

圖5

(4)列方程求解.分類討論后，對每種情況畫出相應的圖形并列方程求解.

解：設ts后線段PQ將四邊形ABCD截出一個平行四邊形.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC.

∴∠ADB=∠CBD.

又∵∠FBD=∠CBD，

∴∠FBD=∠ADB.

∴BF=DF.

∵AF=8cm，BF=12cm，

∴AD=BC=20cm,DF=BF=8cm.

∵E是BC的中點，

∴BE=EC=10cm.

∵以點P，Q，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴PF=EQ.

設當點P運動ts時滿足條件，根據題意分析有如下兩種情況.

①如圖4所示，PF=EQ，即8-t=10-2t，解得t=2，即當點P運動2s時，以點P，Q，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形.

②如圖5所示，PF=QE，即8-t=2t-10，解得t=6，即當點P運動6s時，以點P，Q，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形.

綜上所述，當點P運動2s秒或6s時，以點P,Q,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形.

3 解決動點問題的注意要點

動點問題的類型有很多，雖然動點所處的幾何圖形不同，但解決這樣的問題都遵循四個步驟，上面通過兩道例題已經做出了較詳細的說明.在解決動點問題時需注意以下幾個要點.

首先，熟練掌握分類討論思想，學會如何分類討論.以上兩道例題的動點運動狀態雖不一樣，但都存在一定的規律，學生在分析過程中只需深入挖掘這一規律，并在此基礎上用含字母的式子表示出相應的線段.需說明的是，分類討論時一定要根據情況畫出相應的圖形以幫助學生理解問題[3].如上述兩個例題中，都畫出了相應情況的圖形，使得動點的運動狀態非常直觀，更有利于學生分析問題.

其次，牢固掌握相關圖形的性質和判定及計算方法.包括平行四邊形動點問題在內，所有的動態問題都需要掌握兩個方面的內容，一方面是相關圖形的性質和判定，另一方面是方程等的計算.學生只有掌握這些基礎內容，才能更高效地解決初中幾何中的動態問題[4].

綜上所述，要想解決動態問題，不僅要牢固掌握基礎知識，還應熟練運用一些解題思想與方法.所以，對初中生而言，只有不斷強化知識和提升學習品質，才能為日后的數學能力提升奠定基礎.