把握折疊實質 感悟數形結合

龔平

考點提煉

考點1 如圖1，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點，將△ABE沿直線AE翻折，使點B落在B′處，連接DB′. 已知∠C = 120°，∠BAE = 50°，則∠AB′D的度數為（ ）.

A. 50°? ? B. 60°

C. 80°? ? D. 90°

解題思路：由折疊的性質知∠BAE = ∠B′AE = 50°，AB′ = AB，則∠BAB′ = 100°，由菱形的性質得∠BAD = 120°，AB = AD，則∠DAB′ = 20°，AB′ =? AD，利用三角形內角和定理可得∠AB′D = 80°. 故選C.

解題要點：折疊具有全等性，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊相等，對應角相等.

考點2 如圖2，將正方形紙片ABCD沿MN折疊，使點D落在邊AB上，對應點為D′，點C落在C′處. 若AB = 6，AD′ = 2，則折痕MN的長為 .

解題思路：如圖2，過點N作NE⊥AD，垂足為點E，連接DD′. 易證明△NEM ≌ △DAD′，則MN = DD′，利用勾股定理求出DD′的長， 即可得到折痕MN的長為[210].

解題要點： 折疊具有對稱性，折痕垂直平分對應點所連線段.

考點3 如圖3，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處. 若點E在邊AB上，AB = 4，BC = 5，則AE = .

解題思路：方法1：由折疊性質可得CF = BC = 5，BE = EF，由矩形性質得CD = AB = 4，BC = AD = 5. 在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF = 3，進而得出AF = 2. 在Rt△AEF中，設AE = x，利用勾股定理建立方程求解，即可得到AE的長為[32].

方法2：由折疊性質可得CF = BC = 5，BE = EF，由矩形性質得CD = AB = 4，BC = AD = 5. 在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF = 3，進而得出AF = 2. 利用△AEF∽△DFC，即可得到AE的長為[32].

解題要點：在解決折疊中的線段計算問題時，應關注方程思想，運用勾股定理、解直角三角形、相似等知識建立方程求解.

真題精講

例1 （2022·遼寧·撫順·本溪·遼陽）如圖4，正方形ABCD的邊長為10，點G是邊CD的中點，點E是邊AD上一動點，連接BE，將△ABE沿BE翻折得到△FBE，連接GF，當GF最小時，則AE的長是 .

解析： 由折疊的性質可知，BF = BA = 10，則點F在以點B為圓心，10為半徑的圓上運動，如圖5，當點G，F，B三點共線時，GF最小.

方法1：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG = [55]，則FG = [55] - 10. 設AE = EF = x，則DE = 10 - x，在Rt△DEG與Rt△FEG中，利用勾股定理建立方程，即可得到AE的長為[55] - 5.

方法2：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG = [55]. 設AE = EF = x，利用等面積法 S梯形ABGD = S△EDG + S△ABE + S△EBG，建立方程，即可得到AE的長為[55] - 5.

點評：確定當點G，F，B三點共線時，GF最小是解題的關鍵.

例2 （2022·遼寧·沈陽）如圖6，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，點C，D的對應點分別為點E， F，且點F在矩形內部，MF的延長線交邊BC于點G，EF交邊BC于點H，EN = 2，AB = 4. 當點H為GN的三等分點時，則MD的長為 .

解析：如圖7，過點G作GP⊥AD于點P， 則PG = AB = 4. 根據折疊的性質和平行線的性質可知∠GMN = ∠MNG，則MG = NG. 根據折疊的性質和矩形的性質可以證明△FGH∽△ENH.

由點H為GN的三等分點，分情況討論.

當HN = 2GH時， 如圖7，由△FGH∽△ENH可知FG = 1. 設MD = MF = x，則MG = GN = x + 1，∴PM = 3，在Rt△PGM中，根據勾股定理列方程可以求出MD = 4. 當GH = 2HN時， 如圖8，由△FGH∽△ENH可知FG = 4.? 設MD = MF = x，則MG = GN = x + 4，∴PM = 6，在Rt△PGM中，根據勾股定理列方程可以求出MD = [213] - 4.

綜上，MD的長為4或2[13] - 4.

點評：解涉及三等分點的問題時，一定注意要分類討論.

勤于積累

（1）折疊問題通常會產生以折痕為底的等腰三角形. 如圖9，△AEC是等腰三角形.

（2）解決問題時，要善于挖掘隱含條件，出現雙中點時可以使用中位線定理，實現位置關系與數量關系的雙遷移.

（3）關注方程思想，利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，根據題意選擇一條適當的線段設為x，根據折疊的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，然后運用勾股定理、三角函數、相似列出方程求解.

（4）在處理平面幾何的許多問題時，常需要借助于圓的性質，而我們需要的圓往往并不存在，這就需要利用已知條件，借助圖形把所需的圓找出來. 在解決折疊問題時，如果折痕是可變化的并且經過某個定點，那么折疊后關鍵點的位置也是可變的，此時就需要利用等線段畫圓，從而迅速確定好關鍵點的位置，作出正確圖形，進而求解.

專題精練

1. 如圖10，在Rt△ABC紙片中，∠ACB = 90°，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，使點B落到點E的位置，連接AE. 若AE[?]DC，∠B = α，則∠EAC等于（ ）.

A. α B. 90° - α

C. [12]α D. 90° - 2α

2.如圖11，正方形ABCD的邊長為3，E為BC邊上一點，BE = 1. 將正方形沿GF折疊，使點A恰好與點E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（ ）.

A. [210] B. [25] C. 6 D. 5

3. 如圖12，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 6，點M，N分別在AD，BC上，且AM = [13]AD，BN = [13]BC，E為直線BC上一動點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′E，當點C′恰好落在直線MN上時，CE的長為 .

參考答案：1. B 2.? D 3.? [52]或10

（作者單位：沈陽市第一三四中學）