構造微分方程組的線性哈密頓結構

吳 俊，章 海

（安慶師范大學 數理學院，安徽 安慶 246133）

在經典力學中，有限自由度的力學系統運動方程通常可以表示為拉格朗日量L=T-U的歐拉-拉格朗日方程，其中，T表示動能，U表示勢能。運動方程也可以用哈密頓方程形式表示，即={f,H}，其中，f是相空間上的任意不顯含時間的函數，{,}是泊松括號，H是系統的哈密頓量，常對應于系統的總能量，但也有反例[1-2]。哈密頓量通常可通過勒讓德變換從拉格朗日量獲得。一個給定的力學系統有無窮多個哈密頓量，它們不需要從拉格朗日量推導出。對于每一個選定的哈密頓量，都有無窮多個泊松括號使得哈密頓正則方程等價于系統的原始運動方程[3-5]。

本文展示了辛結構在構造微分方程的哈密頓結構中的應用，對于給定的守恒量可以當作哈密頓量，且通過求解辛結構滿足的充分必要方程可以得到適當的辛結構，進而可以構造出系統的一組正則變量，從而得到力學系統的新的哈密頓量。利用勒讓德變換得到系統拉格朗日量，從而把原始微分方程表示為變分問題的歐拉-拉格朗日方程。Torres del Castillo在哈密頓系統專著[6]中闡述了辛結構與哈密頓正則變換的密切關系，[7]研究了可積哈密頓系統辛積分算法的數值不變環面。

本文具體介紹了辛結構及其性質，揭示了辛結構和哈密頓函數之間的密切關系；同時考慮了四類具體的微分方程，在知道守恒量后尋找適配的辛結構和正則變量，從而得到系統的哈密頓表示和拉格朗日表示。此外，對于幾個可積系統，本文推導了額外守恒量在正則坐標下的表達式。

1 辛結構和哈密頓函數

自由度為n的系統可由廣義坐標q=(q1,q2,q3…,qn)和廣義動量p=(p1,p2,p3…,pn)來描述，這些變量的全體構成了系統的相空間{(q,p) }。通常相空間是位形空間M={q}的余切從T*M[6]。在T*M上坐標(q,p)下，β=dpi∧dqi為T*M上的一個辛形式，于是T*M具有一個辛結構，其中(T*M,β)為辛流形。正則變換保持相空間的辛形式不變[8-11]。在正則坐標下，哈密頓方程形式如

式中H為力學系統的哈密頓函數。如果（1）式右側不顯含時間，那么可以假設函數H不明顯地依賴于時間，則利用方程式（1）和求導的鏈式法可得=0，可見H是系統的一個守恒量。

類似地，對于任意可微函數f=f(qi,pi)，有

這里{ ·,· }是泊松括號。如果xμ(μ=1,2,3,…,2n)是相空間的任意坐標系，則兩個任意函數f和g的泊松括號表示如

泊松括號滿足Jacobi恒等式，即對于相空間上任意函數φ,ψ,χ，有

通過方程（2）和（3）可得

從方程（4）可以看出，τμν是一個反對稱矩陣，即τμν=-τνμ，必須服從非線性偏微分方程（5）。若取坐標為正則坐標(x1,x2,x3,…,x2n)=(q1,q2,q3,…qn,p1,p2,p3,…,pn)，則矩陣

為標準辛矩陣，其中I是n階單位矩陣，此時方程（5）也成立。另一方面，根據達布定理，如果τμν是一個滿足方程（5）的非奇異反對稱矩陣，則存在正則坐標使得τμν具有（7）的形式[12]。如果2n×2n矩陣(τμν)可逆，其逆矩陣(ωμν)也是一個反對稱可逆矩陣，則方程（5）等價于下列偏微分方程：

任何滿足這些條件的矩陣(ωμν)都是一個辛結構，則哈密頓方程等價于

在力學中，通常可以借助于勒讓德變換來實現由力學系統的拉格朗日量得到系統的哈密頓量。換一種觀點看，力學系統的一個守恒量可以當作哈密頓函數，再適當地定義泊松括號即辛結構，就可以得到系統的哈密頓表示。進一步可以構造系統在這種辛結構下的共軛正則變量，并用正則變量來表示系統的哈密頓量和拉格朗日量。

2 構造四維系統的線性哈密頓結構

2.1 中心力場中的粒子

考慮微分方程

其中，ε是任意常數，V(x)是任意可微函數。取相空間上的函數

其使用了演化方程（10）。通過觀察發現上述方程的一組特解為

上述常值解亦滿足條件（8）中的偏微分方程。此外，對于任意的ε值，由方程（13）給出的反對稱矩陣(ωμν)是非退化的，計算得到它的逆矩陣是

這意味著在原坐標下所有不為零的泊松括號是

從而也可以得到系統（10）的變分表示。通過勒讓德變換，系統（10）的拉格朗日函數是

將上述拉格朗日量代入歐拉-拉格朗日方程，即可得到方程（10）的等價運動方程。

2.2 坐標分離型系統

考慮運動方程（ε是任意常數）：

物理上這是雙擺系統的運動方程。取函數

通過觀察可以得到上述方程的一組特解：

其也滿足方程（8）中的偏微分方程。由方程（19）給出的反對稱矩陣(ωμν)是非退化矩陣，其逆矩陣是

可見在相空間坐標下所有不為零的泊松括號為

顯然(x,y,px,py)不是辛結構(ωμν)的正則坐標。可以驗證下述這組變量：

構成辛結構(ωμν)的正則坐標，其中Q1和P1，Q2和P2分別是兩對共軛變量。在正則坐標下哈密頓量（17）表示為H=-εP1P2-cos2πQ1-cos2πQ2。

通過勒讓德變換可推得相應的拉格朗日量，即

將L代入歐拉-拉格朗日方程，即可得到原方程（16）。

2.3 具有四次多項式勢能的系統

考慮下述帶有四個任意參數的微分方程組：

其中a，b，c，ε是任意參數。取函數

可驗證此函數H是方程的一個守恒量。同樣設(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py)，則方程（9）即為

通過觀察，可知上述方程有一組特解為

其自然滿足方程（8）。對于任意的ε值，反對稱矩陣(ωμν)非退化，其逆矩陣是

2.4 一個具有超越守恒量的可積系統

考慮方程（ε是任意常數）：

同樣記變量(x1,x2,x3,x4)=(x,y,px,py)，根據方程（9）可以得

上述方程有一組特解ω12=0，ω13=-，ω14=-，ω23=-，ω24=0，ω34=0，這組解也滿足方程（8）。反對稱矩陣(ωμν)非退化，其逆矩陣為

由此得到相空間坐標下不為零的泊松括號是{x,py}=2，{y,px}=3，{y,py}=-ε，顯然(x,y,px,py)不是辛結構(ωμν)的正則坐標，變量Q1=x，Q2=y，P1=構成一組正則坐標。利用它們可以將方程（26）的哈密頓量表達為

方程（26）的哈密頓量（27）屬于常規的動能加勢能類型，即自然型系統。此系統超可積，具有兩個額外守恒量，只能用拋物柱面函數來表示。對于方程[14]y″(x)+=0，兩個獨立標準解是朗斯基行列式W+(a,x)，W-(a,x)=W+(a,-x)，其中W+和W-的朗斯基行列式等于1，方程中的W′+表示對px的微分，E表示哈密頓函數H。它的兩個額外守恒量是

同樣可利用上述定義的辛結構的正則坐標來表示系統（26）的額外守恒量，即（28）和（29）的守恒量

3 結論

ROUBTSOV等[15]和HOLM[16]介紹了泊松結構和辛結構、矩映射、哈密頓作用，還討論了相空間約化和泊松-李結構，這些與可積系統都有密切聯系。給定一個n自由度的力學系統，至少存在(2n-1)個獨立的（局部）運動積分。本文對幾類運動方程尋找首次積分，適當定義相空間的辛結構，并得到系統的哈密頓量。然后通過勒讓德變換找到系統的拉格朗日量，本文方法構造系統的辛結構是關鍵，辛結構要滿足復雜的偏微分方程組（8）。這組方程的制約是研究工作的難點，也是今后進一步調查研究的一個方向。