一類模群到亞循環群的同態個數

王知真，郭繼東，b

(1.伊犁師范大學a.數學與統計學院；b.應用數學研究所，新疆伊寧 835000)

0 引言

在文獻[1]中，Frobenius 給出：設Cn為n階循環群，G是有限群，則Cn到有限群G的同態個數滿 足 | Hom(Cn，G)|≡0(m od (n，|G|))，其 中，(n，|G|)表示n與|G|的最大公因數.1993 年，T.Yoshida 在文獻[2]中推廣了Frobenius 定理，將循環群換成了有限交換群.同一年T.Asai 和T.Yoshida 在文獻[3]中提出了如下猜想：

對任意有限群A和B，均有

其中，A′是A的換位子群.

文獻[4—9]分別計算了二面體群D2n、擬二面體群QD2n、Sylowp-子群為循環群的10pn階非交換群G10pn、模群Mpm等群間的同態個數.對于pm階模群到2nq階亞循環群的同態個數目前未見相關文獻報道.本文具體計算這兩類群的同態個數，并驗證其滿足T.Asai 和T.Yoshida 猜想.

由文獻[4]知：稱Mpm為pm階的模群(p為素數，m≥3 為正整數)，如果

由文獻[8]知：稱Gn，2q為2nq階亞循環群(q為奇素數，n為正整數)，如果

本文中所考慮的Mpm和Gn，2q都是有限群，(u,v)表示整數u與v的最大公因數，[u,v]表示整數u與v的最小公倍數，φ表示Euler 函數.

1 預備知識

引理1設Mpm為pm階模群，則

證明任取，由換位子群的定義知

引理3設Gn，2q為2nq階亞循環群，則

證明因為ab=ba-1，所以有aib=ba-i，進而有

因此引理3 成立.

引理4[8]設Gn，2q為2nq階亞循環群，則

特別地，若j=q，則°(aibj)=2；若j≠q，則°(aibj)=2q.

引理5[10]設G和是兩個有限群，Hom(G,)是G到的所有群同態構成的集合.則任取g∈G和θ∈Hom(G,)，恒 有°(gθ)| °(g)，其中°(g)是g在G中的階，°(gθ)是gθ在中的階.

2 主要定理及其證明

定理2.1設p為素數且p=2，m≥3 為正整數，則

當2?n時，下面按4 種假設來證明：

假設2.1.1 設θ：M2m→Gn,2q(x→1,y→1)，則θ為群同態.

顯然，此時θ為平凡同態，所以此時群同態θ只有一種選擇.

假 設2.1.2 設θ：M2→mGn,2q(x→akbq,y→aibq)，其中0 ≤k,i

可得ai-k=ak-i，所以(ai-k)2=1，解得i=k.

故θ為群同態，所以此時群同態θ有n種選擇.

假設2.1.3 設θ：M2m→Gn,2q(x→1,y→aibq)（0 ≤i

證明與假設2.1.2 類似，此時群同態θ有n種選擇.

假設2.1.4 設θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→1)，其中0 ≤k

證明與假設2.1.2 類似，此時群同態θ有n種選擇.

當2|n時，也按下面4 種假設來證明：

假 設2.1.5設θ：M2m→Gn,2q(x→ak,y→ai)，其中0≤k,i

另一方面

從而

故θ為群同態.

假設2.1.6 設θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→aibq)（0 ≤k,i

另一方面

當t1≡0(mod 2)或s2≡0(mod 2)時，顯然

當t1≡1(mod 2)與s2≡1(mod 2)時，因 為(ai-k)2=1，所以

從而

故θ為群同態.

因 為yθ有2 種選擇，從而xθ有n種選擇.所以此時群同態θ有2n種選擇.

假設2.1.7 設θ：M2m→Gn,2q(x→ak,y→aibq)（0 ≤k,i

證明與假設2.1.6 類似，此時群同態θ有2n種選擇.

假設2.1.8設θ：M2m→Gn,2q(x→akbq,y→ai)（0 ≤k,i

證明與假設2.1.6 類似，此時群同態θ有2n種選擇.

定理2.2設p為奇素數且p=q，m≥3 為正整數，則

當q?n時，有如下假設：

假設2.2.1 設θ：Mqm→Gn,2q(x→bl,y→bj)（0 ≤l,j

故θ為群同態.所以此時群同態θ有q2種選擇.

當q|n時，有如下假設：

假 設2.2.2 設θ：Mqm→Gn,2q(x→akbl,y→aibj)（0≤k,i

另一方面

從而

故θ為群同態.

定理2.3設p為奇素數且p≠q，n≥3 為正整數，則

當p?n時，有°(xθ)|1，°(yθ)|1，由Gn,2q中 元素的性質可知

當p|n時，有°(xθ)|(pm-1,n)，°(yθ)|p，由Gn,2q中元素的性質可知

當p?n時，有如下假設：

假設2.3.1 設θ：Mpm→Gn,2q(x→1,y→1)，則θ為群同態.

顯然此時θ為平凡同態，所以此時群同態θ只有一種選擇.

當p|n時，有如下假設：

假 設2.3.2 設θ：Mpm→Gn,2q(x→ak,y→ai)（0 ≤k,i

故θ為群同態.

下面對定理2.1—2.3 的結論驗證T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.4設p為素數且p=2，m≥3 為正整數，則

證明由引理2 知 |M2m/M′2m|=2m-1，易知亞循環群|Gn,2q|=2nq.

由定理2.1 知，當2?n時，

即M2m到Gn,2q的同態個數滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.5設p為奇素數且p=q，m≥3 為正整數，則

證明由引理2 知 |Mqm/M′qm|=qm-1，易知亞循環群|Gn,2q|=2nq.

由定理2.2 知，當q?n時，

即Mqm到Gn,2q的同態個數滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.

定理2.6設p為奇素數且p≠q，m≥3 為正整數，則

由定理2.3 知，當p?n時，

當p|n時，

即Mpm到Gn,2q的同態個數滿足T.Asai &T.Yoshida 猜想.