基于時變AR 模型的MEMS 陀螺抗野值Kalman 濾波

管可可, 王懷野, 霍明磊

（北京航天飛騰裝備技術有限責任公司, 北京 100094）

0 引言

穩定平臺作為框架式導引頭的重要組成部分,其性能直接影響導引頭的制導精度［1］。 陀螺是控制穩定平臺和解算視線角速度的重要器件, 彈上常用的陀螺有撓性陀螺、 光纖陀螺、 激光陀螺、 微機械陀螺（Micro Electro Mechanical System, MEMS）等, 其中的MEMS 陀螺因成本低、 體積小、 質量小以及功耗低等優點被廣泛應用于低成本的小型框架式結構導引頭［2］。 圖1 為一款應用了MEMS陀螺的導引頭內部結構。

圖1 導引頭內部結構圖Fig.1 Internal structure diagram of the seeker

圖1導引頭伺服控制中的MEMS 陀螺作為速率穩定內環的反饋器件, 輸出數據直接影響整個導引頭系統的控制品質。 在實際應用過程中采用傳統PID 控制器時, 由于MEMS 陀螺輸出數據噪聲大, 如果不經過濾波, 微分項會使得控制量有明顯的隨機波動, 導致系統發散。 所以需要對導引頭穩定平臺的MEMS 陀螺數據進行濾波, 使其數據更加平穩, 且延遲必須要小。

針對MEMS 陀螺噪聲大、 濾波后有延遲等問題, 國內外許多學者對此進行了研究。 文獻［3］利用自回歸滑動平均模型對MEMS 陀螺誤差進行建模, 并利用Kalman 濾波對誤差進行補償, 但是建模前需要對MEMS 陀螺數據進行許多預處理。 文獻［4］ 利用隨機加權最小二乘算法有效抑制了MEMS 陀螺的噪聲, 但是系統延時不好。 文獻［5］通過對MEMS 陀螺數據建立時間序列ARMA 模型并采用多次Kalman 濾波對陀螺隨機漂移進行補償,MEMS 陀螺噪聲隨濾波次數增加而減少, 但是運算量會明顯加大。 文獻［6］利用Kalman 濾波對風速風向的MEMS 陀螺進行處理, 延時問題得到明顯改善, 但是濾波效果不如加權滑動均值濾波。 文獻［7］利用高階自回歸模型（Autoregressive, AR） 對陀螺隨機誤差進行建模, 但擴大濾波器維數可能會導致濾波不穩定甚至發散。 文獻［8］也利用Kalman 濾波對隨機誤差進行補償, 但是量測噪聲方差和系統噪聲方差均由簡單統計得到, 無法跟隨實際變化。

Kalman 濾波因其濾波效果好、 延遲低在工程中應用比較廣泛, 但Kalman 濾波的效果與其模型的精確度成正比關系［9］, 固定的AR 模型不僅需要經過大量預處理才能得到精確模型參數, 而且對于陀螺實時輸出數據的擬合度無法保證, 這無疑會降低Kalman 濾波的實時效果。 因此, 本文提出一種新的方法: 利用遺忘因子遞推最小二乘實時建立AR 模型, 并將這種時變的AR 模型應用到抗野值Kalman 濾波中, 通過與抗野值Kalman 濾波對比發現延時更小, 各項噪聲系數明顯降低。

1 遺忘因子遞推最小二乘與抗野值Kalman 濾波結合

Kalman 濾波的系統模型越精確, 濾波效果越好。 利用遺忘因子α對歷史數據進行加權, 使歷史數據的影響被減弱, 使新數據的權值增大, 遞推最小二乘遞推得到的AR 模型參數實時性更好,使模型參數能更好地反映信號的動態特征。 利用遺忘因子遞推最小二乘建立的時變AR 模型可以很好地解決因為抗野值Kalman 濾波系統模型不精確而導致的濾波效果降低問題, 同時加入了抗野值的Kalman 濾波又能降低野值對濾波結果的影響,使濾波效果再次提升。

1.1 基于遺忘因子遞推最小二乘的自回歸AR 模型參數實時更新

AR 模型一般采用最小二乘進行參數估計, 但最小二乘不僅運算量大, 而且無法用于在線辨識,無法實時給出MEMS 數據的AR 模型參數。 遞推最小二乘無矩陣運算, 能大幅減少計算量和存儲量,可實現在線辨識。 隨著參數的迭代, 辨識的結果也越來越精確。

式（1） ～式（5）中,α為遺忘因子, 一般取值范圍為［0.95, 1］;θk、θk+1、分別為遞推最小二乘第k次和第k+1 次迭代的系數解以及第k+1 個估計值;yk+1為第k+1 個觀測數據;hk+1為第k+1 次更新的觀測數據矩陣;Pk、Pk+1分別為第k次和第k+1 次系統協方差;Gk+1為第k+1 次迭代的增益矩陣;ek+1為方程誤差。 為了在工程上減少計算量, 故采用一階AR 模型。

1.2 自適應抗野值Kalman 濾波

MEMS 陀螺的輸出信號中含有較多的野值, 如果不采取措施去除這些野值, 將對Kalman 濾波效果造成不小的影響。 所以本文采用了一種自適應抗野值的Kalman 濾波, 這種方法能在Kalman 濾波的基礎上進一步對濾波增益和預測值進行修正,使濾波效果更好。

根據遺忘因子遞推最小二乘得到的時變AR 模型參數θk-1, 可以得到Kalman 濾波狀態方程的狀態轉移矩陣Φk,k-1

預測過程如下

更新過程如下

式（6） ～式（12）中,Xk,k-1為系統狀態向量tk-1時刻到tk時刻的一步預測值,Pk-1與Pk為tk-1、tk時刻系統均方誤差陣,Pk,k-1為tk-1時刻到tk時刻系統均方誤差陣的一步預測值,Kk為tk時刻的卡Kalman 濾波增益。

式（13）、 式（14）中,εk為tk時刻系統的最優估計值與實際觀測值的誤差, 序列ε為 {ε1,ε2, …,εk},E（ε）為序列ε的均值,Sk為序列ε的方差。 令, 其中的為前k時刻序列ε的標準差。

2 實驗結果與分析

導引頭所用的濾波器對延時和濾波效果要求比較高, 利用變幅值、 變周期的正弦波對時變AR模型的抗野值Kalman 濾波進行仿真測試, 可以分析濾波器的延時、 信噪比和濾波效果, 其仿真結果如圖2 所示。

圖2 仿真濾波前后對比Fig.2 Diagram of comparison before and after simulation filtering

圖2 的仿真測試是在真實數據基礎上加入信噪比為3dB 的零均值白噪聲來模擬陀螺輸出數據。Kalman 濾波雖然能濾掉大部分噪聲, 但是對野值濾波效果不好, 濾波后的曲線受野值影響較大;而時變AR 模型的抗野值Kalman 濾波不僅能有效降低野值干擾, 且延遲相對Kalman 濾波更小。

對MEMS 陀螺輸出的原始數據進行抗野值Kalman 濾波和時變AR 模型的抗野值Kalman 濾波,根據濾波后數據的均值方差以及Allan 方差的各項噪聲系數來對比濾波效果, 圖3 為濾波對比數據曲線。

圖3 MEMS 陀螺數據濾波前后對比Fig.3 Comparison of MEMS gyroscope data before and after filtering

由圖3 可知, 時變AR 模型的抗野值Kalman濾波輸出更穩定, 且對于野值的抗干擾性能更好。表1 為幾種方法濾波前后的均值和方差對比。

表1 中, 抗野值Kalman 濾波不會降低陀螺輸出均值, 而其方差降低了70.9%; 經過時變AR 模型的抗野值Kalman 濾波后, MEMS 陀螺輸出均值降低了83.0%, 方差降低了83.5%。 從數據上看,時變AR 模型抗野值Kalman 濾波更具有優勢。 Allan 方差對比結果如圖4 和表2 所示。

表1 濾波前后均值和方差對比Table 1 Comparison of means and variances before and after filtering

圖4 Allan 方差對比結果Fig.4 Comparison results of Allan variance

表2 濾波前后噪聲項對比Table 2 Comparison of noise terms before and after filtering

表2 中, 經過抗野值Kalman 濾波之后, 原始數據的隨機誤差得到了改善, 降低了50%以上;而時變AR 模型的抗野值Kalman 濾波效果更為明顯, 隨機誤差降低了90%以上。

將時變AR 模型的抗野值Kalman 濾波加入到導引頭伺服控制回路進行閉環實驗, 結果如圖5所示。

圖5 導引頭閉環測試Fig.5 Diagram of seeker closed-loop test

由圖5 可知, 在導引頭的閉環測試中, 導引頭能夠穩定控制框架角, 從而穩定跟蹤目標, 驗證了時變AR 抗野值Kalman 濾波延遲小、 能有效降低MEMS 陀螺噪聲等特點。

3 結論

為了減少MEMS 陀螺輸出的隨機誤差對導引頭伺服控制回路的影響, 本文提出了基于遺忘因子遞推最小二乘進行時變AR 模型建模并與抗野值Kalman 濾波相結合的方法, 不僅能減少因系統模型不精確造成的影響, 還能降低野值對導引頭伺服控制的干擾。 通過實驗可以得到, 經過時變AR模型抗野值Kalman 濾波, MEMS 陀螺數據的均值、方差降低了80%以上; Allan 方差的各個噪聲項均比原始數據降低了90%以上, 測試結果均優于抗野值Kalman 濾波。 時變AR 模型抗野值Kalman 濾波方法在導引頭伺服控制回路的閉環測試中效果良好, 具有很好的工程應用前景。