立體幾何中的典型易錯題剖析

■袁 華

立體幾何中的概念多、定理多,且圖形復雜,解題時需要有較強的空間想象能力,稍不注意,就會出錯。下面就解題中的典型易錯題進行舉例剖析。

易錯點1：在直線與平面平行中,忽視直線是否在平面內的情況

例1若直線l與平面α內的一條直線平行,則l和α的位置關系是( )。

A.l?αB.l//α

C.l?α或l//αD.l和α相交

錯解：應選A。

錯因分析：若平面外一條直線與平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。錯解忽視了“平面外”這個重要條件。題中的直線l與平面α內的一條直線平行,也可能l//α。

正解：直線l與平面α內的一條直線平行,當l?α時,由線面平行的判定定理知,l//α,也有可能l?α,這時l//α。應選C。

動手實戰1：下列結論錯誤的個數是( )。

①若一條直線和平面內的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行;②若直線a//平面α,P∈α,則過點P且平行于直線a的直線有無數條;③如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;④如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面。

A.0 B.1

C.3 D.2

提示：若一條直線和平面內的一條直線平行,當該直線也在平面內時,那么這條直線和這個平面不平行,①錯誤。若直線a//平面α,P∈α,則過點P且平行于直線a的直線只有一條,②錯誤。一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,當這兩條直線平行時,這兩個平面平行或相交,③錯誤。如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面,④正確。應選C。

易錯點2：錯誤認為無數等于所有

例2下列命題正確的是( )。

A.與平面內無數條直線垂直的直線與該平面垂直

B.過直線外一點可以作無數條直線與該直線平行

C.各面都是正三角形的四面體的外接球球心和內切球球心恰好重合

D.各面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐

錯解：應選A。

錯因分析：一條直線與平面內的無數條直線垂直,這里的“無數條直線”不等于“所有直線”。

正解：對于A,一條直線與平面內的任意直線垂直,則這條直線與平面垂直,而無數條直線可以是一組平行直線,A 不正確。對于B,由平行公理知,過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行,B 不正確。對于C,因為各面都是正三角形的四面體是正四面體,而正四面體的外接球球心和內切球球心重合,所以C 正確。對于D,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=CA=PA=2,PB=PC=3,顯然三棱錐P-ABC的側面都是等腰三角形,而三棱錐P-ABC不是正三棱錐,D 不正確。應選C。

動手實戰2：下列命題中正確的個數是( )。

①若直線a上有無數個點不在平面α內,則a//α;②若直線a//平面α,則直線a與平面α內的任意一條直線都平行;③若直線a//直線b,直線b//平面α,則直線a//平面α;④若直線a//平面α,則直線a與平面α內的任意一條直線都沒有公共點。

A.0 B.1

C.2 D.3

提示：對于①,若直線a上有無數個點不在平面α內,則直線a可能與平面α相交,也可能與平面α平行,①錯誤。對于②,當直線a//平面α時,直線a與平面α內的直線平行或異面,②錯誤。對于③,當直線a//直線b,直線b//平面α,則直線a//平面α,或直線a在平面α內,③錯誤。對于④,當直線a//平面α時,則直線a與平面α無公共點,所以直線a與平面α內的任意一條直線都沒有公共點,④正確。應選B。

易錯點3：忽視異面直線所成角的范圍

例3如圖1,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=120°,E為BB′的中點,則異面直線CE與C′A所成角的余弦值是( )。

圖1

錯解：直三棱柱ABC-A′B′C′向上方補形為直三棱柱ABC-A″B″C″,其中A′,B′,C′分別為各棱的中點,取B′B″的中點D′,可知CE//C′D′,則異面直線CE與C′A所成角即為C′D′與C′A所成角。

動手實戰3：如圖2,空間四邊形ABCD中,AB、BC、CD的中點分別是P、Q、R,且PQ=3,QR=5,PR=7,那么異面直線AC和BD所 成 的 角是( )。

圖2

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

感悟與提高

設α,β為兩個不同的平面,則α//β的充要條件是( )。

A.α內有無數條直線與β平行

B.α,β垂直于同一平面

C.α,β平行于同一條直線

D.α內的任何直線都與β平行

提示:α內有無數條直線與β平行,這時α與β可能相交,A 錯誤。α,β垂直于同一平面,這時α與β可能相交,B 錯誤。α,β平行于同一條直線,這時α與β可能相交,C 錯誤。若α內的任何直線都與β平行,則α//β,D 正確。應選D。