分數階憶阻器模型特性

文章編號：1673-5862（2023）05-0459-05

摘"""要：由于憶阻器具有對電變量的記憶特性，所以在工業領域有著廣泛的應用前景。但是，它的機理和特性較為復雜，現今還沒有得到廣泛認同的數學模型，因而急需為其建立精確的數學模型，從而實現工業應用和商業化。基于憶阻器的數學定義，結合分數階理論知識，為其建立精確的分數階數學模型。通過對建立模型的時域和頻域的分析，得到憶阻器模型的工作性能和特點：在時域內，電壓和電流的旁瓣面積隨著數學模型的階次變化而變化;在頻域內，模型的幅值隨頻率的升高而下降，相位變化相對較小。研究為進一步研究憶阻器的特點夯實了基礎。

關"鍵"詞：憶阻器; 數學模型; 分數階; 時域; 頻域

中圖分類號：TP29""""文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673-5862.2023.05.014

Characteristics of fractional-order memristor model

CHEN Lanfeng， LYU Yan， SHEN Hai， LI Liu

（College of Physical Science and Technology， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：The memristor has a wide application prospect in many industrial fields because of its memory characteristics of electrical variables. Due to its complex mechanism and characteristics， there is no widely recognized mathematical model. Therefore， it is urgent to establish an accurate mathematical model for it to realize industrialization and commercialization. Based on the mathematical definition of memristor and combined with fractional-order theory， an accurate fractional-order mathematical model was established for it in this paper. By analyzing the time and frequency domain of this model， the working performance and characteristics of memristor model are obtained. In the time domain， the side lobe area of voltage and current change with the order of mathematical model. In the frequency domain， the amplitude of model decreases with the increase of frequency， and the phase change is relatively small. So， it lays a good foundation for further research on the characteristics of memristors.

Key words：memristors; mathematical model; fractional-order; time domain; frequency domain

1971年，研究人員^［1］從電路變量和電路元件的公理完備性、邏輯相容性及形式對稱性角度考慮，提出了迷失電路元件，即憶阻元，它是一種表征電荷和磁通關系的非線性無源二端口元件^［2］，改變了人們對傳統電路的認知。2008年，該元件模型由HP實驗室研究人員基于一階線性常微分方程制造^［3］。自無源憶阻器問世以來，人們對與該元件相關的應用領域產生了極大的興趣，提出了許多新項目^［4］。

憶阻器的數學模型分為整數階模型和分數階模型兩大類。在現階段的研究中，整數階模型分為數學模型和電路模型，而分數階模型僅有數學模型的研究成果^［5］。在整數階模型研究上，Biolek等^［6］提出了一類被稱為SPICE的憶阻器整數階模型，該模型能夠較好地模擬憶阻器的特性，為具有記憶的元件建模提供了一種較為新穎的研究方法與思路。在分數階憶阻器模型研究中，Petras等^［7］探究了建立憶阻器分數階模型的建模方法，提出用分數階微積分來描述憶阻器。Fouda等^［8-9］基于對憶阻器分數階模型的狀態方程得到了憶阻器分數階模型的組織表達形式，分析了憶阻器分數階模型的響應特性，但是沒有指出哪種窗函數對憶阻器分數階建模最為適用。

為了研究憶阻器分數階模型的建立方法，本文提出一種具有非線性窗函數的荷控憶阻器分數階模型，分析了該模型在激勵的作用下產生的時域響應，說明可以基于改變模型參數來實現該系統記憶性的改變，并分析了憶阻器的頻域響應，為實現對其精準的控制打下了良好的基礎。

1"分數階微積分

自然界的許多現象依靠現有的傳統微分方程不能精確描述。分數階微分方程是擴展傳統微積分學的一種最直接的方式，即允許微分方程中對函數的求導階次選擇為非整數，而不僅是現有的整數^［10］。隨著分數階微積分理論的不斷推進，其被廣泛地應用于如神經網絡、求解微分方程、量子力學、衍射理論、光學系統處理及雷達、通信、聲吶等領域，成為跨學科的研究方向^［11］。

常見的分數算子的定義有Riemann-Liouville（R-L）定義、Caputo定義和Grunwald-Letnikov（G-L）定義。Riemann-Liouville左右的分數導數定義如下^［12］：

Riemann-Liouville左邊的分數導數：

2"憶阻器理論基礎

圖1所示的憶阻器物理模型由2層薄膜（尺寸D≈10nm）的TiO₂組成，夾在鉑觸點之間^［13］。其中一層摻雜有氧空穴，因而其表現為半導體。第2個未摻雜區域具有絕緣特性。

作為復雜材料工藝的結果，摻雜區的寬度w取決于通過憶阻器而被調制的電荷量。當電流沿給定方向流動時，2個區域之間的邊界沿相同方向移動。

憶阻器的總電阻R_MEM是摻雜區和未摻雜區的電阻之和，w是摻雜區的寬度，參考TiO₂層的總長度D，R_OFF和R_ON是w＝0和w＝D時憶阻器電阻的極限值。2個電阻的比值通常為10²～10³。

歐姆定律指出

v（t）=R_MEM（q，x，t）i（t）（6）

其中，x表示憶阻器的狀態變量，其物理上表示摻雜區域的長度與憶阻器D的總長度之間的比率。此外，R_ON和R_OFF分別表示憶阻器的最小電阻和最大電阻。其狀態方程由下式給出：

可見，憶阻器的阻值與參數α，n，i有關。

4"分數階憶阻器特性

4.1"時域特性

基于以上分析的分數階憶阻器模型，結合應用某商業軟件的函數^［15］，首先研究時間域內的電流、憶阻器阻值、電壓隨時間的變化情況（圖2）。其中的電流變量為正弦量，取值為i（t）=Isin（2πft）（mA）。這里的參數I=0.1，f=1Hz，則i（t）=0.1sin（2πt）（mA）。在計算R_MEM時，參數選擇為R_d=R_ON-R_OFF，R_ON=100Ω，R_OFF=38kΩ，n=1，x₀=0.5，D=10nm，μ_v=10^-10cm²·s^-1·V^-1。

其次，當荷控分數階憶阻器模型的階次變化時，對憶阻器的時域影響進行了研究。階次α的取值范圍是0.1∶0.1∶1，電流與電壓的變化曲線如圖3所示。可見，電壓與電流波形、旁瓣面積隨著微積分階次的變化而改變。

荷控分數階憶阻器在正弦信號激勵下的阻值隨時間的變化情況如圖4所示，可見其阻值也是隨時間趨近于正弦的，并且摻雜一定的直流信號，存在記憶性質。

4.2"頻域特性

荷控分數階憶阻器頻域響應如圖5所示。其中的參數選擇如下，α=0.8，x₀=0.5。其它參數選擇同上。由幅頻特性曲線和相頻特性曲線可知，隨著頻率的升高，憶阻器模型的阻值幅度在減小，而相位特性變化較小，且在高頻段相位基本不變。基于以上對憶阻器模型頻率特性的分析，可以為憶阻器的進一步研究提供指導。

5"結""語

本文基于憶阻器的數學理論研究分析了其工作原理，得到了憶阻器阻值模型的數學表達式。主要針對分數階憶阻器模型的表達式進行了研究，分析了其時域特性和頻域特性。在時域內，分析了數學模型的階次對阻值及其響應電流和電壓的影響及變化規律。在頻域內，得到了憶阻器模型的響應圖，分析了各個頻率段內幅值和相位的變化規律。本文為深入了解憶阻器性能提供了研究基礎。

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收稿日期：2023-02-04

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61174175）。

作者簡介：陳嵐峰（1979—），男，遼寧沈陽人，沈陽師范大學講師，博士。