一個部分退化反應擴散霍亂模型的閾值動力學

摘要： 針對人的擴散、 空間異質性和處于靜態水源環境中不同濃度的弧菌對霍亂傳播的影響， 建立一個部分退化的反應擴散霍亂模型. 先定義模型的基本再生數R0， 表明R0-1的符號決定模型的全局閾值動力學; 然后通過數值模擬實驗討論模型關鍵參數對R0的影響， 結果表明適度的城市化有利于對疾病的控制.

關鍵詞： 霍亂弧菌; 空間異質性; 基本再生數; 全局閾值動力學

中圖分類號：" O29 文獻標志碼： A 文章編號： 1671－5489（2023）04－0831－09

Threshold Dynamics of a Partially DegeneratedReaction－Diffusion Cholera Model

HE Jie， CHU Huijie

（School of Mathematics and Statistics， Xidian University， Xi’an 710126， China）

Abstract： In order to study the effects of human to human diffusion， spatial heterogeneity and different concentrations of Vibrio in static water source environment on cholera transmission， we established" a partially degenerated reaction－diffusion cholera model. Firstly， we defined the basic reproduction number R0 of the model. Secondly， the global threshold dynamics of the model was determined by the sign of R0-1. Finally， we discussed" the effects of key model parameters on R0 through numerical simulation experiments. The results show that moderate urbanization is beneficial to disease control.

Keywords： vibrio cholerae; spatial heterogeneity; basic reproduction number; global threshold dynamics

霍亂是由霍亂弧菌引起的細菌性疾病， 屬于急性腸道傳染病， 易導致水樣腹瀉、 嘔吐、 肌肉痙攣等癥狀， 大規模的霍亂疫情嚴重威脅人類的健康［1－5］. 霍亂是一種水媒傳染病， 通常有兩種傳播途徑： 由被霍亂弧菌污染的水或食物通過口及消化道傳播， 稱為間接傳播; 通過人與人之間的接觸傳播， 稱為直接傳播. 基于這兩種傳播途徑， 目前已建立了很多關于霍亂傳播的模型［6－9］. 這些工作主要基于SIB（這里S表示易感者， I表示染病者， B為水中的霍亂弧菌）的倉室模型對其進行定性和定量的研究， 對理解霍亂的傳播機制及其預防和控制具有積極作用.

實驗表明， 存在于宿主之外的霍亂弧菌的傳染性會隨著時間的推移而衰減. 通常通過胃腸道在受感染的人類宿主身上新產生的弧菌可以存活數小時， 此時具有高度毒性和傳染性， 稱為霍亂弧菌的短期高傳染性（short－lived hyperinfectious）狀態［3，10］， 而在環境中生長的霍亂弧菌稱為低傳染性霍亂弧菌（lower－infectious vibrio cholerae）. Hartley等［10］研究表明， 在模型中引入具有高傳染性的霍亂弧菌可更好地擬合觀察到霍亂流行的模式. 因此， 在建模時有必要將霍亂弧菌從高傳染性到低傳染性的演變規律融入到模型中.

受文獻［11－12］的啟發， 本文討論一個部分退化反應擴散霍亂模型的動力學性態， 這里的“退化”在數學模型中是指： 霍亂弧菌的擴散系數為0. 本文首先構建模型及其適定性， 通過定義模型的基本再生數R0， 表明R0-1的符號決定模型的全局閾值動力學， 即當R0≤1時， 疾病消除; 當R0gt;1時， 模型有一全局漸近穩定的正穩態解， 疾病一致持續. 最后， 通過數值模擬實驗探討模型參數對R0的影響.

其次， 基于文獻［16］中的模擬思路， 分兩種情形討論R0與擴散系數D的關系.

情形1） 不依賴于擴散的傳染率. 取β1（x）=0.23×Λ（x）×（1+sin（πx））， β2（x）=0.4×β1（x）." 利用文獻［23］中引理2.5和注3.2給出的R0計算策略， 繪制R0隨D的變化曲線， 如圖3所示. 由圖3可見， R0關于D單調遞減. 特別地， 當D∈（0，0.2］時， R0隨D的改變急劇下降; 當D∈（0.2，1］時， R0的變化較平緩， 波動不大. 注意到感染者擴散主要是為了尋找醫療資源進行治療. 因此當疫情開始時， 醫療資源較充足， 及時對感染者治療將快速降低疾病的傳播. 但隨著疫情的延續， 感染者的快速擴散可能會導致醫療資源的擠兌， 因此擴散對R0的影響較小. 所以在霍亂傳播早期， 可通過增加醫療投入對患病者給與充分的治療， 進而降低霍亂疫情的傳播.

情形2） 依賴于擴散的傳染率. 取β1（x，D）=×Λ（x）×（1+sin（πx））×D／（0.01+D）， 這里為基本傳染率. 圖4給出了R0關于擴散系數D的變化趨勢， 它依賴于的大小. 當=0.01時， R0關于D單調遞減（見圖4（A））; 當=0.1時， R0關于D是非單調的（見圖4（B））; 當=1.1， R0關于D單調遞增（見圖4（C））. 表明R0與擴散系數D的關系與文獻［24］中單調遞減的結論不同，" 它依賴于模型中參數的選擇. 此外， 由圖4（A）～（C）可見， 對于固定的擴散率，" 越大， R0越大. 因此， 當霍亂疫情暴發時， 可通過減少與不潔水源的接觸、 注意個人衛生等措施降低被水源中霍亂弧菌感染的風險.

為探討空間異質性對霍亂傳播的影響， 令Λ（x）=100（1.1-σcos（2x））， 這里σ由0變化到1表示由于城市化進程， 越來越多的人離開農村來到城市［25］. 其他參數的選取除D=0.2外， 可參見式（7）和情形1）. 圖5為R0與σ和ξ的關系曲線. 由圖5（A）可見， 隨著σ的增加， R0先遞減后遞增， 表明適度的城市化會降低霍亂傳播的風險， 但過度的城市化反而會加速疾病的傳播.

最后討論高傳染性霍亂弧菌的衰退率ξ 對R0的影響. 各參數的取值參見式（7）和情形1）. 由圖5（B）可見， R0關于ξ單調遞減， 即隨著高傳染性弧菌濃度的衰退， 霍亂傳播的風險將逐步降低.

綜上所述， 本文考慮了人及人的擴散、 不同傳染性的霍亂弧菌和空間異質性對霍亂傳播的影響， 通過假設水源靜止， 建立了一個部分退化反應的擴散霍亂模型. 首先定義了模型的基本再生數R0， 并討論了模型關于R0 的全局閾值動力學. 其次， 在理論上證明了R0是決定疾病消除或一致持續的閾值. 即當R0≤1時， 無病平衡點是全局漸近穩定的; 當R0gt;1時， 系統（1）有唯一全局漸近穩定的正穩態解. 最后， 數值實驗證了理論結果， 并進一步研究了模型中關鍵參數對R0 的影響， 結果表明： 人口密度分布的非均勻性和城市化都會影響疾病的傳播； R0關于擴散系數D是非單調性的.

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（責任編輯： 李 琦）

收稿日期： 2022－09－15.

第一作者簡介： 何 杰（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事生物數學與應用動力系統的研究， E－mail： hj1416500720@163.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 11971369）.