從三個(gè)視角看冪的運(yùn)算

文／王憲成

“冪的運(yùn)算”是蘇科版數(shù)學(xué)七（下）第8 章的內(nèi)容。在此之前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“有理數(shù)”，知道了有理數(shù)的乘方運(yùn)算的結(jié)果叫冪，還認(rèn)識(shí)了冪的底數(shù)、指數(shù)、讀法、性質(zhì)，科學(xué)記數(shù)法，有理數(shù)的混合運(yùn)算等。同學(xué)們，你們有沒有思考過如下問題，比如冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果，也是一個(gè)數(shù)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算嗎？?jī)绲闹笖?shù)只能是正整數(shù)嗎？等等。看來，我們有必要全面地認(rèn)識(shí)本章內(nèi)容，并站在前后知識(shí)聯(lián)系、發(fā)展的角度來深入學(xué)習(xí)。

一、從數(shù)的運(yùn)算視角看冪的運(yùn)算

經(jīng)歷過小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們知道了，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算。在七年級(jí)上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了“有理數(shù)”。求相同因數(shù)積的運(yùn)算叫作乘方，冪是乘方運(yùn)算的結(jié)果，也是一個(gè)數(shù)，自然有同學(xué)會(huì)問：乘方的結(jié)果“冪”，可以繼續(xù)進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算嗎？這是從數(shù)學(xué)內(nèi)部角度進(jìn)行的思考，值得重視。

同學(xué)們可以展開討論，如24×23、（24）3、（2×3）3、24÷23、23÷24如何運(yùn)算？我們從乘方運(yùn)算的視角不難理解上述運(yùn)算。可是為什么要重點(diǎn)研究同底數(shù)冪的運(yùn)算呢？經(jīng)歷過不同底數(shù)冪的運(yùn)算之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，同底數(shù)冪的運(yùn)算更具有一般規(guī)律性，更便于表達(dá)，所以更有研究的價(jià)值。

從生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系中，我們也能感受到研究?jī)绲倪\(yùn)算的必要性。本章的章頭圖里有這樣幾個(gè)問題，光在真空中的速度約是3×108m/s，光在真空中穿行一年的距離稱為1 光年，請(qǐng)你算算：（1）一光年約是多少千米（1 年以3×107s 計(jì)算）？（2）銀河系的直徑達(dá)10 萬光年，約是多少千米？（3）如果一架飛機(jī)的飛行速度為1000km/h，那么光的速度是這架飛機(jī)速度的多少倍？帶著這些問題，我們將學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法、除法以及冪的乘方和積的乘方。

二、從數(shù)到式的發(fā)展視角看冪的運(yùn)算

同學(xué)們已經(jīng)知道，同底數(shù)冪的乘、除、乘方等運(yùn)算更容易開展研究。那么，仍然以24×23、（24）3、（2×3）3、24÷23、23÷24這些冪的運(yùn)算為例，我們能否將其進(jìn)行一般化歸納呢？從特殊到一般，歸納表達(dá)一般性，這是我們常見的研究路徑，也應(yīng)該成為同學(xué)們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。于是，用字母表示數(shù)就自然產(chǎn)生了。從數(shù)到式的發(fā)展，合情合理，自然發(fā)生。同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法法則就出現(xiàn)了。基于乘方的意義，推理法則的形成過程，可以發(fā)展同學(xué)們的代數(shù)推理能力。

從整式的運(yùn)算視角來看，我們?cè)谡郊訙p的基礎(chǔ)上，又有了新的研究方向，即整式乘法如何運(yùn)算。如a4b3·ab2、a4b3·（ab2-a2b）、（a+b）·（ab2+a2b）……這就有了“整式乘法與因式分解”的研究?jī)?nèi)容。這樣，后續(xù)的學(xué)習(xí)就有了“根”。

三、從指數(shù)的變化視角看冪的運(yùn)算

冪的指數(shù)難道就只能是正整數(shù)嗎？顯然不是。那么，負(fù)整數(shù)、零、分?jǐn)?shù)都可以嗎？有時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要我們大膽地提出問題，大膽猜想，細(xì)心分析問題。

計(jì)算24÷23、23÷23、23÷24時(shí)，我們就可以思考一個(gè)問題：對(duì)于同底數(shù)冪的除法法則（am÷an=am-n），正整數(shù)m、n有什么限制？24÷23=24-3=21，23÷23=1=23-3=20，23÷24=23-4=2-1，這樣書寫計(jì)算過程是否合理？結(jié)合數(shù)軸，我們經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證，20=1，2-1=，于是，可以理解上述計(jì)算過程的合理性。

我們?cè)賮砜戳硪粋€(gè)生活情境，1 個(gè)細(xì)胞分裂1 次變?yōu)? 個(gè)，分裂2 次變?yōu)? 個(gè)……分裂后的細(xì)胞個(gè)數(shù)與分裂次數(shù)的關(guān)系可以寫成2=21，4=22，8=23，16=24……那么，當(dāng)細(xì)胞沒有分裂（即分裂次數(shù)為0）時(shí)，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是幾？

于是，冪的指數(shù)進(jìn)行了數(shù)的擴(kuò)充，更加豐富了同學(xué)們對(duì)冪的認(rèn)識(shí)。指數(shù)可以是正整數(shù)、0 和負(fù)整數(shù)。有的同學(xué)會(huì)進(jìn)一步大膽思考：指數(shù)有沒有可能是分?jǐn)?shù)呢？任意有理數(shù)呢？任意無理數(shù)呢？等等。隨著同學(xué)們的不斷追問，數(shù)學(xué)就這樣自然“生長”起來了。