一道函數題的衍生與延展

文／姜鴻雁

再復雜的問題都是由簡單的、基本的問題演變而來的。同學們只要立足基本知識和基本技能，把握基本數學思想，注意積累基本活動經驗，便可以“以不變應萬變”，下面以一個例子來說明。

【題根】在平面直角坐標系xOy中，有A（2，-3）、B（-1，0）、C（0，-3），分析并解決下面的系列問題。

一、三個定點完成“基本框架”

【要求1】提一個關于反比例函數的問題，并解決它。

【問題1】求過點A的反比例函數表達式。

【解析】反比例函數圖像與坐標軸沒有公共點，只能通過點A提相關問題。運用待定系數法，可得反比例函數的表達式為y1=-（為了后續研究的方便，記作函數“y1”）。

【要求2】運用其中兩個點提出關于一次函數的問題，并解決它。

【問題2】求過A、B兩點的一次函數表達式。

【解析】根據一次函數的概念，可以選擇點A和點B或點B和點C，我們這里選擇求過點A和點B的一次函數表達式。運用待定系數法，不難求得y2=-x-1。

【問題3】結合問題1、2的結論，試寫出當y1＜y2時自變量x的取值范圍。

【解析】聯立兩個函數表達式，求出兩個函數圖像的另一個公共點坐標為（-3，2），結合函數圖像的相對位置（如圖1），可得當x＜-3或0＜x＜2時，y1＜y2。

圖1

【說明】同學們在問題2 中，如果選擇過點B、C的一次函數表達式，除了可以提出類似的問題3，還可以提出與面積有關的問題，試試看吧！

【要求3】根據A、B、C三個點的坐標，提出一個關于二次函數的問題，解決之后，說說你對這個二次函數及其圖像的認識。

【問題4】求過A、B、C三點的二次函數表達式，并說明該二次函數的圖像及性質。

【解析】我們可以設一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數，a≠0），代入三個點的坐標，解關于a、b、c的方程組，即可求得函數表達式。仔細觀察三個點的坐標特征，由A（2，-3）、C（0，-3）不難發現，此二次函數圖像的對稱軸是直線x=1，所以可以設頂點式：y=a（x-1）2+k，將點B、點C坐標代入即求得a=1，k=-4，所以二次函數的表達式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。如圖2，二次函數圖像開口方向向上，頂點坐標為（1，-4），對稱軸是直線x=1。當x＜1 時，函數值y隨自變量x的增大而減小；x＞1 時，函數值y隨自變量x的增大而增大；當x=1時，函數y有最小值為-4。進一步觀察圖像，我們還發現，方程x2-2x-3=0 的兩個根分別為x1=-1，x2=3；當-1＜x＜3 時，y＜0，當x＞3或x＜-1時，y＞0；等等。

圖2

【歸納】待定系數法是求函數表達式最基本、最重要的方法。求二次函數的表達式時，根據已知條件，選擇最合適的表達形式，可以達到事半功倍的效果。利用函數圖像分析函數的性質以及函數與函數、函數與方程、函數與不等式等之間的關系，可以讓這些相對抽象的數量關系在函數圖像的表征下，變得直觀而又具象。

二、一個動點猶如“源頭活水”

如圖3，若問題4 中的二次函數y=x2-2x-3與x軸的另一個公共點為點D，設點M是第四象限圖像上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線CD于點N，連接DM、CM。

圖3

【要求4】在點M的運動過程中，圖3中有哪些量隨之發生變化，由此，能提出什么問題并解決它？

【問題5】線段MN的長隨M點位置的變化而變化，求它的最大值。

【解析】揭示MN的長與點M位置之間的變化規律是解決問題的根本。首先，不難求得直線CD的函數表達式為y=x-3；其次，設點M（m，m2-2m-3），則點N（m，m-3），得MN=-m2+3m（0＜m＜3）。MN的長與m之間是二次函數關系，配方，得，當m=時，MN取最大值，最大值為。

【問題6】△DMC的面積隨M點運動變化而變化，求△DMC面積的最大值。

【變式1】以MN為直徑的圓與CD相交于點P，求弦NP的最大值。

圖4

【變式2】如圖5，連接BM，交直線CD于點Q，求的最大值。

圖5

【解析】因為△CQM與△CQB同高，所以。在平面直角坐標系中，常常將不平行或不垂直于坐標軸的線段向平行或垂直于坐標軸的方向轉化（不妨稱為“化斜為直”）。點B、直線CD分別為確定的點、確定的直線，則過點B作y軸的平行線交直線CD于G（如圖6），不難有BG=4。易證△QNM∽△QGB，則，所以當MN取

圖6

【歸納】點M位置的變化，導致線段MN的長、△DMC的面積、弦NP的長、等的變化，由此可以分別建立點M的橫坐標與這些量之間的二次函數關系，這就是建模的過程。隨著解決問題的深入，結合相似三角形、三角函數等知識，我們不難發現，當MN取最大值時，相關的量隨之取得最大值，這是化陌生為熟悉的過程，更是“會一題、通一片”的狀態。

掌握扎實的基本知識（待定系數法求函數表達式、相似三角形、三角形函數等）和過硬的基本技能（識圖、構造、運算等），靈活運用基本思想（建模、數形結合、轉化等），注意積累基本經驗（求MN的最大值的基本活動經驗是本題系列變式的基礎）是我們學好數學的強大后盾。同學們，本題還可以提出若干問題，去試試吧！