一題多變 拓展創新

文／王涵

在函數圖像中求面積問題，因其綜合性強，涉及的知識點多，常常出現在中考壓軸題中。下面對一道基礎題進行變式、拓展，希望同學們能從中體會到基本數學思想的靈活運用。

【例題呈現】如圖1，一次函數y=2x-2 的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求此圖像與坐標軸圍成圖形的面積。

圖1

圖2

【解析】一次函數的圖像與坐標軸圍成的是直角三角形，求得兩條直角邊長即可。由題意得A（1，0）、B（0，-2），易得

【變式一】如圖2，一次函數y=2x-2 的圖像與反比例函數y=的圖像交于C、D兩點（C在D右側），與y軸交于點B，求△COD的面積。

【解析】聯立兩個函數表達式，可得交點坐標C（3，4）、D（-2，-6），OB=2，則S△COD=。通過本題，同學們要能體悟到，在平面直角坐標系下，常常將不平行或不垂直于坐標軸的線段向平行或垂直于坐標軸方向轉化，即“化斜為直”。

【拓展一】點A（m，6m）、B（3m，2n）、C（-3m，-2n）在函數（k≠0）圖像上。若S△ABC=2，則k=________。

圖3

【變式二】如圖4，一次函數y=2x-2 的圖像與二次函數y=2x2-4x-10 的圖像交于E、F兩點（E在F右側），點E、F下方的二次函數圖像上有一個動點P，求△EFP的面積最大值。

圖4

圖5

【解析】不難發現這與“變式一”有相似之處。首先，聯立兩個函數表達式，得到E（4，6），F（-1，-4），過點P作x軸的垂線交EF于點M（如圖5）。因為P為動點，那么△EFP的面積隨著點P的位置的變化而變化，可以建立△EFP的面積與點P的橫坐標之間的二次函數模型。設P（m，2m2-4m-10），則M（m，2m-2），PM=-2m2+6m+8，所以S△EFP=S△MPE+。當時，S△ABE的最大值為。

【拓展二】如圖6，二次函數的圖像與x軸交于點A和點B（5，0），D（1，3）為頂點，在該圖像上是否存在點G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？

圖6

圖7