等腰三角形常見解題誤區

文／安娜

等腰三角形是特殊的三角形，它有很多特有的性質。在解決與等腰三角形有關的問題時，我們常會遇到需要分類討論的情況，現歸納幾類，希望對大家的學習有所幫助。

一、遇腰和底邊（頂角和底角）

例1已知等腰三角形的兩邊長分別為3和5，則三角形的周長為________。

【錯解】三邊長分別為3、3、5，周長為11。

【分析】對于長為3 的邊長，要分腰和底兩種情況討論，同時注意驗證三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊。

【正解】當腰長是3 時，三邊長為3、3、5，周長為11；當底長是3時，三邊長為5、5、3，周長為13。綜上，周長為11或13。

類似的，在遇到求等腰三角形中角的相關問題時，如果沒有說明已知角是頂角還是底角，我們也需要分類討論。

二、遇中線分周長

例2已知等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為12cm 和15cm 兩部分，求它的底邊長。

【錯解】如圖1，設AD=x，則AC=AB=2x，AB+AD=12，BC+CD=15，即3x=12，x=4。又BC+x=15，所以BC=11，即三角形的底邊長為11cm。

【分析】等腰三角形一腰上的中線把它的周長分為兩部分，即AB+AD和BC+CD，那么AB+AD的長度應該分12cm 和15cm 兩種情況討論。

【正解】如圖1，當AB+AD=12，BC+CD=15時，3x=12，x=4，∴BC=11；當AB+AD=15，BC+CD=12 時，3x=15，x=5，∴BC=7。綜上所述，三角形的底邊長為11cm或7cm。

圖1

三、遇腰上垂線

例3等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個等腰三角形的頂角的度數。

【錯解】頂角的度數為45°。

【分析】等腰三角形分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況。

【正解】當等腰三角形為銳角三角形時，一腰上的高在三角形內，此時頂角的度數為45°；當等腰三角形為鈍角三角形時，一腰上的高在三角形外，此時頂角的度數為135°。綜上所述，等腰三角形頂角的度數為45°或135°。