一種基于場景的隨機模型預測飛行策略

黃 福 全

(北京飛機維修工程有限公司 四川 成都 610200)

0 引 言

隨著科技發展,航空運輸成為一種廣泛熱門的交通服務,在現代世界中起著十分重要的作用,它可以讓人和商品快捷地到達遙遠的目的地,提高了工作效率和降低時間成本。因此,航空運輸已成為促進人民和社會之間經濟和文化交流的重要手段。

為了確保飛機運作安全和工作效率,已開發了空中交通管理系統[1]。它們的目標是在提高成本效益的情況下,以管理和增加空域容量,并保證安全要求,預測和避免飛機飛行距離過近而發生的沖突。傳統的空中交通管理系統結構嚴格:主要基于飛機必須遵循預定航線。空中交通預計將在未來幾十年迅速增長,這種增長可能導致嚴格空中交通管理系統中航線飽和,且造成擁擠和延誤。為了應付不斷增加的空中交通,需要有新的方法來有效地利用空域,以確保飛機更有效率和更安全地飛行。

文獻[2-3]提出的解決方案是基于4-D軌跡和目標窗口(目標窗口表示在給定的時間間隔內飛機需要通過三維空間的二維區域(通常是一個矩形)的4-D軌跡的約束條件)的方法。在SESAR[2]和CATS[3]項目中,航空公司、機場、航空導航服務供應商的新空中交通管理系統的關鍵技術是使用目標窗口。使用目標窗口將更有效地利用空域,提高飛機軌跡的可預測性,提高安全性和空域容量。

每架飛機都將被分配一系列的目標窗口,目標窗口的設計有兩個目標:更好地利用空域容量和避免沖突。然而,目標窗口的應對并不簡單,因為目標窗口在時空域中對飛機運動施加了約束,同時明確地考慮到飛機速度和加速度的物理限制,以及與乘客舒適度相關的其他約束。此外,飛機運動受到不確定性的影響,特別是風的存在,這導致飛機軌跡的不可預測性[4-6]。

本文的主要目標是開發一種運動控制方法能夠引導飛機盡可能地接近參考軌道,實際飛行軌跡也能滿足目標窗口的要求。

由于模型預測控制(Model Predictive Control,MPC)方法能夠處理輸入和狀態變量約束,因此已有文獻采用MPC方法在不受風擾動影響的情況下進行控制設計[7-8]。每個采樣時刻,MPC在滿足飛機的物理限制和乘客舒適度要求下最小化有限視界成本,以加強軌跡跟蹤。所獲得的控制作用僅應用于當前時刻,并在每個采樣時間重復該過程。

在構造有限時域約束優化問題時,實現可計算性和可解性的一個關鍵問題是將原問題轉化為凸優化問題。因此,需要針對飛機動力學模型為非線性的情況,采用反饋線性化的方法,得到一個具有新的輸入變量和狀態變量的線性模型,使其動力學特性與原模型完全匹配。然后將得到的線性模型進行離散化處理,從而嵌入到MPC控制器中。使用反饋線性化方法已經在文獻[9-10]中被采用,而文獻[10]從一般的角度討論這一問題,其貢獻是應用這種方法來解決一個飛機飛行控制問題。

目標窗口規范通常涉及到大的時間尺度和空間尺度,因此在MPC中每個時間步長中需要求解一個有限視界問題是困難的。因此,為了滿足目標窗口規范,利用參考軌跡來滿足目標窗口要求,同時計算飛機的運動能力。為了實現跟蹤參考軌跡的目標,優化問題中加入了飛機位置約束。這些約束依賴于風擾動,這使得問題更具有挑戰性,由于風擾動與飛機位置非線性相關,且風擾動具有無界支撐,這一事實阻礙了問題的可行性。

對于風擾動與飛機位置非線性相關的解決方法是將原始的風擾動模型替換為飛機當前位置的局部近似,該局部近似的飛機沿MPC的沿著預測視線飛進的空域區域內是準確的。對于風擾動具有無界支撐,考慮機會約束,以避免不可行性問題,從而產生一個機會約束優化問題。

為了處理機會約束問題,提出了一種基于采樣的隨機模型預測控制方法,它允許在低計算量的情況下找到機會約束優化問題的近似解。這樣,最終將得到一個優化問題,可以有效地解決在每一個時間步長最優控制輸入,且對風的擾動有較強的魯棒性。

1 飛機動力學模型

1.1 飛機模型

為了簡化飛機動力學方程,假設飛機為質量均勻分布對稱的剛體,地球簡化為平面大地[12]。飛機的位置在笛卡爾坐標中表示為x、y、z,飛機飛行對周圍的空氣的速度為V,偏航角為ψ(飛機速度的投影在x-y平面與x軸的夾角)和飛機的質量為m。系統的輸入是俯仰角γ(即速度與x-y平面之間的夾角)和滾動角φ(即升力與包含飛機速度和z軸的平面之間的夾角),發動機的推力為T。風擾動添加在x、y、z軸上的分速度,這些擾動表示為wx、wy、wz。根據文獻[11]中的式(1),簡化的飛機動力學模型可寫為:

(1)

式中:CD和CL為阻力系數和升力系數;ρ是海拔為z的密度函數;S為飛機的翅膀面積;g為重力加速度;η為燃料消耗速度。根據文獻[12],升力系數設為:

(2)

(3)

最后飛機的動力學模型可寫為:

(4)

1.2 飛行約束條件

為了考慮飛機的物理限制、乘客的舒適和安全要求,必須考慮以下狀態變量和輸入變量的約束。

(1) 飛機的真空速度為V:

Vmin≤V≤Vmax

(5)

式中:Vmin和Vmax取決于飛機類型,Vmin也與飛機失速速度有關[13]。

(2) 速度的加速度:

(6)

式中:aL=2 ft/s2=2×0.304 8 m/s2。

(3) 發動機推力:

Tmin≤T≤Tmax

(7)

式中:Tmin和Tmax可以根據文獻[12]計算,也依賴于大氣條件和飛機類型。

(4) 滾動角φ:

(8)

(5) 俯仰角γ:

γmin≤γ≤γmax

(9)

飛機的一些約束參數依賴于大氣條件(壓力、高度和溫度)和飛行階段(爬升、巡航和著陸)。然而,為了簡化模型,假設這些參數已知。此外,在位姿控制問題中,它們可以被認為是常數,并且可以根據飛機當前的狀態,在每一個時間步上根據位姿策略進行調整。

2 反饋線性化和約束重構

本小節將反饋線性化方法應用于飛機運動模型式(4),在一組新的輸入變量和狀態變量中得到與原始飛機動力學精確匹配的線性模型。通過一些變量的改變,將第1.2節中飛機物理限制和乘客舒適度的約束表示為新狀態和輸入變量的函數,結果證明該約束是非凸的。為了有效計算約束,引入凸逼近方法。

2.1 反饋線性化

本小節中,對系統式(4)進行反饋線性化,從而得到具有新的輸入變量和狀態變量的飛機線性模型。本方法受到了文獻[13-14]的啟發,其中考慮了一個更簡單的二維空域的飛機模型。首先,對方程式(4)進行簡化,忽略質量動力學,以便在應用MPC將質量視為沿時間視界的常量。二維空域的飛機模型可寫為:

T=KDV2+mgsinγ+mτ

(10)

φ=tanφ

(11)

(12)

則控制系統演化的方程為:

(13)

新的控制輸入為:

(14)

(15)

(16)

結合式(14)和式(15),可求出τ和φ:

(17)

(18)

τ=u1cosψcosγ+u2sinψcosγ+u3sinγ

(19)

聯立式(10)、式(11)和式(18)有:

T=KDV2+mgsinγ+mτ

(20)

(21)

(22)

式(20)-式(22)定義的非線性反饋使得狀態x1、x2、x3、x4、x5、x6關于新的輸入u1、u2、u3線性相關:

(23)

新的狀態和輸入變量具有精確的物理意義,狀態由飛機在笛卡爾坐標中的位置和速度組成。輸入u1、u2、u3分別是沿x、y、z軸的加速度。此外,可以從新的狀態變量中恢復原始狀態變量,如下所示:

式中:atan(·,·)表示其參數的四象限反正切。

為了方便模型預測控制的后續開發,式(23)將被離散化,采樣時間為Ts,則離散系統可寫為:

(24)

式(24)可寫為:

xk+1=Axk+Buk+Bwwk

(25)

2.2 在新的變量中重新表達約束條件

在2.1節中進行的反饋線性設計使將飛機模型式(4)重寫為線性系統式(25),這無疑為MPC設計提供了條件。另一方面,用新的狀態變量x1、x2、x3、x4、x5、x6和輸入變量u1、u2、u3來重寫狀態約束和輸入約束。本節考慮到MPC的后續應用,將在有限視界上重新構造約束,并在必要時引入適當的松弛來凸化它們。而引入松弛使初始約束至少在當前時刻被滿足。

1) 飛機的真空速度為V:

(26)

(27)

根據文獻[12]可將式(26)和式(27)寫為:

其中:

-aL≤cosγk(u1,k+icosψk+u2,k+isinψk+

u3,k+itanψk)≤aLi=0,…,M-1

(28)

3) 發動機推力:

Tmin≤mcosγk(u1,k+icosψk+u2,k+isinψk+u3,k+itanγk)+

(29)

4) 滾動角φ:

(30)

5) 俯仰角γ:

由于x6=Vsinγ,得到:

Vksinγmin≤x6,k+i≤Vksinγmax

(31)

3 算法設計

本節將提出一種隨機模型預測控制算法運用到飛機運行控制系統中。

3.1 飛機的控制問題陳述

為了控制飛機的動力學方程,在文獻[15]提出方法的基礎上進行修改。修改這個初始框架,以獲得一個靈活的仍然相同屬性的參考跟蹤算法。rk+i表示飛行器需要跟蹤的參考軌跡和速度。有限屬于優化隨機模型預測控制問題的代價函數J定義為兩項的和:一項僅依賴油耗即輸入uk+i,另一項考慮位置誤差閾值,即代價函數可寫為:

J(xk,uk,…,k+M-1)=

(32)

式中:Q?0,R?0,QM?0。由于新狀態受風擾動的影響,其約束難以得到滿足。因此,假設在每個k時刻,系統狀態服從以下機會約束:

P{xk+i|k∈Fx}≥1-εi=1,2,…,M

(33)

式中:Fx={x|Fx≤f}∈R6是一個多面體和F∈Rm×6,f∈Rm為約束式(26)、式(27)和式(31)對應的系數。ε∈[0,1]為預先確定的最大機會約束違反概率。與確定性約束不同,機會約束允許部分違反,這有助于緩解當干擾是無限時硬約束的不可行性的情況。同時施加硬輸入約束:

uk+i-1∈Fu={u|Gu≤g}?R3i=1,2,…,M

(34)

式中:G∈Rm×3,f∈Rm為式(28)、式(29)和式(30)對應的系數。

給定預測時域M,系統式(25)的預測狀態可以用如下形式描述:

該式可以簡化表示為:

x=Axk+Bu+Bww

(35)

P{Fk+ix≤fi}≥1-εi=1,2,…,M

(36)

Gu≤g

(37)

式中:Fk+i和fi代表F=IM?F和f=1M?f的第i塊向量,G=I3?G和g=13?g。式(37)與系統狀態xk不同,操作變量uk在實際中總是受到執行器的限制,因此使用硬約束具有現實合理性。

給定2.1節的離散時間模型式(25)、3.1節討論的約束轉化為機會約束以及代價函數式(32),該飛機的控制有限時域優化問題如下:

(38)

s.t. 式(25)、式(36)、式(37)

計算得到的控制動作的第一個元素uk,作用于系統式(25),重復優化式(38),得到MPC控制。然而問題式(38)是很難解決的,因為存在機會約束這使得它是非凸的。

3.2 擾動反饋策略

使用一種普遍的干擾反饋擾動策略[16-17]:

(39)

式中:矩陣Mk,j和vk成為了原問題的決策變量。該仿射擾動策略類似于多階段自適應魯棒優化[18]中的仿射決策規則。將各階段的反饋策略作為一個整體考慮,式(39)可以進一步表示為:

u=v+Mw

(40)

式中:M、v的具體形式與推導過程可參考文獻[19],但是由于擾動wk具有無界支持,則系統輸入將無界,從而不可避免地導致違反硬約束式(37)。為了解決這個問題,文獻[20]制定了一個飽和的干擾反饋策略:

u=v+Mφ(w)

(41)

式中:φ(w)=[φ(wk),φ(wk+1),…,φ(wk+M-1)]和φ(·)是一個滿足|φ(·)|≤1的飽和函數。在飽和的擾動反饋下,輸入約束式(37)可以以魯棒的方式[21]執行:

(42)

狀態方程(35)在控制輸入式(41)的作用下可寫為:

x=Axk+BMφ(w)+Bv+Bww

(43)

同理,式(36)可寫為:

P{Fk+i(Axk+BMφ(w)+Bv+Bww)≤fi}≥1-ε

(44)

假設E{φ(w)}=0,代價函數式(32)可寫為:

J(M,v)=E{(x-r)TQ(x-r)+uTRu}=

vT(R+BTQB)v+tr{(R+BTQB)ME{φ(w)φ(w)T}MT}+

2vTBTQ(Axk-r)+2tr{MTBTQBwE{wφ(w)}}+C

(45)

3.3 基于場景的近似

(46)

可以看出,問題式(46)是一個具有約束條件的確定性優化問題,可在軟件包CVX中求解。由于干擾抽樣的隨機性,樣本的數目對結果的有著重要的作用,文獻[23]證明這一結果,因此可根據以下準則來選擇采樣干擾的個數Nt:

(47)

式中:dt為影響第t個機會約束的決策變量的數量;βt為預先指定的置信水平。因此,可以在概率意義上建立以下性能保證:

PD{P{Fk+i(Axk+BMφ(w)+Bv+Bww)≤fi}≥

1-ε}≥1-βt

(48)

式中:最外的概率項PD{·}來自于對多個場景采樣的隨機性,最內的概率P{·}與擾動序列w有關。保證式(48)是基于場景的隨機模型預測控制問題的核心。

3.4 基于場景采樣的隨機模型預測控制算法

根據前文的敘述,可將飛機的軌跡跟蹤問題描述如算法1所示。

算法1基于場景采樣的隨機模型預測控制算法

在k時刻,已知當前狀態xk,尋找最優參數M,v

1.隨機采樣Nt個干擾數據;

2.輸入:xk,ε;

3.輸出:xk+1;

4.求解凸優化問題式(46);

5.將第四步求解的最優參數M*,v*作用于式(41)計算出u;

6.取出u中第一個元素uk作用于系統式(25)計算xk+1;

7.將xk+1作為當前時刻,返回到第2步進行循環計算。

4 仿真實驗

在第2節的飛機模型和第3節開發的控制器進行了仿真。控制器需要操縱飛機沿著給定參考軌跡運行,且需滿足物理限制和舒適性約束,并抵消風的干擾。為了測試控制器的性能,選擇了一個有許多轉彎和高度不變參考軌跡。

模型參數和約束邊界的設置如表1所示。

表1 飛機的參數

采樣時間為Ts=5 s,初始位置和速度與參考軌跡的起始點和初始速度重合x0=[-40,0,3,601,601,0]T,有限預測時域為M=12,優化問題代價函數中的權重設置如下:Q=I6,R=0.02I3。機會約束的概率ε=0.1,基于場景的置信參數為βt=10-6,因此,根據式(47),相應的需要實現的干擾的數量為Nt=876。

參考軌跡的目標窗口集合如表2所示。

表2 目標窗口集合

假設設計的高度不發生變化,x-y參考軌跡如圖1所示,從圖1看出點6、7、8之間的路徑幾乎為一條直線,則可以在點6到7之間增加速度,如圖2所示。同樣的情況也發生在點4和點5之間,它們由一條直線連接。

圖1 飛機位置參考軌跡圖

圖2 飛機設計速度V

根據本文提出的方法,仿真結果如圖3-圖9所示。從圖3中可以看出,隨機模型預測控制器能夠操縱飛機,使其很好地跟蹤圖1中參考軌跡。飛機速度跟蹤圖如圖4所示,可以看出,跟蹤性能較好,且沒有違反飛機運行速度的最小值和最大值。每個時刻飛機飛行的位置圖如圖5所示,在時刻170 s時,飛機位置在(0,0,4)附近,在時刻500 s時,飛機位置在(40,60,4)附近,在其他時刻也是滿足表2設計的目標窗口集合。圖6表示飛機在x、y、z軸方向飛行的速度圖。圖7展示飛機偏航角。圖8為控制輸入圖,可以看出,控制輸入沒有違反約束,表明設計的飽和的干擾反饋策略是有效的。圖9表達了飛機的俯仰角和滾轉角,可以看出,本文方法滿足設計約束,防止飛機轉彎時速度過大造成乘客不舒適性,在風的干擾下實現了較好的穩定性。

圖3 跟蹤軌跡圖

圖4 速度跟蹤圖

圖5 飛機飛行位置圖

圖6 飛機飛行速度圖

圖7 飛機的偏航角

圖8 飛機控制輸入圖

圖9 飛機的俯仰角和滾動角

5 結 語

為了滿足目標窗口對飛行器軌跡的時間和空間要求,本文針對非線性的飛機動力學模型性采用了反饋線性化的方法,得到一個與原模型完全匹配的新的輸入變量和狀態變量的線性模型。然后,將得到的線性模型進行離散化處理,從而嵌入到MPC控制器中。在MPC控制器的設計中,由于風的無界擾動,本文將約束設計為機會約束,并利用隨機采樣方法,將原問題轉化為凸優化問題進行求解。仿真實驗表明,所設計的用于飛行器運動的基于場景采樣的隨機模型預測控制器,在考慮飛機的物理限制和乘客舒適度約束的條件下,實現了對參考軌跡的跟蹤,且對風擾動具有較強的魯棒性。