基于神經PID控制的隨機分布系統的研究

屈 毅

(咸陽職業技術學院電子信息學院 陜西 咸陽 712000)

0 引 言

隨機系統控制是控制領域中的一個研究方向,是用差分或微分方程定義的動態系統,系統變量的服從高斯統計特性,已形成較為完整的理論體系[1-5]。但是在許多工業生產過程中,系統變量的統計特性不滿足高斯或者對稱分布。Wang[6]提出了隨機分布控制統計理論,建立系統的動靜態數學模型,實現了概率密度函數統計控制策略,經過二十多年的研究與發展,初步構建了建模和控制理論,在建模方面,主要有線性B樣條、平方根B樣條、有理平方根B樣條和有理B樣條等模型理論[6-25];在控制算法方面,主要有線性系統控制、偽ARMAX系統控制、基于迭代學習控制、最小熵控制和自適應控制等算法[6-25]。

近年來,眾多研究者在隨機分布系統控制方面做出了一定的成效。例如,文獻[8]提出了時滯系統的保性能控制方法;文獻[9,15,23]研究了自適應容忍控制算法;文獻[10]研究了基于神經的保性能控制策略;文獻[11]提出了基于調和因子的容忍控制方法;文獻[12,16,20,24]研究了時滯系統的故障檢測與診斷控策略;文獻[12,16,20,24]提出了時滯奇異系統的故障檢測與診斷算法;文獻[14]研究了基于PBF網絡的容忍控制;文獻[18-19,21]提出了基于學習因子的追蹤控制方法;文獻[22]研究了模糊隨機分布系統的故障檢測策略。隨機分布系統雖已建立了一定的理論基礎,但未知的領域還需繼續研究與開拓。

對于非高斯連續隨機分布系統追蹤控制及控制中的干擾抑制問題,現有的文獻鮮有報道。針對該問題,本文通過平方根B樣條逼近建立系統輸出概率密度函數模型(靜態模型)和動態權值模型,接著設計神經PID控制器。控制器的目標是在滿足系統規定的性能指標前提下,實現系統輸出概率密度函數對目標概率密度函數的追蹤。

1 建立系統靜態模型

對于隨機分布系統,如圖1所示,在定義區間[a1,a2],概率密度函數τ(y,x(t))γ(y,u(k))是一致連續有界的,x(t)是系統的控制輸入,y是系統的輸出變量。則輸出PDFγ(y,u(k))τ(y,x(t))的B樣條平方根定義為:

圖1 概率密度函數表達式示意圖

(1)

式中:βi(y)(i=1,2,…,n)是已知的基函數;νi(x(t))(i=1,2,…,n)是與βi(y)對應Bi(y)的權值向量;δ(t)是系統靜態模型的誤差。

由式(1)可得:

(2)

τ(y,x(t))=(υ0(t)β0(t)+υn(t)βn(t)+δ(t))2

(3)

式中:β0(t)=[β1(y),β2(y),…,βn-1(y)],υ0(t)=[v1(t),v2(t),…,vn-1(t)]T

定義δ(t)=ν0(y)δ0(t),δ0(t)為靜態模型的補償誤差,則式(3)可表示為:

τ(y,x(t))=(β0(y)υ(t)+νn(t)βn(y))2

(4)

式中:υ(t)=υ0(t)+δ0(t)。

定義:

由式(4)可得:

νn(t)=h(ν(t))=

(5)

定義追蹤的目標PDF為:

τg(t)=(β0(y)νg(t)+h(νg)βn(y))2

(6)

式中:τg(t)是目標PDF,νg是已知權值向量。隨機分布系統控制的目的是調整輸入x(t),使系統輸出PDFτ(y,x(t))追蹤目標PDFτg(t)。

定義隨機分布系統輸出PDF與目標PDF的誤差為:

β0d(t)+[h(ν(t)-h(νg)]βn(y)

(7)

式中:d(t)=ν(t)-νg。

2 神經PID控制器的設計

隨機分布系統神經PID控制是設計一個控制器,以H∞作為性能指標,使系統輸出概率密度函數追蹤目標概率密度函數,并使系統的魯棒性和穩定性等得到滿足。

2.1 神經PID控制器

采用含神經PID控制算法,其結構如圖2和圖3所示,在該算法中,用神經PID控制器調整權值線路,以實現在線的自適應控制和學習。

圖2 隨機分布系統神經PID控制器結構圖

圖3 三層神經網絡PID結構

2.2 動態模型建立

隨機分布系統輸入和輸出間關系轉化為x(t)和權值ν(t)的關系,則x(t)和ν(t)的非線性動態模型為:

(8)

對于式(8),定義新的向量為:

(9)

則式(8)轉化為:

(10)

隨機分布系統控制轉化為系統穩定性問題,則神經PID控制器定義為:

(11)

對于ν(t),由李雅普諾夫條件可得:

H∞范數的定義:擾動w(t)到系統輸出σ(t)的H∞范數定義為:

為了便于后邊的證明,引入以下兩個引理。

引理1給定適當維數矩陣D、E,對稱矩陣Y,以及矩陣F(FTF≤I),要使下式成立:

Y+DFE+ETFTDT<0

當且僅當存在一個標量ε>0,使得:

Y+εDDT+ε-1ETE<0

引理2對于任意向量x,y和一個正定標量π,則下列矩陣不等式成立

2xTy≤πxTx+π-1yTy

2.3 設計方法

下面通過兩個定理給出控制器設計的方法。

(12)

證明:定義Lyapunov-Krasovskii函數為:

(13)

對式(13)求導,并應用引理1,可得:

2εT(t)QTF0f(ε(t))+2xT(t)PTW0w(t)+

2εT(t)QTW0w(t)+λ-1εT(t)QTHHTQε(t)+

式中:

由H∞可得:

式中:

則有Ξ1

由矩陣不等式理論可知:

則進一步可得出:

應用初始條件V(0,0)=0,可得:

由于V(x(t),t)>0,可得:

證明完畢。

采用狀態反饋H∞控制,將控制器x(t)=κε(t)代入式(10),則得到隨機分布閉環系統,表示為:

(14)

定理2為神經PID控制問題提供了一個解決方案。

定理2已知參數λ,ξi(i=1,2)和矩陣U,假設存在矩陣P=Q-T,Σ,Si>0,(i=1,2,…,n)和標量γ>0,使下列線性矩陣不等式(15)有可行解,則式(14)表示的閉環系統是穩定的。

(15)

(16)

證明:在定理1的基礎上,利用Lyapunov-Krasovskii函數式(13)可得:

2εT(t)QTFf(ε(t))+2εT(t)QTW0w(t)+

γ-1σT(t)σ(t)-γwT(t)w(t)=

θ1εT(t)Pε(t)

定義:

由Υ>0,可得:

(17)

在式(17)兩邊分別左乘和右乘diag{Q-T,I,I,Q-T,I,I,I},diag{Q-1,I,I,Q-1,I,I,I},可得

應用參數式(16)的定義,可得式(15)成立。進而可知:

則式(14)漸近穩定。

通過定理2,H∞優化PID控制器的設計轉化為對解線性矩陣不等式(LMI)的求解。

3 計算機仿真

為了驗證提出算法的有效性,下面對提出的算法在MATLAB中的Simulink Library環境下仿真驗證,在仿真中三個PID參數值[kp,ki,kd]調整狀態向量和控制向量[V(t),U(t)]。

在數字仿真中,隨機分布系統輸出概率密度函數可使用平方根B樣條逼近,表示為:

式(4)中n=3,y∈[0,1.6i],i=1,2,3。

采用平方根B樣條逼近建立系統輸出概率密度函數模型,因隱含條件存在,3個權值之中只有兩個權值獨立,假設v1、v2相互獨立。

系統(10)的參數及其他參數取值如下:

F=diag{0.6,0.6},B0=diag{0.5,0.5}

Bτi=diag{-0.5,-0.5},W0=diag{-0.5,-0.5}

U0=diag{0.3,0.5}

λ=3,μ1=μ2=1,γ=0.6

則計算可得:

系統輸出概率密度函數權值變化的響應如圖4所示,系統控制輸入變化的響應如圖5所示。從圖4和圖5仿真的結果分析可得系統實際輸出概率密度函數追蹤逼近目標概率密度函數,可獲得滿意的擾動衰減性能,并可確保系統漸近穩定。

圖4 系統靜態模型對權值變化的響應

圖5 系統控制輸入變化的響應

4 結 語

本論文研究了隨機分布系統的神經PID控制算法的問題。通過B樣條平方根逼近建立系統的靜態模型,提出神經PID控制器的結構,建立系統的動態模型,引入H∞范數,提出了系統穩定性的條件,在隨機分布閉環系統的基礎上,通過線性矩陣不等式的求解給出了在滿足干擾抑制的條件下,神經PID控制器的設計方法。最后,計算機仿真驗證表明:所提出的算法可滿足追蹤控制性能,并可抑制追蹤控制中的干擾。