基于FDD法的模態參數連續自動識別及 頻率變異性分析

王曉光,馬 明,高林麗,黨李濤

(1. 長安大學 公路學院,陜西 西安 710064; 2. 中交第一公路勘察設計研究院有限公司,陜西 西安 710075)

0 引 言

模態參數能反映出橋梁運營的性能[1],同時也是橋梁評估、模型修正、損傷評估的基本指標[2-4],故模態參數識別一直都是橋梁健康監測的研究熱點[5]。大量長期的模態參數是評估橋梁服役性能和性能演變規律的重要基礎[6],其一般是通過分析由橋梁健康監測系統采集的結構動力響應數據獲得。由于橋梁健康監測數據存在連續、量大等特點,模態參數連續、自動識別逐漸成為學界關注的重點[7]。

實時在線模態參數識別存在著困難,現有橋梁健康監測系統通常采用實時不間斷采集結構動力響應數據,并將其按照一定規則進行存盤,最后再通用人工處理手段得到結構的模態參數。在數量巨大、時間較長的模態參數需求下,人工識別過程很難滿足實際需求,急需找到一種合適方法實現模態參數連續、自動的識別。連續自動識別要解決兩個問題:① 自動識別方法;② 監測數據連續自動讀取流轉。

模態自動識別是模態參數連續自動識別的核心。橋梁結構模態識別是基于實際的結構響應,采用數學方法并結合系統論和結構動力學基本原理的狀態識別過程。模態識別方法分為時域法、頻域法和時頻域法[8],其中:時域法中的隨機子空間法[9]、頻域法中的頻域分解法(frequency domain decomposition, FDD)[10]和時頻域法中的小波分解法[11]運用得最為廣泛。隨機子空間法對密集模態具有較好的識別效果,但存在虛假模態問題,需要借助穩定圖像結合人工干預才能到達較好的識別效果[5, 12],許多學者提出大量算法實現了穩定圖像的自動識別[12-14],但由于隨機子空間法本身計算效率不高,且穩定圖像自動識別過程中往往需要大量迭代,因此基于穩定圖像的自動識別方法效率較低;小波分解法的識別效果很大程度上依賴于小波基、分解尺度等變換參數的選擇,人工干預較多,不適合自動識別;FDD不需要過多的人工干預,且計算效率較高,物理意義明確[8],故分析FDD的自動識別過程對橋梁健康監測數據分析很有必要。從識別過程而言,頻域分解法的核心是選取奇異值分解曲線的峰值,并用人工挑選方法選出合適的峰值[15],從而確定結構的真實模態參數,該方式需要人工干預,無法實現自動識別。由于噪聲干擾存在,奇異值往往不是光滑曲線,存在的大量噪聲干擾會引起毛刺峰值,嚴重影響了工程人員的選擇。如何剔除虛假峰值并自動挑選出真實峰值是基于FDD模態參數自動識別要克服的主要難點。

數據自動獲取是模態參數連續識別的基礎。通過連續自動獲取結構監測數據并傳遞給自動分析核心,才能實現模態參數連續自動識別。數據自動獲取方式與健康監測系統數據存儲方式密切相關,數據自動獲取的關鍵是識別數據存儲的標準格式。

筆者通過深入分析基于FDD模態參數識別過程的特點,提出了融合奇異值濾波、波峰波谷檢測、差異指標計算和自動聚類方法的FDD模態參數自動識別方法和模態參數自動識別框架;并將所提出該方法融入到自動識別框架中,實現了模態參數連續自動識別;最后通過某斜拉橋實測數據,驗證了所提出方法的可行性。

1 頻域分解法

FDD通過頻率響應函數在特征頻率處產生的峰值特性來識別參數,并通過奇異值分解將結構離散為單子度系統,實現了模態參數的識別。首先假定結構輸入為高斯白噪聲,利用結構響應求解功率譜密度函數,通過SVD分解,得到結構單自由度系統的響應集合,每個獨立模態即為響應奇異值分解后的每一列元素。

系統輸入u(t)和輸出x(t)之間的關系如式(1):

Sxx(jω)=H(jω)*Suu(jω)H(jω)T

(1)

式中:Sxx(jω)為輸出x(t)的PSD矩陣;H(jω)為頻率響應函數(FRF)矩陣;Suu(jω)為輸入u(t)的功率譜密度(PSD)矩陣。

若輸入u(t)的PSD為常數,則有Suu=Ruu。對于小阻尼結構,輸入功率譜密度矩陣如式(2):

(2)

式中:αi為常數。

由監測響應數據計算Sxx(jω),并進行SVD分解,如式(3):

Sxx(jω)=Φ∑ΦH

(3)

式中:Φ=[φ1,φ2,…,φr],為包含有r個奇異向量;ΣΦ為對角矩陣,包含有r個奇異值,與單自由度的PSD值對應。

在PSD函數圖中,每個峰值均代表結構的固有頻率,在第i個峰值ωi附近,該階模態將起主導作用;此時,式(3)右側第一個奇異向量φ1即為模態振型估計;ΣΦ中第一個不為0的奇異值即為結構的固有頻率。

2 FDD模態參數自動識別原理

基于FDD模態參數自動識別核心是從奇異值曲線所有峰值中自動選取真實模態參數對應的峰值,并由真實峰值得到結構的真實模態參數。要實現模態參數自動識別,主要解決:虛假峰值干擾、峰值自動識別和真實峰值選取。筆者分別通過濾波、差異指標計算和自動聚類方法解決上述3個問題,達到模態參數的自動識別。

2.1 奇異值濾波

由于環境噪聲干擾,隨機環境下的結構奇異值曲線并不是光滑曲線,而是在峰值中間夾雜著大量毛刺峰值。對于FDD而言,要通過尋找奇異值曲線峰值的方法來提取對應的結構模態參數,因此剔除噪聲引起的毛刺峰值干擾是首先要解決的問題。

奇異值曲線是一維數據曲線,筆者引入3點前、后向運動均值濾波算法來剔除環境噪聲所引起的奇異值毛刺現象。

假設一組信號為Sn={s1,s2, …,sn},3點均值濾波計算如式(4):

(4)

前、 后向濾波的區別是:前向濾波i從2開始增大至n-1;后向濾波i從n-1逐漸減小至2。

2.2 波峰波谷檢測

自動識別核心是自動識別奇異值曲線中的真實波峰,從而自動索引得到波峰對應的模態參數。為給后續自動識別算法提供數據,筆者采用峰值檢測方法同時檢測得到濾波的奇異值曲線波峰值和波谷值。

波峰檢測計算如式(5):

P(n)=S(n):S(n-1)S(n+1),n=1,…,n

(5)

對應峰值位置計算如式(6):

Lp(i)=n:S(n-1)S(n+1),n=1,…,n

(6)

波谷檢測計算如式(7):

V(n)=S(n):S(n-1)>S(n)

(7)

對應波谷位置計算如式(8):

Lv(i)=n:S(n-1)>S(n)

(8)

2.3 Dvp指標計算

通過峰值檢測過程雖能得到奇異值曲線的所有峰值,但并不是所有峰值都對應真實的模態參數。故基于峰值檢測的FDD模態參數自動識別方法一個重要的方面就是甄別峰值中的虛假峰值。

在環境隨機激勵下,雖然存在噪聲干擾,但結構響應在真實模態參數的頻帶附近會出現較大峰值。即在奇異值曲線中,真實模態參數對應的奇異值峰值較高,而噪聲所引起的虛假峰值較低。由于不同頻帶范圍的結構響應信號能量不同,在不同頻帶范圍內的奇異值整體大小有所差異。在某些頻帶內,即使有較明顯(真實模態峰值)的峰值,也會因整體能量較低而導致峰值較小。

為識別真實峰值,筆者提出用波峰波谷差(valley-peak difference,Dvp)指標作為真實峰值的篩選指標。Dvp指標是表示波峰和波谷之間差異的指標,通過Dvp指標大小可得到波峰 “深度”,如圖1。

圖1 Dvp指標峰值判斷

2.4 基于K-means聚類法的真實峰值自動識別

通過Dvp指標可識別得到所有真實模態參數所對應的相對較高的峰值,但Dvp指標是一個包含所有波峰與波谷的差值,要實現模態參數的自動識別,就需要從中自動挑選出真實模態參數所對應的Dvp指標。

真實模態參數對應的奇異值波峰相較于波谷較高,因此其對應的Dvp較大;反之亦然。為自動得到Dvp較大的真實峰值,筆者引入K-均值聚類(K-mean)法,通過K-means聚類法對Dvp指標進行自動分類,自動挑選出真實峰值所對應的Dvp指標。其基本原理如下:

假設Dvp指標樣本為X=(x1,x2,…,xn),樣本間的相似度通常用距離d(xi,xj)來度量,距離的計算如式(9):

(9)

K-means聚類法使用誤差平方和準則函數來評價其聚類性能,聚類的目的是使其誤差平方和最小。假設n個樣本被分成k類,且每個類的聚類中心分別為(c1,c2,…,ck),屬于各個聚類的數據子集分別為(P1,P2,…,Pk),則誤差平方和E定義如式(10):

(10)

K-means聚類法通過迭代過程不斷優化聚類中心和各類中的元素,直至E收斂至最小。其迭代聚類過程如下:

1)將所有對象隨機分配到k個非空的簇中;

2)計算每個簇的平均值,并用該平均值代表相應的簇;

3)根據每個對象與各個簇中心的距離,分配給最近的簇。

4)重復2)、3),直至E最小則停止迭代,并將聚類得到的值作為最終結果。

K-means聚類法首先需要設定聚類數目,聚類數目決定了數據樣本可被分為幾類。借助K-means聚類過程,將聚類數目設為2,所有Dvp指標可自動分為兩類,Dvp指標較大類代表真實模態參數的奇異值峰值,Dvp指標較小類代表虛假模態參數的類的峰值。通過索引Dvp指標較大類的峰值,就能得到真實模態參數對應的奇異值峰值,進而識別得到真實模態參數。

3 模態參數自動識別框架

模態參數自動識別只是解決了模態參數自動識別的核心算法理論問題,連續自動識別則是涉及數據如何連續自動流轉的系統性問題。橋梁健康監測系統的監測數據一般采用標準格式的離線文件存儲,不同監測類型的監測數據一般以小時進行存儲,然后按照天、月為單位存儲在文件夾中,不同監測類型監測數據通過不同文件后綴名進行區分。通過搭建模態參數連續自動分析框架,實現監測數據的連續自動讀取和流轉,并結合自動識別算法,實現模態參數連續自動識別。

建立連續長期的離線監測數據自動讀取模塊,通過輸入文件保存路徑和加速度文件后綴,自動識別保存的加速度離線文件,并提取加速度數據;再搭建模態參數自動識別模塊,并融入數據自動讀取模塊,模態自動識別模塊不斷從數據讀取模塊獲取離線監測數據用于模態參數自動識別;最后為整個數據自動讀取和自動分析搭建循環框架,使得整個分析過程能自動進行。筆者設計的自動分析框架每次能連續自動分析一個月的數據,其框架如圖2。

圖2 連續自動識別框架

4 基于FDD模態參數自動識別

通過連續自動識別框架實現監測數據不間斷提取,通過前、后向均值濾波最大、最小值檢測,Dvp指標計算和K-means聚類法;實現了虛假峰值的剔除,真實峰值的自動選取;從而實現了模態參數的自動識別。基于FDD模態參數連續、自動識別過程如下,整體流程如圖3。

圖3 FDD法模態參數連續自動識別流程

1)輸入文件路徑和文件后綴、最小數據量和分析間隔時長,自動確定數據分析次數和數據讀入量;

2)對原始信號進行濾波處理,并采用FDD求解奇異值分解曲線;

3)對奇異值曲線進行前、后向均值濾波處理,剔除大量噪聲干擾引起的虛假峰值;

4)通過峰值檢測算法檢測得到濾波后的奇異值曲線的波峰和波谷;

5)計算Dvp指標;

6)采用K-means聚類法得到真實模態參數對應的奇異值峰值;

7)根據得到的真實模態參數奇異值峰值,得到對應的真實模態參數;

8)進行下一次分析。

5 工程算例

筆者以某座橋梁為例進行分析。該橋梁是一座(50+110+380+110+50)m的雙塔鋼箱梁斜拉橋,如圖4(a)。采用MIDAS Civil軟件建立理論計算模型,其中主梁、索塔采用梁單元模擬,斜拉索采用只受拉桁架單元模擬;全橋共862個節點,738個單元,有限元模型如圖4(b)。

圖4 橋梁概況(單位:m)

該橋建成之初便安裝了健康監測系統。全橋共38個加速度傳感器,其中主梁安裝豎向加速度傳感器22個。健康監測系統將采集的結構加速度響應數據按小時存儲為離線文件,本次分析采用的是2021年1月全月的加速度數據。

為盡量獲取環境效應對結構模態參數的影響,設定為每次連續自動分析20 min數據,兩次分析間隔時間為10 min,每2 h之間數據不重疊,即每1 h分析可得到5組模態參數。

5.1 模態參數自動識別

采用FDD對濾波后的加速度數據進行分析,得到經FDD法計算得到的奇異值分解曲線,如圖5。圖5(a)給出部分傳感器通道數據的奇異值曲線,圖5(b)表示其中兩條奇異值曲線。

圖5 奇異值曲線

由圖5可看出:奇異值曲線在一些頻帶范圍內出現峰值,這些峰值對應的模態參數極有可能是結構的真實模態參數;原始奇異值曲線除了在個別頻率處出現較大峰值,在峰值之外還存在大量的較小峰值點,這些峰值是結構響應中噪聲干擾引起的。

采用三點前、后向線性均值濾波方法對奇異值曲線進行濾波,圖6表示濾波前后奇異值曲線的變化。由圖6可看出:濾波前環境噪聲引起的奇異值曲線大量毛刺峰值被剔除,濾波后的奇異值曲線在毛刺峰值處變得相對平滑;同時濾波前后的真實峰值位置沒有發生變化,說明三點前、后向均值濾波很好保留了奇異值曲線的真實峰值位置。

圖6 濾波前后奇異值曲線

采用峰值檢測算法識別濾波后的奇異值曲線。圖7表示對濾波后的奇異值曲線進行波峰、波谷檢測結果。由圖7可看出:波峰、波谷檢測過程識別得到了濾波后的奇異值曲線所有的波峰、波谷,檢測算法識別得到了所有潛在對應真實模態參數波峰,但同時也包含大量虛假波峰。

圖7 波峰波谷檢測

通過得到的所有波峰、波谷奇異值來計算Dvp指標。圖8表示所有波峰和波谷計算得到的Dvp指標。由圖8可看出:Dvp指標分布在不同的區間范圍,Dvp指標較大值是奇異值分解曲線中的較高峰值,這些峰值是潛在的真實模態峰值;Dvp指標較小值是奇異值分解曲線中的較矮峰值,這些峰值可能是因噪聲干擾引起的虛假峰值或因環境激勵能量有限所產生的弱模態。

將K-means聚類法用于所有Dvp指標進行聚類,并取k=2,如圖8。圖8中:虛線表示對聚類結果劃分,所有Dvp指標根據其值大小被分為兩類,虛線以上的為一類,是Dvp指標較大的一類,表示了潛在真實模態參數對應的奇異值曲線峰值;虛線下的Dvp指標較小,對應奇異值曲線中較矮的峰值,即絕對噪聲干擾所引起的虛假峰值。

圖8 Dvp指標聚類結果

圖9表示聚類結果中Dvp指標較大的一類對應的奇異值波峰位置。由圖9可看出:自動識別得到了所有潛在真實模態參數對應的奇異值峰值;但除了峰值較高的奇異值峰值外,在頻帶1.5～2.0內同時識別到了兩個峰值,但很明顯這兩個峰值都是虛假峰值。這是由于結構響應信號在高頻帶范圍內的能量減少,所對應的奇異值迅速減小,奇異值曲線在急速下降過程中沒有出現反復波動,導致波峰、波谷奇異值差別較大,進而引起Dvp指標較大,在自動識別過程中被識別為真實峰值。為避免錯誤,在最終挑選識別結果時,盡量避免靠近濾波截止頻率的頻帶峰值,應挑選前幾階作為最終識別結果。

圖9 自動識別得到的真實峰值

識別得到的前6個奇異值峰值對應的頻率和振型分別如表1和圖10。實測識別振型與有限元理論振型之間的相關性采用模態置信準則(MAC)MMAC進行驗證,MAC的計算如式(11),驗證結果如表2。

表1 頻率識別結果

圖10 識別振型結果與理論振型

MMAC({φi},{φj})=

(11)

其中:第1階振型明顯異常,說明奇異值曲線中該波峰對應的模態參數為虛假結果。噪聲干擾所引起的奇異值曲線虛假峰值一直是困擾業界進行模態參數識別的難點,如何從奇異值曲線中自動剔除峰值較高的虛假峰值,還需進一步探討。

表2 實測識別振型與有限元理論振型的MAC值

此外,在識別過程中會出現因數據信噪比較差或算法輸入參數選擇不當而產生峰值較低的虛假模態,以及因環境激勵能量有限產生的弱模態。對于峰值較低的虛假模態和弱模態區分,一方面根據先驗知識確定頻率分布范圍,選擇合適的濾波范圍,把信號集中于需要關注的頻帶內;另一方面,可使用某些模態驗證標準,如模態保證準則(MAC)或平均相位偏移(MPD)等標準。對于處于結構頻率附近內虛假模態或能量非常低的弱模態,可采用動態滑窗法對其連續多次識別,并將識別到的模態參數結果進行統計和聚類,這就在很大程度上可以區分峰值較低的虛假模態和弱模態。

由上述可知,筆者所提出的FDD模態參數自動識別算法能自動檢測得到奇異值分解曲線真實模態參數對應的峰值,同時能剔除因噪聲干擾所引起的虛假峰值,可自動識別得到結構模態參數。但該方法仍無法解決能量較高虛假峰值的辨別問題,能量較高虛假峰值的辨別方法還需尋找其他方法。

5.2 識別頻率結果分析

基于連續分析框架,連續自動識別該橋梁一個月的監測數據,1 h可得到5組結果,1月份共得到3 720組結果。首先剔除第1階識別的虛假結果,然后分析其余5階識別頻率與環境的相關性。

圖11表明了前5階識別頻率與溫度的關系。由圖11可看出:各階頻率與溫度均成負相關,且隨著階次升高,其相關性有變強趨勢;第5階頻率與溫度相關性明顯強于前4階,說明高階頻率受環境影響更明顯。

圖11 溫度-頻率關系

圖12表明了濕度與頻率的相關性。由圖12可看出:前5階頻率與濕度的相關性均較小。與溫度相關性不同的是,第5階頻率與濕度沒有表現出明顯的相關性,說明濕度對結構頻率幾乎沒有影響。

圖12 濕度-頻率關系

圖13表明了風速與結構頻率的相關性。與濕度相同,前5階結構頻率與風速沒有表現出較強的相關性,第5階頻率與風速表現出較弱相關性。

為更好地說明結構頻率與環境的相關性,筆者采用Pearson系數對溫度、濕度與風速的相關性進行量化。Pearson系數衡量了線性相關關系。當Pearson系數絕對值大于0.4時,兩者具有中等程度及以上相關性;當Pearson系數絕對值小于0.4大于0.2時,為弱相關。表3給出不同階次頻率與溫度、濕度和風速的Pearson系數。

圖13 風速-頻率關系

表3 不同階次頻率與環境變量皮爾遜系數

由表3可看出:溫度與頻率的Pearson系數明顯大于濕度與風速,且均為負值,說明溫度與結構頻率成負相關,這與圖11的結果一致。第5階頻率與溫度的Pearson系數絕對值明顯大于前4階,說明該階頻率受溫度的影響較大。濕度與頻率的Pearson系數均趨近于0,說明濕度與結構頻率的相關性不強,除第5階頻率與風速具有較弱相關性外,其余4階與風速的Pearson系數均較小,這說明風荷載對橋梁低階頻率幾乎沒有影響,風荷載只對高階頻率具有較弱影響。

溫度與結構頻率Pearson系數大于0.2,存在弱相關;其中溫度與結構第5階頻率為-0.614,具有強相關性。因此,筆者采用線性回歸方法建立了溫度與頻率的相關性模型,并剔除識別頻率中的溫度效應。其中1～5階的線性相關模型如式(12):

(12)

對建立的1～5階線性相關模型回歸方程進行顯著性檢驗(α=0.05),檢驗結果如表4。由表4可知:在給定顯著性水平α=0.05時,不同階次回歸方程|T|均大于tα/2(n-2),認為線性回歸顯著。

表4 不同階次回歸方程顯著性檢驗結果

回歸線性模型與頻率散點如圖14。由圖14可看出:即使剔除頻率結果中的溫度效應,識別頻率結果仍在一定范圍內波動,這是由于計算誤差及車輛、信號干擾等隨機因素所引起的。對于背景橋梁,1階頻率波動超過10%,但這些隨機因素很難量化,且其中的干擾機理也不明確。結構頻率是進行結構評估、模型修正的重要參數,如何從離散識別結果中提取合適的具有代表性的識別結果仍需要進一步研究。

圖14 頻率-溫度回歸結果

6 結 論

1)所提出的模態自動識別能實現基于FDD模態參數自動識別。通過前、后向均值濾波能剔除因大量噪聲干擾所引起的虛假噪聲峰值和平滑奇異值曲線,同時保留真實峰值;通過波峰、波谷檢測,并結合提出的Dvp指標能準確識別得到奇異值曲線峰值;通過K-means聚類,能將Dvp指標自動劃分成真實峰值和虛假峰值,能自動實現真實峰值的自動選取,并自動識別得到模態參數。

2)提出融合模態參數自動識別算法連續自動分析框架能解決實際橋梁健康監測系統離線監測數據的連續自動分析問題,通過背景橋梁的一個月的連續分析,驗證了該框架和所提出自動識別算法的可行性。

3)結構頻率受環境溫度影響較大,受濕度和風荷載影響較小。結構頻率與環境溫度成負相關關系,采用線性回歸方法能剔除識別頻率中的環境溫度影響效應。由于隨機環境因素影響,識別結構頻率具有較大的離散性,如何解決離散性問題仍需進一步研究。