具有恐懼效應的時滯捕食者-食餌模型

王 靈 芝

(陜西師范大學 數學與統計學院,西安 710119)

0 引 言

捕食者和食餌之間的相互作用是數學生態學和進化生物學的一個核心問題.研究表明,捕食者通過直接殺戮可對食餌的種群數量產生直接影響[1-4],但每個物種也會對感知到的捕食風險作出各種反捕食反應[5-11],包括棲息地、覓食、警惕性和生理的變化等.基于文獻[11-12]的工作,本文考慮具有恐懼效應、種內競爭和捕食后生物量從食餌轉化到捕食者的時間延遲以及在轉化過程中捕食者的死亡率等因素的捕食者-食餌模型:

(1)

其中:u(t)和v(t)分別表示食餌和捕食者t時刻的種群密度;r為食餌的出生率;d和μ分別為食餌和捕食者的自然死亡率;a和α分別為食餌和捕食者因種內競爭而導致的死亡率;f(k,v)為恐懼因子,表示由于恐懼而導致的反捕食行為成本,k反映了驅動食餌反捕食行為的恐懼程度;β和τ分別為捕食后生物量從食餌轉化到捕食者的轉化率和時間延遲; e-sτ為捕食者在生物量轉化過程中的存活率;g(u)為功能反應函數,且?u≥0,g(u)∈C(),g(0)=0,g′(u)>0.根據k和f(k,v)的生物學意義,本文做如下合理假設[10-11]:

由文獻[10]可知,當r

(H2)r>d.

1 適定性與可行平衡點

當τ>0時,記C∶=([-τ,0],),其中C為從[-τ,0]映射到的連續函數全體構成的Banach空間.對?φ∈C,定義范數記C+∶=([-τ,0],+)為C的非負錐.當t=0時,系統(1)的初始條件為

φ∈X∶=C+×C+.

(2)

定理1在初始條件(2)下,系統(1)的解具有非負性和最終有界性.即所有軌線最終進入并保持在如下有界不變區域中:

證明: 由系統(1)的第一個方程得

從而可得

對于v的非負性,可利用反證法.假設t1>0是使得v(t……