帶有Stieltjes積分邊界條件和ψ-Caputo導數的分數階邊值問題解的存在性

王 寧,周宗福

(安徽大學 數學科學學院,合肥 230601)

0 引 言

分數階微積分是整數階微積分的推廣,由于分數階導數具有良好的記憶性質和遺傳特性,使得其在物理和工程等領域應用廣泛[1-3],關于分數階微分方程的研究目前已取得了豐富成果[4-9].分數階導數的定義形式繁多,為克服該問題,Almeida[10]將Caputo分數階導數與帶有核的Riemann-Liouville分數階導數相結合,并引入ψ-Caputo分數階導數,研究了它的一些性質,從而將多種形式的Caputo分數階導數統一起來,促進了具有一般導數形式的分數階微積分的發展.

文獻[11]研究了下列邊值問題:

(1)

(2)

受上述研究工作的啟發,本文考慮如下分數階微分方程邊值問題:

(3)

1 預備知識

定義1[13]令α>0,u為[a,b]上的可積函數,u(t)的α階ψ-Riemann-Liouville分數階積分定義為

定義2[13]令α>0,u: [a,b]→為可積函數,u(t)的α階ψ-Riemann-Liouville分數階導數定義為

定義3[13]令α>0,若u∈Cn-1[a,b],則u(t)的α階ψ-Caputo分數階導數定義為

定義4[10]若u∈Cn[a,b]且α∈,則

若α=n∈,則

引理1[13]令α>0,u: [a,b]→,則下列結論成立:

引理2[10]令α,β>0,u: [a,b]→為可積函數,則:

引理3(Schaefer不動點定理)[14]設X為Banach空間,T:X→X是一個連續的緊映射,{u∈X|u=λT(u),0<λ<1}有界,則T至少存在一個不動點.

引理4令n-1<α

(4)

的解為

其中

證明: 由引理1知,

(6)

因此,

(7)

將式(6)代入式(7)可得

將求出的C0,C1,…,Cn-1代入(6),即知式(5)成立.證畢.

2 主要結果

定義算子T:C[a,b]→C[a,b],

由引理4知,T的不動點即為邊值問題(3)的解.

為方便,引入以下記號:

假設條件:

(H1) 存在常數ξ>0,使得|f(t,x)-f(t,y)|≤ξ|x-y|,t∈[a,b],x,y∈;

(H2)ξΛ1(ψ(b)-ψ(a))α<1.

定理1假設條件(H1),(H2)成立,則邊值問題(3)在[a,b]上存在唯一解.

先證T:Br0→Br0.?u∈Br0及?t∈[a,b],有

因此,‖Tu‖≤ξΛ1(ψ(b)-ψ(a))αr0+Λ2≤r0,即TBr0?Br0,從而T:Br0→Br0.

下證邊值問題(3)在[a,b]上存在唯一解.令u1,u2∈Br0,t∈[a,b],則

于是

‖Tu1-Tu2‖≤ξΛ1(ψ(b)-ψ(a))α‖u1-u2‖.

再由假設條件(H2)知,T為壓縮映射.

因此,根據Banach壓縮映像原理可知,T在Br0中存在唯一的不動點,即邊值問題(3)存在唯一解.證畢.

下面給出邊值問題(3)至少存在一個解的結果.

引理5T:C[a,b]→C[a,b]為全連續算子.

證明: 首先證明T連續.任取{un}?C[a,b]且un→u∈C[a,b](n→+∞),則?t∈[a,b],有

從而

‖Tun-Tu‖≤Λ1(ψ(b)-ψ(a))α‖f(·,un(·))-f(·,u(·))‖.

由f的連續性可知‖Tun(t)-Tu(t)‖→0(n→+∞),進而T連續.

從而T(Br)有界,即T(Br)中的函數一致有界.

下證T(Br)中的函數等度連續.定義

?t1,t2∈[a,b],不妨設t1

當t2→t1時,|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|→0,因此T(Br)等度連續.

由Arzela-Ascoli定理可知T(Br)列緊,故T為緊算子,所以T:C[a,b]→C[a,b]為全連續算子.證畢.

假設條件:

(H3) 存在常數r1>0及連續單調遞增函數φ: [0,+∞)→[0,+∞),使得

|f(t,v)|≤φ(|v|)+r1, ?t∈[a,b], ?v∈;

(H4) 存在常數r2>0,使得當r>r2時,r>Ω1+Ω2(φ(r)+r1),其中

定理2假設條件(H3),(H4)成立,則邊值問題(3)在[a,b]上至少有一個解.

證明: 由引理5知,T:C[a,b]→C[a,b]為全連續算子.令Δ={u∈C[a,b]:u=λTu,λ∈(0,1)},下證Δ有界.

由Δ的定義知,?u∈Δ,?λ∈(0,1),使得u=λTu,故?t∈[a,b],u(t)=λTu(t),有‖u‖≤‖Tu‖.由引理5的證明知,‖Tu‖≤Ω1+Ω2‖f(·,u(·))‖.利用假設條件(H3)可得,‖u‖≤Ω1+Ω2(φ(‖u‖)+r1),由假設條件(H4)知,‖u‖≤r2.所以Δ有界.

由Schaefer不動點定理可知T在C[a,b]中至少存在一個不動點,即邊值問題(3)在[a,b]上至少有一個解.證畢.

3 應用實例

考慮下列邊值問題:

(8)

?u,v∈,t∈[0,1],有

由定理1可知邊值問題(8)在[0,1]上存在唯一解.