一類Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階時(shí)滯隨機(jī)發(fā)展方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性

白玉潔,楊 和

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,蘭州 730070)

0 引 言

目前,關(guān)于隨機(jī)微分方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性[1]研究已有許多結(jié)果[2-7],其中: 文獻(xiàn)[2]研究了具有有限時(shí)滯的隨機(jī)脈沖泛函微分方程解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性; 文獻(xiàn)[3]用M?nch不動(dòng)點(diǎn)定理和非緊性測(cè)度理論研究了具有無限時(shí)滯的脈沖Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階中立型泛函隨機(jī)微分方程解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性; 文獻(xiàn)[4]用算子生成預(yù)解族的方法給出了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程溫和解的恰當(dāng)定義,并在Banach空間X中討論了分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程

但具有加權(quán)非線性函數(shù)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階隨機(jī)時(shí)滯發(fā)展方程溫和解的存在唯一性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性研究目前尚未見文獻(xiàn)報(bào)道.本文考慮Hilbert空間H中具有有限時(shí)滯的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階隨機(jī)發(fā)展方程

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

考慮兩個(gè)可分的Hilbert空間K和H,L(K,H)表示從K到H有界線性算子構(gòu)成的空間,(·,·)表示K和H中的內(nèi)積.用(Ω,F,{Ft}t≥0,P)表示具有流{Ft}t≥0的完全概率空間,{Ft}t≥0滿足常規(guī)條件,即它是右連續(xù)的,并且F0包含了所有概率測(cè)度為零的集合.{Wt}t≥0為定義于(Ω,F,P)上的Q-Wiener過程,其中Q為有界線性協(xié)方差算子且trQ<+∞.假設(shè)存在K中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系{en}n≥1和有界序列l(wèi)n≥0,使得Qen=lnen(n=1,2,…).設(shè){βn}n≥1是一個(gè)獨(dú)立布朗運(yùn)動(dòng),且滿足

定義1[3,9]函數(shù)f: [0,+∞)→的q階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中Γ表示Gamma函數(shù).

定義2[3,9]函數(shù)f: [0,+∞)→的q階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n=[q]+1,[q]表示q的整數(shù)部分.

類似于文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[10],由分?jǐn)?shù)階微積分和Laplace變換,半線性加權(quán)分?jǐn)?shù)階隨機(jī)發(fā)展方程(1)的溫和解可被定義為:

定義3若函數(shù)x: [-r,b]→Lp(Ω,H),且其在J上的限制屬于C1-q(J,Lp(Ω,H)),則x(·)是系統(tǒng)(1)的溫和解當(dāng)且僅當(dāng)其滿足積分方程

(2)

其中

ξq(θ)表示定義在(0,∞)上的概率密度函數(shù),滿足

引理1[8]對(duì)任意給定的t≥0和?x∈H,有

設(shè)ε>0.考慮下列不等式:

(3)

定義4(Ulam-Hyers穩(wěn)定性)[3]若存……