一類Riemann-Liouville分數(shù)階時滯隨機發(fā)展方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性

白玉潔,楊 和

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,蘭州 730070)

0 引 言

目前,關(guān)于隨機微分方程的Ulam-Hyers穩(wěn)定性[1]研究已有許多結(jié)果[2-7],其中: 文獻[2]研究了具有有限時滯的隨機脈沖泛函微分方程解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性; 文獻[3]用M?nch不動點定理和非緊性測度理論研究了具有無限時滯的脈沖Riemann-Liouville分數(shù)階中立型泛函隨機微分方程解的存在性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性; 文獻[4]用算子生成預(yù)解族的方法給出了Riemann-Liouville分數(shù)階發(fā)展方程溫和解的恰當定義,并在Banach空間X中討論了分數(shù)階發(fā)展方程

但具有加權(quán)非線性函數(shù)的Riemann-Liouville分數(shù)階隨機時滯發(fā)展方程溫和解的存在唯一性和Ulam-Hyers穩(wěn)定性研究目前尚未見文獻報道.本文考慮Hilbert空間H中具有有限時滯的Riemann-Liouville分數(shù)階隨機發(fā)展方程

(1)

1 預(yù)備知識

考慮兩個可分的Hilbert空間K和H,L(K,H)表示從K到H有界線性算子構(gòu)成的空間,(·,·)表示K和H中的內(nèi)積.用(Ω,F,{Ft}t≥0,P)表示具有流{Ft}t≥0的完全概率空間,{Ft}t≥0滿足常規(guī)條件,即它是右連續(xù)的,并且F0包含了所有概率測度為零的集合.{Wt}t≥0為定義于(Ω,F,P)上的Q-Wiener過程,其中Q為有界線性協(xié)方差算子且trQ<+∞.假設(shè)存在K中的一個標準正交系{en}n≥1和有界序列l(wèi)n≥0,使得Qen=lnen(n=1,2,…).設(shè){βn}n≥1是一個獨立布朗運動,且滿足

定義1[3,9]函數(shù)f: [0,+∞)→的q階Riemann-Liouville分數(shù)階積分定義為

其中Γ表示Gamma函數(shù).

定義2[3,9]函數(shù)f: [0,+∞)→的q階Riemann-Liouville分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n=[q]+1,[q]表示q的整數(shù)部分.

類似于文獻[8]和文獻[10],由分數(shù)階微積分和Laplace變換,半線性加權(quán)分數(shù)階隨機發(fā)展方程(1)的溫和解可被定義為:

定義3若函數(shù)x: [-r,b]→Lp(Ω,H),且其在J上的限制屬于C1-q(J,Lp(Ω,H)),則x(·)是系統(tǒng)(1)的溫和解當且僅當其滿足積分方程

(2)

其中

ξq(θ)表示定義在(0,∞)上的概率密度函數(shù),滿足

引理1[8]對任意給定的t≥0和?x∈H,有

設(shè)ε>0.考慮下列不等式:

(3)

定義4(Ulam-Hyers穩(wěn)定性)[3]若存在常數(shù)K>0,使得對任意的ε>0及不等式(3)的解y∈C1-q(J,Lp(Ω,H)),都存在系統(tǒng)(1)的一個解x∈C1-q(J,Lp(Ω,H)),滿足下列不等式:

則稱系統(tǒng)(1)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的.

其中Lσ>0是與p和a相關(guān)的常數(shù).

引理3(Bellman不等式)[12]設(shè)K為非負常數(shù),f(t)和g(t)為區(qū)間α≤t≤β上的非負連續(xù)函數(shù),且滿足不等式

則有

2 主要結(jié)果

為證明系統(tǒng)(1)溫和解的存在唯一性及Ulam-Hyers穩(wěn)定性,引入如下假設(shè)條件:

(H1) 函數(shù)f:J×C([-r,0],H)→H滿足:

(i) 對a.e.t∈J,函數(shù)f(t,·)連續(xù); 對?v∈C([-r,0],H),函數(shù)f(·,v)可測;

(ii) 存在常數(shù)L1>0,使得對?t∈J,v1,v2∈C([-r,0],H),有

(i) 對a.e.t∈J,函數(shù)σ(t,·)連續(xù); 對?v∈C([-r,0],H),函數(shù)σ(·,v)可測;

(ii) 存在常數(shù)L2>0,使得對?t∈J,v1,v2∈C([-r,0],H),有

定義算子F:C1-q(J,Lp(Ω,H))→C1-q(J,Lp(Ω,H))如下:

定理1若假設(shè)條件(H1)和(H2)成立,則當

(4)

時,系統(tǒng)(1)存在唯一的溫和解.

證明: 由定義3,系統(tǒng)(1)的溫和解等價于算子F的不動點.因此,對算子F應(yīng)用Banach壓縮映射原理證明其存在唯一不動點.

對?x,y∈C1-q(J,Lp(Ω,H))及?t∈J′,利用H?lder不等式,有

由文獻[4]類似可得

因為當m∈[-r,0]時,

所以由假設(shè)條件(H1)可得

由引理2和假設(shè)條件(H2)可得

綜上可得

根據(jù)式(4)可知,F:C1-q(J,Lp(Ω,H))→C1-q(J,Lp(Ω,H))是壓縮映射.故由Banach壓縮映射原理知,算子F在C1-q(J,Lp(Ω,H))中存在唯一不動點x,即系統(tǒng)(1)存在唯一溫和解.證畢.

下面考慮系統(tǒng)(1)的Ulam-Hyers穩(wěn)定性.

注1[13]函數(shù)y∈C1-q(J,Lp(Ω,H))為不等式(3)的解的充要條件是存在函數(shù)g∈C1-q(J,Lp(Ω,H))(與y無關(guān))滿足:

1) ‖g(t)‖≤ε(0<ε<1),t∈J′;

定理2若定理1的假設(shè)條件都成立,則系統(tǒng)(1)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的.

證明: 設(shè)函數(shù)y∈C1-q(J,Lp(Ω,H))為不等式(3)的解.由定理1知系統(tǒng)(1)存在唯一溫和解x,則對?t∈J′,有

記

則有

由Blman不等式可得

因此,存在K∶=A1exp{A2b},使得

E‖t1-qy(t)-t1-qx(t)‖p≤Kε,t∈J′,

由定義4可知系統(tǒng)(1)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的.

3 應(yīng) 用

例1考慮分數(shù)階時滯偏微分方程:

(5)

取H=L2([0,π],),設(shè)

x(t)(y)=x(t,y),

φ(θ)(y)=φ(θ,y).

由文獻[9],做H中的算子A為

即假設(shè)條件(H1)成立.同理假設(shè)條件(H2)也成立.則系統(tǒng)(5)有唯一解x,且是Ulam-Hyers穩(wěn)定的.