帶p(t)-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階Langevin方程參數(shù)型反周期邊值問題解的存在性

倪晉波,陳 港,董蝴蝶

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于光學(xué)、熱學(xué)系統(tǒng)、數(shù)學(xué)建模和力學(xué)等領(lǐng)域[1-3].Langevin在研究粒子布朗運(yùn)動時(shí),導(dǎo)出如下方程[4]

(1)

式(1)稱為Langevin方程.在復(fù)雜介質(zhì)環(huán)境下,方程(1)不能準(zhǔn)確描述物體運(yùn)動的動力學(xué)行為.基于分?jǐn)?shù)階微分算子的長程相關(guān)性和記憶性,Lutz[5]和Burov 等[6]提出了下列分?jǐn)?shù)階Langevin方程:

目前,關(guān)于分?jǐn)?shù)階Langevin方程(初)邊值問題解的存在性研究已被廣泛關(guān)注[7-13].例如,Ahmada等[9]利用Krasnoselskii不動點(diǎn)定理討論了如下Langevin方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性:

(2)

(3)

(4)

(5)

受上述研究結(jié)果的啟發(fā),本文討論帶p(t)-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階Langevin方程參數(shù)型反周期邊值問題:

(6)

1 預(yù)備知識

定義1[3]函數(shù)f: (0,+∞)→的α(α>0)階Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)上有定義.

定義2[3]函數(shù)f: (0,+∞)→的α(α>0)階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中n=[α]+1,假設(shè)等式右端在(0,+∞)上有定義.

定義3[15-16]對任意的(t,x)∈[0,1]×,φp(t)(x)=x是從到的同胚映射,且當(dāng)t固定時(shí),φp(t)(·)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的,其逆映射定義為

是將有界集映成有界集的連續(xù)映射.

引理1[3]令α>0,假設(shè)f∈ACn[0,1],則

(7)

其中ci∈,i=0,1,2…,n-1,n=[α]+1.

引理2(Schaefer不動點(diǎn)定理)[17]設(shè)X是Banach空間,算子T:X→X為全連續(xù)算子,若集合Ω={x∈X|x=μTx,μ∈(0,1)}有界,則算子T在X中至少存在一個不動點(diǎn).

2 主要結(jié)果

引理3分?jǐn)?shù)階Langevin方程

(8)

在邊值條件

(9)

下,有如下形式的解:

其中

(10)

由邊值條件(9),可得

(11)

利用邊值條件x(a)=-x(1),可得

將式(12)代入式(11)即證得結(jié)論.

基于引理3,定義算子T:C[0,1]→C[0,1]如下:

從而邊值問題(6)解的存在性等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明算子T存在不動點(diǎn).

定理1設(shè)f: [0,1]×2→連續(xù),且滿足條件: 存在非負(fù)函數(shù)ξ,φ,η∈C[0,1],使得

(13)

則當(dāng)

(14)

時(shí),邊值問題(6)在X上至少有一個解,其中

l∶=max{(‖φ‖∞+‖η‖∞)1/(pm-1),(‖φ‖∞+‖η‖∞)1/(pM-1)}.

證明: 證明分兩步完成.

于是有

2) 證明算子T在X上存在不動點(diǎn).定義集合S={x∈X|x=μTx,μ∈(0,1)}.根據(jù)Schaefer不動點(diǎn)定理,證明算子T在X上存在不動點(diǎn)只需證明S有界.對任意的x(t)∈S,由條件式(13)可得

從而有

由不等式(u+v)q≤2q(uq+vq)(u,v,q>0)和xr≤x+1(r∈[0,1],x≥0)可知,對任意的t∈[0,1],有

因此,

結(jié)合式(15),(16)可得

由條件式(14)和式(17)可推出存在一個常數(shù)G>0,使得‖x‖X≤G.由Schaefer不動點(diǎn)定理可知,T在S中至少存在一個不動點(diǎn),即邊值問題(6) 至少有一個解.

3 應(yīng)用實(shí)例

例1考慮邊值問題

(18)

由定理1可知邊值問題(18)至少有一個解.