環域上2m階半正橢圓方程正徑向解的存在性

李 陽

(西安電子科技大學 數學與統計學院,西安 710126)

1 引言與預備知識

考慮環域上2m階半正橢圓方程:

(1)

若f(|x|,0)≥0,則問題(1)稱為正問題.這類問題已被廣泛研究[1-3].如文獻[1]研究了環域上2m階半線性橢圓方程

(2)

在g1∈C([a1,b1],[0,∞)),f1∈C([0,∞),[0,∞))且f1是超線性的條件下證明了該問題至少有一個正徑向解,其中m≥1是一個正整數,D={x∈N;a1<|x|

當f(|x|,0)<0時,問題(1)稱為半正問題[4].目前,對于二階微分方程半正問題的研究已有很多結果[4-10].如Kajikiya等[7]研究了環域上半正橢圓方程

正徑向解的存在性,其中θ>0是一個參數,A1={x∈N;a2<|x|

對于雙調和及多調和微分方程半正問題徑向解的研究目前報道較少,因此,本文將在半正即f(|x|,0)<0的情形下,用拓撲度理論研究帶參數λ的2m階半正橢圓方程(1)正徑向解的存在性.

注1與正問題的處理方法不同,本文直接對半正問題(1)獲得正解進行研究有一定的困難,從而考慮構造一個大于等于0的函數f*,并借助非共軛算子(-1)mΔmu的主特征值對應的特征函數φ構造一個新的邊值問題進行研究,進而找到原問題(1)至少存在一個正徑向解.

注2m=1的情形與m≥2的情形有本質區別:

1) 當m=1時上下解方法成立,但當m=2時,上下解方法成立一般需一定的單調性條件[11];

2) 二階Dirichlet邊值問題

極大值原理成立的區間是λ1∈I1=(-∞,π2),其中f2∈C([0,∞],[0,∞)).四階非齊次兩端簡單支撐邊值問題

極大值原理成立的區間是λ2∈I2=(-π4,950.884 3),其中f3∈C([0,∞],[0,∞))[11].觀察到I1是一個無限區間,I2是一個有限區間,因此二階問題和四階問題有本質區別.

下面通過變換將求徑向解的問題(1)轉化為相應的帶擬導數的常微分邊值問題,并給出該問題對應齊次Dirichlet邊值問題格林函數的一些性質.

設L表示Laplace算子的極坐標形式,即

則問題(1)可化為一維邊值問題

(3)

因此,

L0v(t)=v(t);Lkv(t)=L(Lk-1v(t)),k=1,2,…,m.

特別地,有

定義算子l:C2m([a,b])→C([a,b]),lu(t)=(-1)mLmu(t).

引理1[2]齊次Dirichlet邊值問題

有且僅有一個格林函數Gm(t,s),其中Gm(t,s)有以下性質:

1)Gm(t,s)>0,a

2) 存在C……