具有變號位勢Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統解的存在性

余 標,葉曉峰,楊 丹

(華東交通大學 理學院,南昌 330013)

1 引言與主要結果

考慮如下Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統:

(1)

其中λ是一個正參數,p∈(4,6).系統(1)對應的能量泛函為

(u,φ)是系統(1)的解當且僅當其為Jλ(u,φ)臨界點.

注意Poisson方程-Δφ(x)=u2在D1,2(3)中有唯一解利用文獻[2-3]中的化簡方法可知,要證明系統(1)存在弱解,只需證明能量泛函Iλ(u):H1(3)→存在臨界點即可.Iλ(u)定義為

文獻[4-10]研究了Schr?dinger-Poisson系統各種解的存在性,但在變號位勢情形下對該問題的研究較少.對于變號位勢的問題,由于V在某些地方為負,因此能量泛函I將不再滿足一般的環繞定理.文獻[11]利用Morse理論得到了Schr?dinger-Poisson系統非平凡解的存在性.本文在文獻[12-13]的基礎上,利用變分法給出系統(1)具有無窮多個不同的非平凡解.

對位勢函數V做如下假設:

(H1)V∈C(3,),且V下有界;

(H2) 存在一個常數c>0,使得集合{x∈3:V(x)≤c}非空且meas{x∈3:V(x)≤c}<+∞,其中meas表示3中的Lebesgue測度.

本文的主要結果如下:

定理1假設(H1)和(H2)成立,且4

2 預備知識

設H1(3)={u∈L2(3):u∈L2(3)}是一般的Sobolev空間,具有如下標準內積和范數:

定義本文的工作空間為

具有如下內積和范數:

其中V±(x)=max{±V(x),0},且V(x)=V+(x)-V-(x).由文獻[12]可知,Eλ嵌入到Ls(3)是連續的,其中2≤s≤6.因此,存在一個常數as>0,使得

‖u‖s≤as‖u‖λ, ?u∈Eλ,

其中‖·‖s表示Ls(3)中的范數.根據文獻[13],假設

Fλ={u∈Eλ: suppu?V-1([0,+∞))},

(2)

命題1[13]設(H1),(H2)和V-≠0成立,則對任何固定的j,有:

1) 當λ→+∞時,μj(λ)→0;

2)μj(λ)關于λ是一個不增的連續函數,其中

設

命題2[14]設E是一個無窮維的Banach空間,I∈C1(E,)是偶泛函,滿足(PS)(Palais-Smale)條件及I(0)=0.如果E=V⊕X,其中V是有窮維的,且I滿足如下條件:

1) 存在常數ρ,α>0,使得I|?Bρ∩X≥α;

則I有一個無界的臨界值序列.

為研究泛函Iλ,本文將利用涉及φu項的以下性質:

命題3[15]存在常數a1>0,使得對所有u∈H1(3)均有

3 主要結果的證明

引理1設(H1)和(H2)成立且40,使得對所有滿足‖u‖λ=ρ的u∈Eλ,均有Iλ(u)≥α.

證明: 由于在有窮維空間中所有的范數都等價,故存在常數Cp,C>0,使得

‖u‖D1,2(3)≤C‖u‖λ,

由于p∈(4,6),故只需取r充分大,即知結論成立.

引理3設(H1)和(H2)成立且40,使得對任一c∈,Iλ對所有λ≥Λ均滿足(PS)c條件.

顯然矛盾.

如果w≠0,則集合Ω={x∈3:w(x)≠0}有正的Lebesgue測度.對于x∈Ω,一方面,當n→+∞時有|un|→+∞; 另一方面,根據法圖引理可知,當n→+∞時因此,根據命題3可知,

顯然矛盾.因此{un}在Eλ中有界,不妨設‖un‖λ≤T,必要時取子列,則存在u∈Eλ和A∈,使得在Eλ中un弱收斂到根據可知

設vn∶=un-u.由(H1)和(H2)可知

因此,

令Λ>0充分大,則當λ>Λ時在Eλ中有un→u,結論成立.