Lévy過程驅使的非線性隨機微分方程的參數估計

李明蔚,呂 艷

(南京理工大學 數學與統計學院,南京 210094)

Lévy過程表示一類樣本路徑右連續的隨機運動,包含布朗運動、Poisson過程等一系列重要隨機過程,因其增量獨立且平穩以及其良好的應用前景,一類由Lévy過程驅使的隨機微分方程得到廣泛關注.目前對于驅動噪聲為布朗運動的隨機微分方程,其線性及非線性情形下的參數估計問題均已取得一系列研究成果[1-5].對于其他類型的Lévy過程,Hu等[6]將軌跡擬合方法和最小二乘技術相結合,研究了連續時間觀測下由α平穩Lévy運動驅使的Ornstein-Uhlenbeck過程的參數估計問題; Masuda[7]提出了由對稱Lévy過程驅使的Ornstein-Uhlenbeck過程在離散觀測點下的一種自加權最小絕對偏差估計量; Long等[8]提出了通過設置對比函數建立適用于普遍Lévy過程的最小二乘估計量方法,該方法雖允許漂移函數非線性,但要滿足Lipschitz條件; Mai[9]削弱了文獻[8]中漂移項的條件,提出了在局部Lipschitz條件下隨機微分方程的似然函數,并利用指數族的方法對Ornstein-Uhlenbeck過程、平方根過程給出其強一致及在Hajek-LeCam意義上漸近有效的估計量.

基于此,本文考慮漂移項含有高次冪的多項式型非線性隨機微分方程的參數估計問題,并對所提出的極大似然估計量的漸近性質進行討論.最后,通過模擬樣本軌道驗證方法的有效性和估計量的性質.

1 連續時間觀測下的極大似然估計量

設(Ω,F,(Ft)t≥0,P)是一個概率空間,L是一個Lévy過程,其特征值為(b,σ2,μ),根據Lévy-It分解可知,

其中Bt是一個標準Wiener過程,N是+×(d-{0})上的一個獨立Poisson隨機測度,是一個鞅測度,且設……