四維完備梯度近Ricci孤立子的局部特征

路娟玲,劉建成

(西北師范大學 數學與統計學院,蘭州 730070)

0 引 言

設(Mn,g)是n維Riemann流形,若存在Mn上的光滑向量場X和光滑函數λ,使得

則(Mn,g)稱為近Ricci孤立子,記作(Mn,g,X,λ),其中Ric表示Mn的Ricci曲率張量,LXg表示度量g沿X方向的Lie導數,X稱為孤立子場,λ稱為孤立子函數.若孤立子場X可以表示為一個光滑函數f:Mn→的梯度,即X=f,則Mn稱為梯度近Ricci孤立子,記作(Mn,g,f,λ),此時孤立子方程變為

Ric+2f=λg,

Ricci流[1]即拋物型的Einstein方程,研究者們利用該理論已證明了針對三維緊致流形提出的Thurston幾何化猜想.梯度Ricci孤立子是Ricci流的第一類奇點模型[2],因此研究梯度Ricci孤立子對Ricci流的奇點分析具有重要意義.文獻[3]中定理2.3的剛性結果表明,近Ricci孤立子是對Ricci孤立子的一個合理且概括性的推廣,其存在性比Ricci孤立子更易證明,而且近Ricci孤立子還包含了其他幾何流,例如Ricci-Bourguignon流[4]的自相似解族(其自相似解族是孤立子函數為λ=kR+v的梯度近Ricci孤立子,k,v∈,R表示數量曲率).在勢函數f的任意正則點附近,Catino[5]證明了局部共形平坦(即Weyl張量W=0)的四維梯度近Ricci孤立子局部上是具有三維常截面曲率纖維的卷積結構.當|f|≠0時,Deng[6]證明了半局部共形平坦(即Weyl張量的反自對偶部分W+=0或自對偶部分W-=0)的四維梯度近Ricci孤立子是局部共形平坦的.另一方面,在附加徑向Weyl張量為零的條件下,Catino[5]證明了具有調和Weyl張量(即divW=0)的四維梯度近Ricci孤立子在f的任意正則點附近具有三維Einstein纖維的卷積結構.進一步,Neto[7]將上述調和Weyl張量的條件減弱為Weyl張量反自對偶部分的散度為零,得到了同樣的結論.

對緊致的四維梯度近Ricci孤立子,在div4W=0和……