具有輸入飽和約束的周期多智能體系統的雙邊一致性 *

何冬燕，謝瑋瑋，楊新榮

（廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

眾所周知，多智能體系統的集群性行為已在生物學、物理學、計算機科學和控制工程等領域有了相應的研究結果。例如，多機器人系統、無人機、編隊控制［1］、群集［2-3］和衛星群［4］的姿態對準銜接等等。在現有研究中，主要有智能體的協作或競爭性行為，針對這兩種行為，常用符號圖來描述智能體之間的合作或競爭關系。［1-7］利用符號有向圖描述多智能體系統，可以將其用于考慮各種動態性行為的研究。［5-7］基于符號網絡圖的描述，如何將智能體的最終狀態達到一致性是研究者比較關注的問題，主要應用在無線傳感器網絡中的時鐘同步、自主智能體的交會和無人駕駛飛行器的編隊控制等領域。

在系統滿足漸近零可控且有界控制的條件下，［8］低增益反饋技術是實現半全局漸近鎮定的有效方法。該方法也被用來處理多智能體系統的半全局一致性問題。［15-16］利用低增益反饋技術以及李雅普諾夫函數方法，文獻［15］和［16］分別在有向網絡拓撲圖和無向網絡拓撲圖框架下研究了存在飽和約束的線性多智能體系統的半全局一致性問題。基于以上文獻所得結果，文獻［7］首次給出了類拉普拉斯反饋控制律使得多智能體系統達到半全局雙邊一致。但文獻［7］只考慮了具有定常系數矩陣的系統，并沒有考慮具有周期系數矩陣系統。然而在現實世界中，具有周期動力學的多智能體系統卻應用于很多領域中，例如，機器人系統、衛星網絡或飛機編隊控制等領域。由此可見，周期性多智能體系統是一類非常重要的系統，從而吸引了許多研究者對其進行研究。［9-12］綜上所述，關于周期多智能體系統的雙邊一致性研究相對較少。因此，對周期動力系統作進一步深入研究是十分必要的。

本文所采用以下記號：用?(A(t)) 表示矩陣A(t) 的特征乘子。令C°={z：|z| ＜1 }，C⊕={z：|z| ≤1 } 以及C?={z：|z|= 1 }，則C⊕=C°∪C?。

1 問題闡述與預備知識

1.1 符號圖的基本知識

設N階加權無符號/符號有向圖G={V，ε，Aa}，其中V={ 1，2，…，N}為節點集，ε?V×V為邊集，Aa=[aij]∈RN×N是描述邊信息的關聯鄰接矩陣。非零元素aij依附在邊(i，j)∈ε上。(i，j)∈ε表示從節點j到節點i存在有向邊，并規定aii= 0，?i= 1，2，…，N。如果aij≠0，則aij＜0 或aij＞0。正/負權重aij表示相鄰連接的兩個智能體存在合作/競爭關系。L(G)=L=[lij]∈RN×N表示拉普拉斯矩陣，如果i≠j，則lij=-aij，否則lij=在符號有向圖中，G的有向路徑是一系列邊(i1，i2)，(i2，i3)，…，(il-1，il)，其中所有節點i1，i2，…，il互不相同。如果有向圖G中有兩個不同的節點連接到有向路徑上，則稱有向圖是強連通的。

1.2 問題描述

考慮以下2π周期多智能體系統的雙邊一致性問題：

其中A(t)：R→Rn×n，B(t)：R→Rn×m分別為系統矩陣和控制矩陣。xi(t)∈Rn表示智能體i的狀態，ui(t)∈Rm表示作用于智能體i上的控制輸入，sat：Rm→Rm表示飽和函數sat(ui)=[ sat(ui1)，…，sat(uim) ]T。對于給定的系統（1），找到類拉普拉斯反饋控制律

使得閉環多智能體系統

達到半全局雙邊一致，其中K(t)∈Rm×n是待定的增益矩陣，aij表示與底層拓撲圖有關的鄰接矩陣Aa的第(i，j)個元素。

1.3 符號圖的相關知識

任意N階無符有向圖G，Gi，i= 1，2，…，q(1 ≤q≤m)，當Gi不僅是G的極大子圖，而且是強連通時，稱Gi為G的強連通分部。不失一般性，假設Gi，i= 1，2，…，q(1 ≤q≤m) 是G的強連通分部，每個強連通分量有nl，l= 1，2，…，q個節點。此外，G的拉普拉斯矩具有以下Frobenius 結構：

定義1［7］RN正交階規范變換由D= diag {l1，l2，…，lN} 作用而來，其中li∈{-1，+ 1 }。經過規范變換后，若li≠lj，則矩陣元素符號將發生改變，否則保持不變。定義是RN中所有規范變換的集合。

定義2［7］如果對于任意給定的有界集X?Rn，可以計算出一個增益矩陣K(t)，使得對任意的i，j=1，2，…，N，只要xi( 0 )∈X，且則周期多智能體系統（1）可達到半全局雙邊一致。

引理1［7］給定任意一個具有有向生成樹的無符有向圖G，設是與G相關聯的拉普拉斯矩陣，具有Frobenius 范式。定義其中δi，i= 2，…，q是任意標量。對于任意y∈RN，且滿足則下列不等式成立：

其中

如果G1只包含G的根節點，意味著那么Q可以是任何正數；否則，其中為有向圖G1的代數連通性，定義為

2 主要結果

假設1矩陣對(A(t)，B(t))是可控的，且矩陣A(t)滿足?(A(t))?C?。

定理1若系統（1）滿足假設1 且底層拓撲圖是具有有向生成樹的結構平衡圖［5］，則可設計增益矩陣K(t)使得反饋控制定律（2）實現系統（1）的半全局雙邊一致。

由文獻［13］可知P(t，γ)隨γ單調遞增且。因此，選取γ足夠小，使得

進一步簡化得：

意味著

其中P(t)=P(t，γ)。因此，ei(t)，i= 1，2，…，N以指數速率趨于0。意味著

其中= 1，所以系統（1）可以達到半全局雙邊一致。因此，

又P(t，γ)隨著γ的增大而增大。因此，可以選擇γ足夠小，使得

對于xi( 0 )∈X，i= 1，2，…，N，則

即不等式（6）是滿足的。因此定理1 證畢。

3 例子驗證

下面通過文獻［8］中的例子說明本文所得結果的有效性。

考慮2π周期系統（1），其系數矩陣A(t)，B(t)由如下矩陣給出，并選取ω= 4。

系統的狀態轉移矩陣記為：

由此可計算出矩陣A(t)的特征乘子集為l(A(t))={ 1，1，1 }，因此，假設1 是成立的。

可選取γ= 0.27，β= 0.6，δ2= 0.8，δ3= 0.6，由此計算出文獻［8］中方程（11）的唯一對稱正定解為：

其中

考慮如圖1 所示的有向拓撲圖。由圖1 可知，拓撲圖共有6 個節點且含有有向生成樹。其中，虛線/實線分別表示智能體競爭/合作關系。又由強連通分部及結構平衡的定義，節點可分為兩個子節點集V1={ 1，4，5，6 }和V2={ 2，3 }，因此，符號圖G的拉普拉斯矩陣L可表示為：

圖1 6 個智能體的網絡拓撲圖

由圖2～圖4 可以看出，智能體1、4、5、6 和智能體2、3 的大小相等，符號相反。誤差狀態軌跡如圖5 所示，可以看出所有智能體的誤差狀態最終趨于零。由圖6 可知，多智能體系統的飽和控制輸入ui(t) 均小于飽和值ω= 4。綜上所述，基于設計的類拉普拉斯反饋控制律，實現了周期系統的半全局雙邊一致。

圖2 智能體狀態 = 1,…,6 軌跡圖

圖3 智能體狀態,i = 1,…,6 軌跡圖

圖4 智能體狀態,i = 1,…,6 軌跡圖

圖5 智能體誤差狀態軌跡圖

圖6 控制ui ( t ),i = 1,…,6

4 結語

本文主要研究了具有飽和約束的周期多智能體系統的半全局雙邊一致性問題。給出了類拉普拉斯反饋控制律，實現了周期系統的半全局雙邊一致。利用李雅普諾夫函數的方法，分析了該算法的收斂速度。并通過算例說明了所得結果的有效性。