單位面積時頻塊上的噪聲特性分析與信號檢測

石 榮，宋慶軍，胡 柱

（電子信息控制重點實驗室，四川 成都 610036）

0 引言

在電磁信號的時頻分析中單位面積的時頻塊意味著 Δf?Δt=1，其中 Δf為對應的頻寬，單位 Hz，Δt為對應的時寬，單位s。盡管從理論上已經證明：任何信號均滿足Δf?Δt≥12［1-2］，但從工程應用的角度講，單位面積的時頻塊是時頻面上可分辨的最小面積的時頻塊，這是由于工程上最常用的時頻分析工具為短時傅里葉變換，變換之前的時域采樣數據的時間分辨率最高，而變換之后的頻域頻譜數據的頻率分辨率最高，但無論采用多長時間段的采樣數據進行變換，在時頻面上觀察，仍舊保持了最小可分辨的時頻單元格的面積為單位1的特性［3-4］。單位面積時頻塊上的噪聲及信號特性實際上在工程應用中廣泛涉及。在數字通信中一般以Eb/n0尺度下的誤碼率或Es/n0尺度下的誤符號率來度量通信傳輸的性能，其中Eb和Es分別表示承載一個比特和一個符號的信息所需要的信號能量［5-6］。在匹配濾波的性能表征中通常使用Esig/n0來表示濾波處理所能獲得的收益，其中Esig為目標信號的能量［7］。在干涉儀測向應用中同樣使用Esig/n0來計算干涉儀通道間信號相位差測量所能達到的精度［8］。在以上性能評價中都使用了單位帶寬內的噪聲平均功率n0作為共同的尺度參考，n0的單位是WHz=J，實際上焦耳J是一個能量單位，這同時也說明：前述的Eb/n0、Es/n0和Esig/n0均是能量信噪比。其實n0也表示了單位面積時頻塊上的噪聲平均能量，因為單位帶寬即為1 Hz，信號功率對應了1 s時間長度內的信號能量，1Hz?1s=1，即單位1，這對應了單位面積的時頻塊，即Δf?Δt=1。

由上可見，在工程應用中單位面積時頻塊上的噪聲特性備受關注，其所具有的平均能量n0也作為各種性能評價的共同參考尺度而廣泛使用，但截至目前，對單位面積時頻塊上的噪聲特性的分析與總結還不夠全面與深刻。對此，本文在對單位面積時頻塊上的噪聲分布及統計特性進行簡要概述的基礎上，對n0的測量與接收系統G/T值之間的關系，以及匹配濾波中信號相干積累與n0相關的能量信噪比的度量進行了詳細分析，揭示了n0的本質物理意義。接著對單位面積時頻塊的各種劃分方式，以及相關的信號檢測應用進行了總結，最后提出了基于等比尺度分級劃分的時頻分析工程實現方法。

1 單位面積時頻塊上的噪聲統計特性

實信號采樣定理要求采樣頻率要大于信號最大帶寬的2倍以上；而復信號采樣定理僅要求復采樣頻率大于1倍信號最大帶寬即可。由于復采樣時I/Q雙通道同時對復信號的實部與虛部進行采樣，所以這等效于總的單通道采樣頻率增加了1倍，所以復信號采樣定理與實信號采樣定理本質上是等價的。在本文中為了表述方便，后續均采用復采樣定理。

以工程上常見的加性白高斯噪聲（AWGN）為例來闡釋單位面積時頻塊上的噪聲特性。設復采樣率為fs，對帶寬不超過fs的一段AWGN信號進行采樣，得到Ns個時域采樣點的復信號xt(n)=α(n)+j?β(n)，n=0，1，…，Ns-1，其中實部α(n)與虛部β(n)均服從均值為0、方差為n0/2的高斯分布，且二者互不相關。按照隨機變量分布的相關性質，2個獨立同分布的0均值高斯隨機變量的平方和再開方之后所生成的新隨機變量服從瑞利分布，所以復信號xt(n)的模值，記為zn=‖ ‖xt(n)，服從如下的瑞利分布：

由式（1）可得，zn的均值為(πn0/2)12，方差為(2-π/2)n0。

對于復信號xt(n)的每一個時域采樣點來講，其時域寬度 Δt=1/fs，頻域寬度 Δf=fs，滿足 Δf?Δt=1，所以復信號xt(n)的每一個采樣點同樣對應了一個單位面積為1的時頻塊。

在上述分析中只考慮了噪聲分量單獨存在的情況，如果在時頻塊上還存在目標信號分量，由于單位面積時頻塊是時頻面上的最小可分辨單元，所以目標信號分量可等效建模為正/余弦信號。根據隨機過程的相關性質：正/余弦信號加上高斯隨機信號之后包絡服從萊斯分布，又稱為廣義瑞利分布，于是單位面積時頻塊上的噪聲與目標信號之和所生成新的隨機變量的模值zn+s服從如下的萊斯分布：

式中，I0(·)是修正的0階第一類貝塞爾函數，KL=Es/n0表示單位面積時頻塊上的目標信號能量與噪聲能量之比，稱為萊斯因子；當KL=0時萊斯分布退化為瑞利分布。

實際上，在不同時頻尺度的單位面積時頻塊上無論是噪聲，還是再疊加了目標信號，在工程應用中獲得其信號模值的常用方法是通過短時傅里葉變換來得到，記X(kf)為復信號xt(n)的頻域頻譜，kf=0，1，…，Ns-1，可表示為：

由于多個同分布的高斯隨機變量的線性疊加仍然服從高斯分布，所以在僅存噪聲的情況下，X(kf)服從高斯分布。針對式（3）可求得頻域頻譜X(kf)的均值和方差分別為：

式（4）中E(·)表示求隨機變量的數學期望函數，式（5）中var(·)表示求隨機變量的方差函數。由上可見：X(kf)的均值為0，方差仍然為n0。將2個不同序號的X(kf)進行相關運算，可得：

由式（6）可知：零均值的2個頻域高斯隨機變量互不相關，則意味著這2個高斯隨機變量相互獨立。式（4）—（6）實際上已經證明：在式（3）定義的離散傅里葉變換之后，Ns個時域采樣點的復噪聲信號xt(n)對應的Ns個頻域頻譜分量X(kf)仍然是獨立同分布的零均值高斯隨機變量。

2 n0的測量與接收G/T值之間的關系

一個實際接收系統中，在接收通道的不同位置處放大增益不同，在對信號進行放大的同時也會放大噪聲，所以在接收通道的不同位置處測量出的單位面積時頻塊上的噪聲平均能量n0顯然是不同的。為了獲得統一的度量尺度，參照接收系統G/T值的測量方法，將天線饋線后端與接收機入口處相連接的位置作為參考點，將接收機中的整個噪聲也等效換算到接收機入口處，并與天線和饋線輸出的噪聲疊加在一起來綜合測算在此處的噪聲平均能量，以此作為整個接收系統的n0，如圖1所示。

圖1 接收系統中n0與G/T的測量位置圖示

實際上接收系統G/T值的測量也采用了類似的方法與流程，在接收機入口處G表示了在考慮接收天線增益與饋線損耗條件下從天線到此處的通道總增益；而T表示了天線噪聲、饋線噪聲與接收機等效噪聲三者疊加所綜合形成的噪聲溫度。如果一個接收系統的G/T值越大，在給定接收帶寬范圍內所接收到的信號的信噪比就越高，這無論是對于通信傳輸，還是雷達探測等工程應用來講，都意味著接收性能越好。而增大G/T值的2個基本途徑為：一是提升接收天線的增益，降低接收饋線的損耗，從而使G得以增加；二是降低天線噪聲、饋線噪聲和接收機的噪聲，使綜合噪聲溫度T得以減小。從高頻到毫米波頻段范圍內，n0與噪聲溫度T之間存在如下關系式：

式中，k=1.380 54×10-23J/K表示玻爾茲曼常數。所以在工程上只要測量得到了接收機入口處的綜合噪聲溫度T，便可由式（7）換算得到單位帶寬內的噪聲功率，即單位面積時頻塊上的噪聲能量n0。

假設到達接收系統天線入口處目標信號的能量為Ein，a，由接收系統的G/T值便可計算出接收機入口處信號的能量信噪比Esig/n0，如下所示：

由式（8）和式（7）可知，表征接收系統性能的G/T值與接收信號的能量信噪比Esig/n0成正比，而其中的綜合噪聲溫度T又直接決定了接收機入口處的n0值。所以n0和G/T值從不同的角度反映了接收系統的性能，二者也成為工程應用中評估接收系統性能的重要參數。

3 匹配濾波中信號與n0之間的關系

眾所周知，如果要在最大信噪比條件下對信號xtc(t)進行檢測，則匹配濾波器是最佳選擇。匹配濾波器的時域響應波形htc(t)與被檢測信號在時間上共軛對稱，即htc(t)=x*tc(τ0-t)，其中τ0為時移參考時刻，匹配濾波輸出的信號能夠達到信號的最大能量信噪比Esig/n0。這一經典結論在各類有關信號分析處理的教科書中都有詳細的推導與論證，而且幾乎都采用了許瓦茲不等式的等號成立條件來解釋匹配濾波器的設計要點，本文不再贅述。在此利用單位面積時頻塊上的噪聲分布特性，從信號相干積累的角度來對匹配濾波的效果進行新的解釋。

如前所述，AWGN加性白高斯噪聲按照式（3）由時域變換至頻域之后仍然保持了與時域一樣的分布特性，即單位面積時頻塊上的噪聲能量仍然為n0。假設采樣信號分量經過式（3）的變換之后散布于Nf個單位面積的時頻塊上，其能量信噪比分別記為：Es，j/n0，j=1，2，…，Nf，且有：

將上述Nf個單位面積時頻塊上的信號分量進行加權求和，而加權系數取為對應的單位面積時頻塊上信號分量的共軛，于是信號分量加權求和的幅度ys的結果在數值上等于信號的總能量Esig，即ys=Esig，在效果上相當于對信號進行了相干積累。由于信號與噪聲之間互不相關，所以噪聲分量加權求和之后所生成的隨機變量γnoise仍然滿足零均值高斯分布特性，但其方差σ2γ=Esign0。經過上述處理之后，新產生的信號的能量與噪聲方差的比值如下：

由式（10）可知，在時頻域對信號分布的單位面積時頻塊上以信號分量的共軛加權求和同樣也能實現最大能量信噪比的檢測效果。上述過程相當于在頻域對目標信號進行了匹配濾波，各個單位面積時頻塊上的信號分量在此過程中得以相干積累，積累之后的能量相當于原有能量的平方關系，而噪聲分量互不相關，所以在方差求和過程中只實現了原有能量的一次方關系。由此可見，通過單位面積時頻塊上的信號與噪聲的特定加權處理同樣能夠達到匹配濾波的目的。

4 時頻單元格的劃分與信號檢測

雖然單位面積時頻塊是工程應用中時頻面上的最小可分辨單元，但在面積保持一定的情況下，不同的時寬與頻寬將展現出不同的形狀與不同的時頻尺度，而這對于信號檢測所產生的影響也有差異，接下來對此進行更加詳細的討論。

4.1 單位面積時頻單元格的不同劃分方式

在短時傅里葉變換式（3）中，當Ns=1時，X(0)=xt(0)，這實際上就對應了前述的時域采樣點，此時時域分辨率最高Δt=1/fs，而頻域分辨率最低Δf=fs，但仍滿足時頻塊的面積為1的特性，即Δf?Δt=1。隨著式（3）所包含的時域采樣點數Ns的逐漸增大，通過式（3）變換之后信號的時域分辨率Δt逐漸下降，依次演變為 2/fs，3/fs，4/fs，……，而頻域分辨率 Δf逐漸增大，依次演變為fs/2，fs/3，fs/4，……，但是無論如何變化，始終保持Δf?Δt=1的特性。以Ns從1變化至8為例，繪制上述不同時頻尺度的單位面積時頻塊的演變過程，如圖2所示。

圖2 不同時頻尺度的單位面積時頻塊演變過程

圖2展示了不同時頻尺度的單位面積時頻塊在時頻面上的相對位置與比例關系，如果所關注區域對應的時頻面的總面積為Stf，則可以將其劃分成Stf個單位面積的時頻塊。由圖2可知，不同時頻尺度的單位面積時頻塊構成這個時頻區域的方式不一樣，但是時頻塊的個數都是Stf個。以Stf=12為例，用6種不同尺度的單位面積時頻塊來填充這一面積為12的時頻區域，如圖3所示。

圖3 以6種不同尺度的單位面積時頻塊進行劃分

按照上述分析結果，圖3中的時頻區域在時間維度有12個采樣點，在頻率維度的采樣頻率為fs，以6種不同尺度的單位面積時頻塊對總面積為12的時頻區域進行劃分，盡管劃分方式不同，但是每一種單位面積的時頻塊均滿足前述的噪聲與目標信號的相關統計分布特性，因為按照離散傅里葉變換式（3），每一個單位面積時頻塊上的信號X(kf)是由Ns個獨立同分布的高斯隨機信號通過式（3）線性疊加而成，所以仍滿足獨立同分布的高斯分布。

4.2 在單位面積時頻單元格上檢測目標信號

如前所述，單位面積時頻塊上如果只有噪聲信號時，綜合后信號的模值服從均值為(πn0/2)12，方差為(2-π/2)n0的瑞利分布；存在噪聲與目標信號疊加時，綜合后信號模值服從萊斯因子KL=Esig/n0的萊斯分布，如圖4所示。于是在時頻面的單位面積的時頻塊上以噪聲基底作為參考，按照奈曼·皮爾遜準則，以一定的虛警概率劃定判決門限，凡是信號模值超過門限的單位面積時頻塊即可判定為其上存在目標信號分量。

圖4 單位面積時頻塊上的信號模值分布概率示意圖

從理論上講，雖然該信號檢測方法具有較好的性能，但是其達到理論檢測性能的前提條件是目標信號分量已經完全占據了整個單位面積時頻塊，才能以較高的概率完成信號的有效檢測。在AWGN加性高斯白噪聲條件下，雖然噪聲信號在單位面積時頻塊上的統計特性只與時頻塊的面積有關，與時頻塊的尺度無關，但是目標信號的分布卻與時頻塊的尺度有關，而且對于處于非合作地位的偵察方來講，目標信號的頻率與持續時間都是事先未知的，所以為了使單位面積時頻塊與目標信號盡可能地相互匹配，就需要按照圖2的劃分方式在時間維度上逐漸改變單位面積時頻塊的時間尺度與頻率尺度，用不同尺度的時頻塊去填充需要進行目標信號檢測的時頻區域。由圖2可知，如果遍歷劃分所有尺度的單位面積時頻塊將給工程實現帶來極大的計算負擔，雖然這一方式也可用于事后處理的信號情報偵察類應用，但難以在有實時性要求的工程項目中使用。為了在計算量與檢測性能之間取得平衡，借鑒小波分析中多分辨率等比分級的思想，以2倍等比尺度劃分為例進行工程應用的實現，可以在一定程度上解決該問題。

4.3 基于等比尺度分級劃分的時頻分析工程實現

工程上的短時傅里葉變換通常利用快速傅里葉變換（FFT）來實現，而且在現場可編程邏輯陣列（FPGA）中有長度為2的整數次冪的FFT?IPcore能夠實時流水實現FFT的計算。鑒于此，通過多個2的整數次冪長度的FFT來實現時頻面的多種時頻尺度的單位面積時頻塊的實時流水劃分，如表1所示。

表1 各種時頻尺度的單位面積時頻塊

表1中僅列出了冪指數取值從0到7的情況，實際上冪指數的最大取值Me，max取決于需要檢測信號的最小帶寬Δfmin，由下式計算：

式中，ceil(·)表示向上取整運算符。在FPGA中調用Me，max個FFT?IPcore即可完成尺度按照2的整數次冪變化的單位面積時頻塊的實時流水合成。由于目標信號所占有的總時頻面積始終大于等于1，所以按照上述分級劃分方法，即便目標信號的時頻面積取最小值1，也總能確保在其中一個對應等級的時頻單元格中獲得至少不小于1/4面積所承載的目標信號能量，如圖5所示。

圖5 時頻單元格劃分對目標信號的覆蓋情況示意圖

圖5中每個空白小矩形代表一個面積為1的時頻單元格，其時頻尺度分別記為 Δtk和 Δfk，且Δfk?Δtk=1，陰影矩形代表面積為1的目標信號時頻塊，其時頻尺度分別記為 Δts和 Δfs，且 Δfs?Δts=1。當目標信號時頻塊的頻率尺度變化時，一定有一級時頻單元格滿足0.5Δfk≤Δfs≤Δfk，于是在該級時頻單元格劃分中，在時間維度上觀察也會有0.5Δtk≤Δts≤Δtk成立。于是有：

由此可見，通過2的整數次冪的等比尺度分級劃分之后，總能確保在對應尺度等級的其中一個時頻單元格中超過1/4的面積被待檢測的信號所覆蓋，按照前述恒虛警檢測所劃定的檢測門限對該時頻塊進行判決，即可檢測出目標信號。這一方法雖然以漏警概率的少許增加為代價，但是可滿足工程上對目標信號實施實時恒虛警檢測的要求，這對于非合作的突發性脈沖信號檢測類應用具有重要意義。

5 結束語

n0不僅體現了單位帶寬內的噪聲平均功率，而且反映了時頻面上單位面積時頻塊上的噪聲平均能量，是時頻分析中噪聲特性的重要統計特征參數。本文對n0的測量、n0與接收系統G/T值之間的關系，以及匹配濾波對信號與噪聲的不同作用效果進行了詳細的分析，展現了單位面積時頻塊上的噪聲統計量在信號檢測中所發揮的重要作用。在此基礎上針對單位面積時頻塊上的恒虛警信號檢測問題，討論了時頻面上單位面積時頻單元格的不同劃分方式所產生的不同檢測效果，提出了按照2的整數次冪的等比尺度分級劃分的時頻分析工程實現方法。上述研究結果不僅深刻揭示了n0的本質物理意義，而且為與時頻分析相關的信號檢測類應用的工程實現提供了方法上的指導。