一道教材例題的“變身”

文／尹雪蔓

數學解題不應只局限于一道題目的本身，而應能比較類似的題目，用變化的眼光去發現它們之間的聯系，在比較中深化對知識的理解，掌握解題方法，提高舉一反三和靈活應變的能力。

原題呈現（蘇科版數學教材八年級下冊第69 頁例3）已知：如圖1，在?ABCD中，點E、F在AC上，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖1

【分析】我們可以利用“平行四邊形的性質→尋找三角形全等→線段和角相等→判定平行四邊形”的思路解決問題。

證法一：根據平行四邊形對邊相等的性質定理可知AB=CD，根據平行四邊形的定義可知AB//CD，所以∠BAE=∠DCF。又因為AE=CF，所以△ABE≌△CDF（SAS），所以BE=DF，∠BEA=∠DFC。根據“等角的補角相等”可得∠BEF=∠DFE，所以四邊形EBFD是平行四邊形。

證法二：同“證法一”可證得BE=DF。同理，通過證明△ADE≌△CBF（SAS）得到DE=BF，所以四邊形EBFD是平行四邊形。

教材中給予的解法是利用“對角線互相平分”的判定定理來證明。其實質是想告訴我們，解決本題，除了“尋找”全等三角形，還可以“構造”全等三角形。如圖2，連接BD，BD交AC于點O，構造出三角形（△BEO、△BFO、△DEO、△DFO），并證明所構造的三角形全等（△BEO≌△DFO、△BFO≌△DEO），進而通過線段和角相等來證明平行四邊形。

圖2

變式1已知：如圖3，在?ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖3

【解析】變式1 是將原例題中的“AE=CF”變成了“BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E、F”。此時，我們只需連接BD，直接證明△BOE≌△DOF，得出對應線段和角的相等關系，從而證明平行四邊形。

變式2已知：如圖4，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別交對角線AC于點E、F。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖4

【解析】變式2 是將原例題中的“AE=CF”變成了“∠ABC、∠ADC的平分線分別交對角線AC于點E、F”，同變式1 一樣，只是條件改變，證明方法類似（連接BD）。

變式3如圖5，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別在OB和OD上。

圖5

（1）當BE、DF滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由；

（2）當∠AEB與∠CFD滿足什么條件時，四邊形AECF是平行四邊形？請說明理由。

【解析】此題由原例題的條件“AE=CF”變成了第（1）問的答案“BE=DF”，第（2）問也可以通過上述幾個變式的經驗得到結論（相等）。通過上述幾道變式，我們可以發現，點E、F的位置是解題的關鍵，其變化的本質特征是點E、F關于對角線交點O對稱。

同學們要重視教材上的例題和習題，學會從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律。

拓展1已知：如圖6，點E、F分別是?ABCD對角線AC所在直線上的兩點，且AE=CF。求證：四邊形EBFD是平行四邊形。

圖6

【解析】本題是圖1 的拓展，點E、F的位置從“對角線上”變化為“對角線所在的直線線上”。證明方法類似，在此不再贅述。

拓展2如圖7，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AC=15cm。點E、F分別是線段OA、OC上的動點，點E從點A出發，以2cm/s 的速度向點O運動；點F從點O出發，以3cm/s的速度向點C運動；當一點到達終點時，停止運動。若點E、F同時開始運動，設運動時間為ts，當t為何值時，四邊形EBFD是平行四邊形？

圖7

【解析】本題是把定點問題變成了動點問題。此時，我們可以根據已探究出的問題本質“只要確保點E、F關于對角線交點O對稱”，即可判定平行四邊形。