圓中之“險”
——“弦”

文／陸玉霞

圓的基本概念比較多，知識點之間綜合性強，解題時稍有疏忽，便會出現漏解、錯解等錯誤，其中，與弦有關的題目更易出錯。下面，通過整理同學們的易錯題，我們共同分析錯誤原因，幫助大家建立更完善的知識體系，加深對圓中弦的理解。

一、弦、弧、圓周角，夯實基本功

例1現有以下命題：①平分弦的直徑垂直弦，平分弦所對的?。虎诘然∷鶎Φ南蚁嗟?，所對的圓周角相等；③在同圓或等圓中，弦相等所對的圓周角也相等；④在同圓或等圓中，弦相等則弦所對的弧相等。正確的有________。

【錯因分析】對弦的基本概念模糊不清或忽視弦的一些性質定理成立的前提條件，都會造成對這種文字型命題判斷的失誤。

【正確解答】①平分非直徑的弦的直徑才垂直弦，平分弦所對的弧，故原命題錯誤；②等弧所對的弦相等，所對的圓周角相等，正確；③在同圓或等圓中，弦相等所對的圓周角相等或互補，故原命題錯誤；④在同圓或等圓中，弦相等則弦所對的優弧或劣弧對應相等，故原命題錯誤。因此，正確的只有命題②。

二、弦對圓周角，兩角為互補

例2在半徑為2 的圓中，弦AB長為，則弦AB所對圓周角的度數為______。

【錯因分析】一條弦所對的圓周角有兩個，且這兩個角是圓內接四邊形的一組對角，所以這兩個角互補。這個知識點很容易理解，但在本題中，與“圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半”知識點綜合應用時，能力要求提高了，解題時就容易出現錯誤了。

【正確解答】連接OA、OB，C為優弧AB上一點，D為劣弧AB上一點，如圖1。

圖1

綜上所述，弦AB所對圓周角的度數為45°或135°。

三、直徑與弦，特殊與一般

例3如圖2，AB是圓O的弦，AB=點C是圓O上的一個動點，且∠ACB=60°，若點M、N分別是AB、BC的中點，則MN長度的最大值是______。

圖2

【錯因分析】根據三角形中位線性質得到MN=，所以AC長度的最大值決定了MN長度的最大值。題目中∠ACB=60°，同學們很容易想到等邊三角形，誤認為當△ABC為等邊三角形時，AC的值最大，導致答案錯誤。

【正確解答】連接AO并延長，交圓O于點D，連接BD，如圖3。

圖3

∴∠ADB=∠ACB=60°。

∵AD為圓O的直徑，

∴∠ABD=90°。

∴AD=4。

∵點M、N分別是AB、BC的中點，

∴MN=

當AC為直徑時，AC的長度最大。

∴MN長度的最大值為2。

四、兩弦位置，圓心是關鍵

例4在半徑為2的圓中，弦AB、AC的長度分別是2、，則弦BC的長度是______。

【錯因分析】由于題目沒有給出圖形，很多同學在做題時忽略了兩條弦與圓心的位置關系，自動將兩條弦與圓心的位置默認為其中的一種進行計算，導致漏解的現象。

【正確解答】分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別是D、E，連接OC、OB，如圖4。

圖4

①當弦AB、AC在圓心O的異側時，∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°+60°=180°，∴BC是直徑，BC的長度為4。

②當弦AB、AC＇在圓心O的同側時，∠BOC＇=120°-60°=60°。

∵OB=OC＇，∴△OBC＇是等邊三角形。

∴BC＇=OA=2。

綜上所述，弦BC的長度是2或4。

同學們，在解決圓中弦有關問題時，要仔細讀題，多畫圖，利用數形結合等思想方法解決問題。對于典型的錯題要加以剖析并反思總結，加深對知識點的理解，提高自己的解題正確率。