操作活動背景下一道圓的作圖題的拓展

文／陳冠軍

在2022 年中考中，江蘇省多個市以操作活動為問題背景來考查圓的相關知識，呈現形式較為新穎。限于文章篇幅，本文僅對宿遷市的一道題做研究。

例題

如圖1，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D、M均為格點。

圖1

【操作探究】在數學活動課上，佳佳同學在如圖1 的網格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點P并給出部分說理過程，請你補充完整：

解：在網格中取格點E，構建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE。

在Rt△ABC中，tan∠BAC=

在Rt△CDE中，_______，

所以tan∠BAC=tan∠DCE。

所以∠BAC=∠DCE。

因為∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，

所以∠ACP+∠BAC=90°。

所以∠APC=90°，即AB⊥CD。

【拓展應用】（1）如圖2 是以格點O為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在上找出一點P，使寫出作法，并給出證明；

圖2

（2）如圖3 是以格點O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點P，使AM2=AP·AB，寫出作法，不用證明。

圖3

解析

【操作探究】tan∠DCE=

【拓展應用】（1）作法：取格點C，連接AC并延長，交⊙O于點P，則點P即為所求，見圖4。

圖4

證明：由作圖可知OM⊥AP，且OM過圓心，根據垂徑定理，得

（2）作法一：連接OA，取格點C，連接MC并延長，交⊙O于點M＇，交AB于點P，則點P即為所求，見圖5。

圖5

證明：可證OA⊥MM＇，

∴

∴∠AMP=∠ABM。

又∠MAP=∠BAM，

∴△APM∽△AMB。

∴AM2=AP·AB。

作法二：取格點C、D，連接CD交AB于P，則點P即為所求，見圖6。

圖6

總結

本題用到的知識較為廣泛，有全等三角形、垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等，是一道以操作活動為背景的綜合題。

除這道題外，各地2022 年中考題中，還有常州市第28 題、揚州市第26 題、鹽城市第27 題，它們都是操作活動背景下的圓的綜合題，大家不妨去做一做。