函數與方程思想在解題中的運用

黃康芳

摘? ?要：函數與方程思想是中學數學應用最為廣泛的基本思想之一，是解題過程的一個通性方法，可在處理實際應用、數列、不等式、解析幾何與立體幾何問題過程發揮引導性的關鍵作用.在應用過程中，需要強化學生的相關知識應用意識，以及對問題進行化簡化歸的意識，以不斷增強學生在相關問題的思維能力，從而促進數學深度學習.

關鍵詞：函數；方程；思想方法

函數與方程的思想是中學數學最具奠基性和總結性，應用最為廣泛的基本思想之一.它是人們在概括了大量的數學思維活動之后產生的一種能反映數學問題本質的認識.[ 1 ]函數與方程思想滲透到中學數學各個領域，是歷屆高考考查的重點內容.

在問題解決中應用函數思想，一般是指構造函數以將問題中的數量關系化歸為函數關系并利用所構造函數的性質（定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性等）解決原型問題的過程．在問題解決中應用方程思想，一般是指將問題中待求的量設為未知數，將隱含的等量關系化歸為方程（組）的等式關系并通過解方程（組）達到解決原型問題的過程．

函數與方程思想可將待解決的問題轉化為有固定解決模式的函數與方程問題，二者關系密切：函數式y=f（x）可視為二元方程式y-f（x）=0；函數y=f（x）的零點即方程y=f（x）=0的解；函數y=f（x）和y=g（x）的圖象交點的橫坐標就是方程f（x）=g（x）的解.方程問題和函數問題大都可以相互轉化．

構造函數解析式、列方程（組）是應用函數方程思想的關鍵，中學階段，應用函數思想時構造的函數主要是低于四次的整式函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等．應用方程思想時列出的方程也大都是上述函數所對應的方程式．

高考通常使用選擇題和填空題考查簡單應用函數與方程思想的能力，使用解答題在知識網絡交匯處深層次考查綜合應用函數與方程思想的能力．運用函數與方程思想可以處理與函數建模有關的實際應用問題，也可以處理許多不等式、數列、解幾和立幾問題．

1? 運用函數與方程思想處理實際應用問題

例1．某地區有三個工廠，其位置分別可表示為矩形ABCD 的頂點A，B 和CD的中點P 處（如圖1），現已知AB=20 km，CB =10 km，為處理三個工廠排出的污水，須在矩形ABCD 所在區域上（含邊界），且與兩點A，B等距的點O處建一污水處理工廠，然后再鋪設排污管道AO，BO和OP .假設排污的管道總長為y km．

評析：運用函數與方程思想處理實際應用問題時都有一個建立函數模型的過程[ 2 ]，建模時首先要審清題意確定一個自變量，并用它來表示其它各個變量，寫出函數關系式后，要依題設確定出自變量的范圍．問題（Ⅱ）選用函數關系式時，通過對比，選出的是一個使問題變得比較簡單的關系式．

2? 運用函數與方程思想處理數列問題

例2．已知等差數列共有10項，其中奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差是? ? ? ? ?．

分析：奇數項與偶數項都構成公差為2d的等差數列，列出以等差數列的基本量為未知數的方程組，求公差可歸結為解方程組問題．

解：設等差數列的首項為a1，公差為d，據題意得：5a1+20d=155a1+25d=30解得d=3，填3．

評析：有關等差、等比數列基本量的計算問題大都可使用方程思想進行處理．

評析：解決幾何圖形的動態變化問題，可分析各個量在變化中的相互關系，以從中找出一個自變量，通過構造新的函數以將問題化為函數的求值問題．

總之，在幾何解題過程中，大都是將問題轉化為解三角形問題，而在代數與解析幾何解題過程中，大都是將問題轉化為與函數、解方程或解不等式的問題.因而，函數與方程思想在解題中的運用，代表著數學解題的一個重要轉化與化歸方向，是日常數學解題的通性方法，需要解題者備加關注，通過強化相關知識的應用意識，以及對問題進行化簡化歸的意識，不斷增強學生在處理相關問題方面的思維能力，從而促進學生的數學深度學習[ 3 ]．

參考文獻：

［1］ 王欽敏，余明芳．數學思維素養深度涵育：教學的進路與方略[J]．數學教育學報，2020（6）：56-60．

［2］ 白雪松.以“函數與方程思想”為例談數學思想的教學[J]．中學數學，2020（7）：30-31．

［3］ 余明芳.數學教學中促進深度學習的若干路徑與策略[J]．福建中學數學，2022（10）：25-27．